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tf
전달 함수 모델
설명
tf를 사용하여 실수 값 또는 복소수 값 전달 함수 모델을 만들거나 동적 시스템 모델을 전달 함수 형식으로 변환합니다.
전달 함수는 선형 시불변 시스템의 주파수 영역 표현입니다. 예를 들어, 전달 함수 sys(s) = N(s)/D(s)로 표현되는 연속시간 SISO 동적 시스템이 있다고 가정하겠습니다. 여기서 s = jw이고 N(s)와 D(s)는 각각 분자 다항식 및 분모 다항식입니다. tf 모델 객체는 연속시간 또는 이산시간에서 SISO 또는 MIMO 전달 함수를 표현할 수 있습니다.
전달 함수 모델 객체는 계수를 직접 지정하여 만들 수도 있고 다른 유형의 모델(예: 상태공간 모델 ss)을 전달 함수 형식으로 변환하여 만들 수도 있습니다. 자세한 내용은 전달 함수 항목을 참조하십시오.
tf를 사용하여 일반화된 상태공간(genss) 모델 또는 불확실 상태공간(uss (Robust Control Toolbox)) 모델을 만들 수도 있습니다.
생성
구문
설명
전달 함수 모델 만들기
sys = tf(numerator,denominator)Numerator 및 Denominator 속성을 설정하여 연속시간 전달 함수 모델을 만듭니다. 예를 들어, 전달 함수 sys(s) = N(s)/D(s)로 표현되는 연속시간 SISO 동적 시스템에서 입력 인수 numerator와 denominator는 각각 N(s)와 D(s)의 계수입니다.
sys = tf(numerator,denominator,ts)Numerator, Denominator 및 Ts 속성을 설정하여 이산시간 전달 함수 모델을 만듭니다. 예를 들어, 전달 함수 sys(z) = N(z)/D(z)로 표현되는 이산시간 SISO 동적 시스템에서 입력 인수 numerator와 denominator는 각각 N(z)와 D(z)의 계수입니다. 샘플 시간을 지정하지 않은 상태로 두려면 ts 입력 인수를 -1로 설정하십시오.
sys = tf(numerator,denominator,ltiSys)ltiSys에서 상속한 속성을 사용하여 전달 함수 모델을 만듭니다.
sys = tf(___,PropertyName=Value)
전달 함수 모델로 변환
sys = tf(ltiSys,Name=Value)ltiSys의 절단된 전달 함수 표현을 얻습니다. 이 방법은 각 입력-출력 쌍에 대해 영점을 계산하므로 입력-출력 크기가 작은 모델에 가장 적합합니다. (R2025a 이후)
입력 인수
이름-값 인수
출력 인수
속성
객체 함수
다음 목록은 일부이기는 하나 tf 모델과 함께 사용할 수 있는 대표적인 함수들입니다. 일반적으로, 동적 시스템 모델에 적용되는 모든 함수는 tf 객체에 적용됩니다.
예제
이 예제에서는 다음과 같은 SISO 전달 함수 모델이 있다고 가정하겠습니다.
분자와 분모 계수를 s의 거듭제곱 내림차순으로 지정하고 전달 함수 모델을 만듭니다.
numerator = 1; denominator = [2,3,4]; sys = tf(numerator,denominator)
sys =
1
---------------
2 s^2 + 3 s + 4
Continuous-time transfer function.
Model Properties
이 예제에서는 다음과 같은 이산시간 SISO 전달 함수 모델이 있다고 가정하겠습니다.
분자와 분모 계수를 z의 거듭제곱 내림차순으로 지정하고 샘플 시간을 0.1초로 지정합니다. 이산시간 전달 함수 모델을 만듭니다.
numerator = [2,0]; denominator = [4,0,3,-1]; ts = 0.1; sys = tf(numerator,denominator,ts)
sys =
2 z
---------------
4 z^3 + 3 z - 1
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
이 예제에서는 알려진 고유 주파수와 감쇠비를 갖는 2차 시스템을 나타내는 전달 함수 모델을 살펴봅니다.
감쇠비 와 고유 주파수 에 대해 표현된 2차 시스템의 전달 함수는 다음과 같습니다.
