감마 분포

개요

감마 분포는 2-모수 곡선족입니다. 감마 분포는 기하급수적으로 분산된 확률 변수의 합을 모델링하며 카이제곱 및 지수 분포를 모두 일반화합니다.

Statistics and Machine Learning Toolbox™에서는 다음과 같이 감마 분포를 사용하는 여러 방법을 제공합니다.

• 확률 분포를 표본 데이터에 피팅하거나(fitdist) 모수 값을 지정하여(makedist) 확률 분포 객체 GammaDistribution을 생성합니다. 그런 다음 객체 함수를 사용하여 분포를 실행하고, 난수를 생성하는 등의 작업을 수행합니다.

• 분포 피팅기 앱을 사용하여 대화형 방식으로 감마 분포를 사용합니다. 앱에서 객체를 내보내고 객체 함수를 사용할 수 있습니다.

• 지정된 분포 모수를 이용해 분포 전용 함수(gamcdf, gampdf, gaminv, gamlike, gamstat, gamfit, gamrnd, randg)를 사용합니다. 분포 전용 함수는 여러 감마 분포의 모수를 받을 수 있습니다.

• 일반 분포 함수(cdf, icdf, pdf, random)를 지정된 분포 이름('Gamma') 및 모수와 함께 사용합니다.

모수

감마 분포는 다음 모수를 사용합니다.

모수	설명	지원
a	형태	a > 0
b	스케일	b > 0

표준 감마 분포는 단위 스케일을 가집니다.

형태 모수가 a₁ 및 a₂이고 스케일 모수가 b인 두 감마 확률 변수의 합은 형태 모수가 a = a₁ + a₂이고 스케일 모수가 b인 감마 확률 변수입니다.

모수 추정

가능도 함수는 모수의 함수로 표시되는 확률 밀도 함수(pdf)입니다. 최대가능도 추정값(MLE)은 x의 고정 값에 대해 가능도 함수를 최대화하는 모수 추정값입니다.

감마 분포에 대한 a와 b의 최대가능도 추정량은 다음 연립방정식의 해입니다.

$$\begin{array}{c}\log \widehat{a}-\psi (\widehat{a})=\log \left(\overline{x}/{\left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{x}_i}\right)}^{1/n}\right)\\ \widehat{b}=\frac{\overline{x}}{\widehat{a}}\end{array}$$

여기서 $$\overline{x}$$는 표본 x₁, x₂, …, x_n,의 표본평균이며 Ψ는 디감마 함수 psi입니다.

감마 분포를 데이터에 피팅하고 모수 추정값을 구하려면 gamfit, fitdist 또는 mle를 사용하십시오. 모수 추정값을 반환하는 gamfit 및 mle와 달리, fitdist는 피팅된 확률 분포 객체 GammaDistribution을 반환합니다. 객체 속성 a와 b는 모수 추정값을 저장합니다.

예제는 감마 분포를 데이터에 피팅하기 항목을 참조하십시오.

확률 밀도 함수

감마 분포의 pdf는 다음과 같습니다.

$$y=f(x|a,b)=\frac{1}{b^a\Gamma (a)}{x}^{a-1}{e}^{\frac{-x}{b}},$$

여기서 Γ( · )는 감마 함수입니다.

예제는 감마 분포 pdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

누적 분포 함수

감마 분포의 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.

$$p=F(x|a,b)=\frac{1}{b^a\Gamma (a)}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{\frac{-t}{b}}dt}.$$

결과 p는 모수 a 및 b를 갖는 감마 분포에서 하나의 관측값이 구간 [0 x]에 속할 확률입니다.

예제는 감마 분포 cdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

감마 cdf는 불완전 감마 함수 gammainc와 다음과 같은 관계가 있습니다.

$$f\left(x|a,b\right)=\text{gammainc}\left(\frac{x}{b},a\right).$$

역누적 분포 함수

감마 분포의 역누적 분포 함수(icdf)를 감마 cdf로 표현하면 다음과 같습니다.

$$x=F^{-1}(p|a,b)=\{x:F(x|a,b)=p\},$$

여기서

$$p=F(x|a,b)=\frac{1}{b^a\Gamma (a)}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{\frac{-t}{b}}dt}.$$

결과 x는 모수 a 및 b를 갖는 감마 분포에서 관측값이 확률 p로 범위 [0 x]에 속하는 값입니다.

위의 적분 방정식에는 알려진 해석적 해가 없습니다. gaminv는 해에 수렴하기 위해 반복적인 접근법(뉴턴의 방법)을 사용합니다.

기술 통계량

감마 분포의 평균은 ab입니다.

감마 분포의 분산은 ab²입니다.

예제

감마 분포를 데이터에 피팅하기

형태가 3이고 스케일이 5인 100개의 감마 난수 표본을 생성합니다.

x = gamrnd(3,5,100,1);

fitdist를 사용하여 감마 분포를 데이터에 피팅합니다.

pd = fitdist(x,'gamma')

pd = 
  GammaDistribution

  Gamma distribution
    a =  2.7783   [2.1374, 3.61137]
    b = 5.73438   [4.30198, 7.64372]

fitdist는 GammaDistribution 객체를 반환합니다. 모수 추정값 다음에 있는 구간은 분포 모수에 대한 95% 신뢰구간입니다.