감쇠비 = 0.25이고 고유 주파수 = 3 rad/s라고 가정하고 2차 전달 함수를 만듭니다.
zeta = 0.25; w0 = 3; numerator = w0^2; denominator = [1,2*zeta*w0,w0^2]; sys = tf(numerator,denominator)
sys =
9
---------------
s^2 + 1.5 s + 9
Continuous-time transfer function.
Model Properties
계단 입력에 대한 이 전달 함수의 응답을 검토합니다.
stepplot(sys)
이 플롯에서 감쇠비가 낮은 2차 시스템에서 예상되는 링다운을 볼 수 있습니다.
이산시간 다중 입력 다중 출력 모델의 전달 함수를 만듭니다.
샘플 시간은 ts = 0.2초입니다.
분자 계수를 2×2 행렬로 지정합니다.
numerators = {1 [1 0];[-1 2] 3};공통 분모의 계수를 행 벡터로 지정합니다.
denominator = [1 0.3];
이산시간 MIMO 전달 함수 모델을 만듭니다.
ts = 0.2; sys = tf(numerators,denominator,ts)
sys =
From input 1 to output...
1
1: -------
z + 0.3
-z + 2
2: -------
z + 0.3
From input 2 to output...
z
1: -------
z + 0.3
3
2: -------
z + 0.3
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
MIMO 전달 함수를 만드는 방법에 대한 자세한 내용은 MIMO 전달 함수 항목을 참조하십시오.
이 예제에서는 SISO 전달 함수 모델을 결합하여 MIMO 전달 함수 모델을 만듭니다. 다음과 같이 1-입력 2-출력 전달 함수가 있다고 가정하겠습니다.
SISO 항목을 결합하여 MIMO 전달 함수 모델을 지정합니다.
sys1 = tf([1 -1],[1 1]); sys2 = tf([1 2],[1 4 5]); sys = [sys1;sys2]
sys =
From input to output...
s - 1
1: -----
s + 1
s + 2
2: -------------
s^2 + 4 s + 5
Continuous-time transfer function.
Model Properties
MIMO 전달 함수를 만드는 방법에 대한 자세한 내용은 MIMO 전달 함수 항목을 참조하십시오.
이 예제에서는 유리식을 사용하여 연속시간 전달 함수 모델을 만듭니다. 유리식을 사용하는 것이 분자와 분모의 다항식 계수를 지정하는 것보다 쉽고 직관적인 경우가 있습니다.
다음과 같은 시스템이 있다고 가정하겠습니다.
전달 함수 모델을 만들려면 먼저 s를 tf 객체로 지정하십시오.
s = tf('s')s = s Continuous-time transfer function. Model Properties
유리식에 s를 사용하여 전달 함수 모델을 만듭니다.
sys = s/(s^2 + 2*s + 10)
sys =
s
--------------
s^2 + 2 s + 10
Continuous-time transfer function.
Model Properties
이 예제에서는 유리식을 사용하여 이산시간 전달 함수 모델을 만듭니다. 유리식을 사용하는 것이 다항식 계수를 지정하는 것보다 쉽고 직관적인 경우가 있습니다.
다음과 같은 시스템이 있다고 가정하겠습니다.
전달 함수 모델을 만들려면 먼저 z를 tf 객체와 샘플 시간 Ts로 지정하십시오.
ts = 0.1;
z = tf('z',ts)z = z Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function. Model Properties
유리식에 z를 사용하여 전달 함수 모델을 만듭니다.
sys = (z - 1) / (z^2 - 1.85*z + 0.9)
sys =
z - 1
------------------
z^2 - 1.85 z + 0.9
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
이 예제에서는 다른 전달 함수 모델에서 상속한 속성을 갖는 전달 함수 모델을 만듭니다. 다음과 같은 2개의 전달 함수가 있다고 가정하겠습니다.
이 예제에서는 TimeUnit 및 InputDelay 속성을 'minutes'로 설정한 상태로 sys1을 만듭니다.
numerator1 = [2,0]; denominator1 = [1,8,0]; sys1 = tf(numerator1,denominator1,'TimeUnit','minutes','InputUnit','minutes')
sys1 =
2 s
---------
s^2 + 8 s
Continuous-time transfer function.
Model Properties
propValues1 = [sys1.TimeUnit,sys1.InputUnit]
propValues1 = 1×2 cell
{'minutes'} {'minutes'}
sys1에서 상속한 속성으로 두 번째 전달 함수 모델을 만듭니다.
numerator2 = [1,-1]; denominator2 = [7,2,0,0,9]; sys2 = tf(numerator2,denominator2,sys1)
sys2 =
s - 1
-----------------
7 s^4 + 2 s^3 + 9
Continuous-time transfer function.
Model Properties
propValues2 = [sys2.TimeUnit,sys2.InputUnit]
propValues2 = 1×2 cell
{'minutes'} {'minutes'}
전달 함수 모델 sys2가 sys1과 동일한 속성을 가짐을 알 수 있습니다.
for 루프를 사용하여 전달 함수 모델로 구성된 배열을 지정할 수 있습니다.
먼저 전달 함수 배열에 0을 사전할당합니다.
sys = tf(zeros(1,1,3));
처음 2개의 인덱스는 모델의 출력 개수와 입력 개수를 나타내고, 세 번째 인덱스는 배열에 있는 모델의 개수를 나타냅니다.
for 루프에서 유리식을 사용하여 전달 함수 모델 배열을 만듭니다.
s = tf('s'); for k = 1:3 sys(:,:,k) = k/(s^2+s+k); end sys
sys(:,:,1,1) =
1
-----------
s^2 + s + 1
sys(:,:,2,1) =
2
-----------
s^2 + s + 2
sys(:,:,3,1) =
3
-----------
s^2 + s + 3
3x1 array of continuous-time transfer functions.
Model Properties
이 예제에서는 다음 상태공간 모델의 전달 함수를 계산합니다.
상태공간 행렬을 사용하여 상태공간 모델을 만듭니다.
A = [-2 -1;1 -2]; B = [1 1;2 -1]; C = [1 0]; D = [0 1]; ltiSys = ss(A,B,C,D);
상태공간 모델 ltiSys를 전달 함수로 변환합니다.
sys = tf(ltiSys)
sys =
From input 1 to output:
s
-------------
s^2 + 4 s + 5
From input 2 to output:
s^2 + 5 s + 8
-------------
s^2 + 4 s + 5
Continuous-time transfer function.
Model Properties
이 예제에서는 식별된 다항식 모델의 측정된 성분과 잡음 성분을 2개의 개별적인 전달 함수로 추출합니다.
identifiedModel.mat에서 Box-Jenkins 다항식 모델 ltiSys를 불러옵니다.
load('identifiedModel.mat','ltiSys');
ltiSys는 형식의 식별된 이산시간 모델입니다. 여기서 는 측정된 성분을 나타내고 는 잡음 성분을 나타냅니다.
측정된 성분과 잡음 성분을 전달 함수로 추출합니다.
sysMeas = tf(ltiSys,'measured') sysMeas =
From input "u1" to output "y1":
-0.1426 z^-1 + 0.1958 z^-2
z^(-2) * ----------------------------
1 - 1.575 z^-1 + 0.6115 z^-2
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
sysNoise = tf(ltiSys,'noise')sysNoise =
From input "v@y1" to output "y1":
0.04556 + 0.03301 z^-1
----------------------------------------
1 - 1.026 z^-1 + 0.26 z^-2 - 0.1949 z^-3
Input groups:
Name Channels
Noise 1
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
측정된 성분은 플랜트 모델로 기능할 수 있고, 잡음 성분은 제어 시스템 설계를 위한 외란 모델로 사용할 수 있습니다.
전달 함수 모델 객체는 모델이 나타내는 바를 확인하는 데 도움이 되는 모델 데이터를 포함합니다. 예를 들어, 모델의 입력과 출력에 이름을 할당할 수 있습니다.
다음과 같은 연속시간 MIMO 전달 함수 모델이 있다고 가정하겠습니다.
이 모델에는 1개의 입력 Current와 2개의 출력 Torque 및 Angular Velocity가 있습니다.