분포 함수를 사용하여 모수 a와 b를 추정합니다.

[muhat,muci] = gamfit(x) % Distribution specific function

muhat = 1×2

    2.7783    5.7344

muci = 2×2

    2.1374    4.3020
    3.6114    7.6437

[muhat2,muci2] = mle(x,'distribution','gamma') % Generic function

muhat2 = 1×2

    2.7783    5.7344

muci2 = 2×2

    2.1374    4.3020
    3.6114    7.6437

감마 분포 pdf 계산하기

여러 형태 및 스케일 모수를 사용하여 감마 분포의 pdf를 계산합니다.

x = 0:0.1:50;
y1 = gampdf(x,1,10);
y2 = gampdf(x,3,5);
y3 = gampdf(x,6,4);

pdf를 플로팅합니다.

figure;
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend('a = 1, b = 10','a = 3, b = 5','a = 6, b = 4')

감마 분포 cdf 계산하기

여러 형태 및 스케일 모수를 사용하여 감마 분포의 cdf를 계산합니다.

x = 0:0.1:50;
y1 = gamcdf(x,1,10);
y2 = gamcdf(x,3,5);
y3 = gamcdf(x,6,4);

cdf를 플로팅합니다.

figure;
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('a = 1, b = 10','a = 3, b = 5','a = 6, b = 4',"Location","northwest")

감마 분포 pdf와 정규분포 pdf 비교하기

감마 분포는 형태 모수 $\mathit{a}$와 스케일 모수 $\mathit{b}$를 갖습니다. $\mathit{a}$의 크기가 큰 경우, 감마 분포는 평균이 $\mu =\mathit{ab}$이고 분산이 ${\sigma }^2=\mathit{a}{\mathit{b}}^2$인 정규분포에 가깝습니다.

모수 a = 100 및 b = 5를 갖는 감마 분포의 pdf를 계산합니다.

a = 100;
b = 5;
x = 250:750;
y_gam = gampdf(x,a,b);

비교를 위해, 감마가 근사하는 정규분포의 평균, 표준편차 및 pdf를 계산합니다.

mu = a*b

mu = 
500

sigma = sqrt(a*b^2)

sigma = 
50

y_norm = normpdf(x,mu,sigma);

감마 분포와 정규분포의 pdf를 동일한 Figure에 플로팅합니다.

plot(x,y_gam,'-',x,y_norm,'-.')
title('Gamma and Normal pdfs')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend('Gamma Distribution','Normal Distribution')

정규분포의 pdf는 감마 분포의 pdf를 근사합니다.

관련 분포

• Beta Distribution — 베타 분포는 모수 a(첫 번째 형태 모수) 및 b(두 번째 형태 모수)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. X₁ 및 X₂가 각각 형태 모수가 a₁ 및 a₂인 표준 감마 분포를 갖는 경우 $$Y=\frac{X_1}{X_1\text{}+X_2}$$는 형태 모수가 a₁ 및 a₂인 베타 분포를 가집니다.

• 카이제곱 분포 — 카이제곱 분포는 모수 ν(자유도)를 갖는 1-모수 연속 분포입니다. 카이제곱 분포는 2a = ν 및 b = 2인 감마 분포와 같습니다.

• 지수 분포 — 지수 분포는 모수 μ(평균)를 갖는 1-모수 연속 분포입니다. 지수 분포는 a = 1 및 b = μ인 감마 분포와 같습니다. 평균이 μ인 k개의 기하급수적으로 분산된 확률 변수의 합은 모수가 a = k 및 μ = b인 감마 분포입니다.

• 나카가미(Nakagami) 분포 — 나카가미 분포는 형태 모수가 µ이고 스케일 모수가 ω인 2-모수 연속 분포입니다. x가 나카가미 분포를 가지면 x²는 a = μ 및 ab = ω를 사용하는 감마 분포를 갖습니다.

• 정규분포 — 정규분포는 모수 μ(평균)와 σ(표준편차)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. a의 크기가 큰 경우, 감마 분포는 μ = ab 및 σ² = ab²인 정규분포에 가깝습니다. 예제는 감마 분포 pdf와 정규분포 pdf 비교하기 항목을 참조하십시오.

참고 문헌

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.

[3] Hahn, Gerald J., and Samuel S. Shapiro. Statistical Models in Engineering. Wiley Classics Library. New York: Wiley, 1994.

[4] Lawless, Jerald F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. 2nd ed. Wiley Series in Probability and Statistics. Hoboken, N.J: Wiley-Interscience, 2003.

[5] Meeker, William Q., and Luis A. Escobar. Statistical Methods for Reliability Data. Wiley Series in Probability and Statistics. Applied Probability and Statistics Section. New York: Wiley, 1998.

[6] Marsaglia, George, and Wai Wan Tsang. “A Simple Method for Generating Gamma Variables.” ACM Transactions on Mathematical Software 26, no. 3 (September 1, 2000): 363–72. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8.

참고 항목

GammaDistribution | gamcdf | gampdf | gaminv | gamlike | gamstat | gamfit | gamrnd | randg | makedist | fitdist

관련 항목

• 확률 분포 사용하기
• 지원되는 분포