먼저 모델의 분자 계수와 분모 계수를 지정합니다.
numerators = {[1 1] ; 1};
denominators = {[1 2 2] ; [1 0]};입력 이름과 출력 이름을 지정하여 전달 함수 모델을 만듭니다.
sys = tf(numerators,denominators,'InputName','Current',... 'OutputName',{'Torque' 'Angular Velocity'})
sys =
From input "Current" to output...
s + 1
Torque: -------------
s^2 + 2 s + 2
1
Angular Velocity: -
s
Continuous-time transfer function.
Model Properties
이 예제에서는 'Variable' 속성을 사용하여 이산시간 전달 함수 모델의 다항식 순서를 지정합니다.
샘플 시간이 0.1초인 다음과 같은 이산시간 전달 함수가 있다고 가정하겠습니다.
z 계수를 지정하여 첫 번째 이산시간 전달 함수를 만듭니다.
numerator = [1,0,0]; denominator = [1,2,3]; ts = 0.1; sys1 = tf(numerator,denominator,ts)
sys1 =
z^2
-------------
z^2 + 2 z + 3
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
sys1의 계수는 z의 거듭제곱 내림차순으로 정렬됩니다.
tf는 'Variable' 속성의 값에 따라 규칙을 전환합니다. sys2는 sys1의 역 전달 함수 모델이므로 'Variable'을 'z^-1'로 지정하고 동일한 분자 및 분모 계수를 사용합니다.
sys2 = tf(numerator,denominator,ts,'Variable','z^-1')
sys2 =
1
-------------------
1 + 2 z^-1 + 3 z^-2
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
sys2의 계수는 이제 z^-1의 거듭제곱 오름차순으로 정렬됩니다.
다른 규칙이 필요한 경우 'Variable' 속성을 사용하여 전달 함수 모델의 다항식 순서를 지정할 수 있습니다.
이 예제에서는 하나의 조정 가능한 파라미터 a를 갖는 저역통과 필터를 만듭니다.
tunableTF 블록의 분자 계수와 분모 계수는 독립적이므로 tunableTF를 사용하여 F를 표현할 수 없습니다. 그 대신 조정 가능한 실수 parameter 객체 realp를 사용하여 F를 생성하십시오.
초기값 10을 사용하여 조정 가능한 실수 파라미터를 만듭니다.
a = realp('a',10)a =
Name: 'a'
Value: 10
Minimum: -Inf
Maximum: Inf
Free: 1
Real scalar parameter.
tf를 사용하여 조정 가능한 저역통과 필터 F를 만듭니다.
numerator = a; denominator = [1,a]; F = tf(numerator,denominator)
Generalized continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 1 states, and the following blocks: a: Scalar parameter, 2 occurrences. Model Properties Type "ss(F)" to see the current value and "F.Blocks" to interact with the blocks.
F는 Blocks 속성에 조정 가능한 파라미터 a가 있는 genss 객체입니다. F를 다른 조정 가능한 모델 또는 수치 모델과 연결하여 더 복잡한 제어 시스템 모델을 만들 수 있습니다. 예제는 Control System with Tunable Components 항목을 참조하십시오.
이 예제에서는 정적 이득 MIMO 전달 함수 모델을 만듭니다.
다음과 같은 2-입력 2-출력 정적 이득 행렬 m을 만듭니다.
이득 행렬을 지정하고 정적 이득 전달 함수 모델을 만듭니다.
m = [2,4;...
3,5];
sys1 = tf(m)sys1 = From input 1 to output... 1: 2 2: 3 From input 2 to output... 1: 4 2: 5 Static gain. Model Properties
위에서 얻은 정적 이득 전달 함수 모델 sys1을 사용하여 다른 전달 함수 모델에 종속 연결할 수 있습니다.
이 예제에서는 또 다른 2-입력 2-출력 이산 전달 함수 모델을 만들고 series 함수를 사용하여 두 모델을 연결합니다.
numerators = {1,[1,0];[-1,2],3};
denominator = [1,0.3];
ts = 0.2;
sys2 = tf(numerators,denominator,ts)sys2 =
From input 1 to output...
1
1: -------
z + 0.3
-z + 2
2: -------
z + 0.3
From input 2 to output...
z
1: -------
z + 0.3
3
2: -------
z + 0.3
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
sys = series(sys1,sys2)
sys =
From input 1 to output...
3 z^2 + 2.9 z + 0.6
1: -------------------
z^2 + 0.6 z + 0.09
-2 z^2 + 12.4 z + 3.9
2: ---------------------
z^2 + 0.6 z + 0.09
From input 2 to output...
5 z^2 + 5.5 z + 1.2
1: -------------------
z^2 + 0.6 z + 0.09
-4 z^2 + 21.8 z + 6.9
2: ---------------------
z^2 + 0.6 z + 0.09
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties
R2025a 이후
이 예제는 희소 상태공간 모델의 절단된 전달 함수 모델을 얻는 방법을 보여줍니다. 이 예제에서는 원형 원통형 막대의 열 분포에 대한 열 모델을 선형화하여 얻은 희소 모델을 사용합니다.
모델 데이터를 불러옵니다.
load cylindricalRod.mat
sys = sparss(A,B,C,D,E);
w = logspace(-7,-1,20);
size(sys)Sparse state-space model with 3 outputs, 1 inputs, and 7522 states.
모델의 주파수 응답을 분석합니다.
sigmaplot(sys,w)
절단된 근사를 구하기 위해 tf를 사용하고 관심 주파수 대역을 지정합니다. 이 모델에서는 0rad/s ~ 0.01rad/s 주파수 범위를 사용하여 저차 근사를 구할 수 있습니다.
tsys = tf(sys,Focus=[0 1e-2],Display="off");주파수 응답을 비교합니다.
sigmaplot(sys,tsys,w)
이 열 모델은 0.001rad/s를 넘어서면 매우 급격한 롤오프를 보입니다. 기본적으로 tf를 사용하여 얻은 축소 모델은 이 롤오프와 잘 일치되지 않습니다. 이를 완화하려면 tf의 RollOff 인수를 사용하여 관심 주파수 대역을 벗어날 경우에 대한 최소 롤오프 값을 지정할 수 있습니다. 롤오프 기울기 값을 -45로 지정합니다. 이 값은 최소 -900db/decade의 레이트에 해당합니다.
tsys2 = tf(sys,Focus=[0 1e-2],RollOff=-45,Display="off");
sigmaplot(sys,tsys2,w)
이제 축소된 모델이 롤오프 값을 훨씬 잘 근사합니다. 하지만 이 예제에서 tf를 사용하여 롤오프 기울기를 재조정하려면 영점과 극점을 다시 계산해야 합니다. 이 경우 대규모 모델이면 계산 비용이 많이 들 수 있습니다. 대안으로, reducespec의 영점-극점 절단 방법을 사용할 수 있으며, 소프트웨어가 극점과 영점을 계산한 후 추가 계산 비용 없이 롤오프를 조정할 수 있습니다. 예제는 Zero-Pole Truncation of Thermal Model 항목을 참조하십시오.
제한 사항
전달 함수 모델은 수치 계산에 적합하지 않습니다. 생성한 후에는 다른 모델과 결합하거나 모델 변환을 수행하기 전에 상태공간 형식으로 변환하십시오. 그런 다음 결과로 생성되는 모델을 검토를 위해 다시 전달 함수 형식으로 변환할 수 있습니다.
식별된 비선형 모델은
tf를 사용하여 전달 함수 모델로 직접 변환할 수 없습니다. 전달 함수 모델을 얻으려면 다음을 수행하십시오.식별된 비선형 모델을
linapp(System Identification Toolbox),idnlarx/linearize(System Identification Toolbox) 또는idnlhw/linearize(System Identification Toolbox)를 사용하여 식별된 LTI 모델로 변환합니다.그런 다음 결과로 생성되는 모델을
tf를 사용하여 전달 함수 모델로 변환합니다.
알고리즘
희소 모델을 변환하기 위해, tf는 지정된 주파수 대역에서 극점과 영점을 계산하기 위한 역거듭제곱 반복에 크릴로프-슈어(Krylov-Schur) 알고리즘[1]을 사용합니다.
참고 문헌
[1] Stewart, G. W. “A Krylov--Schur Algorithm for Large Eigenproblems.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 23, no. 3 (January 2002): 601–14. https://doi.org/10.1137/S0895479800371529.
