카이제곱 분포
개요
카이제곱(χ2) 분포는 1-모수 곡선족입니다. 카이제곱 분포는 일반적으로 가설검정, 특히 피팅의 적합도에 대한 카이제곱 검정에 사용됩니다.
Statistics and Machine Learning Toolbox™에서는 다음과 같이 카이제곱 분포를 사용하는 여러 방법을 제공합니다.
모수
카이제곱 분포는 다음 모수를 사용합니다.
모수 | 설명 | 지원 |
---|---|---|
nu(ν) | 자유도 | ν = 1, 2, 3,... |
자유도 모수는 일반적으로 정수이지만, 카이제곱 함수는 임의의 양수 값을 받습니다.
자유도 ν1과 ν2를 갖는 두 카이제곱 확률 변수의 합은 자유도가 ν = ν1 + ν2인 카이제곱 확률 변수입니다.
확률 밀도 함수
카이제곱 분포의 확률 밀도 함수(pdf)는 다음과 같습니다.
여기서 ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다.
예제는 카이제곱 분포 pdf 계산하기 항목을 참조하십시오.
누적 분포 함수
카이제곱 분포의 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.
여기서 ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다. 결과 p는 자유도가 ν인 카이제곱 분포에서 단일 관측값이 구간 [0, x]에 속할 확률입니다.
예제는 카이제곱 분포 cdf 계산하기 항목을 참조하십시오.
역누적 분포 함수
카이제곱 분포의 역누적 분포 함수(icdf)는 다음과 같습니다.
여기서
ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다. 결과 p는 자유도가 ν인 카이제곱 분포에서 단일 관측값이 구간 [0, x]에 속할 확률입니다.
기술 통계량
카이제곱 분포의 평균은 ν입니다.
카이제곱 분포의 분산은 2ν입니다.
예제
카이제곱 분포 pdf 계산하기
자유도가 4인 카이제곱 분포의 pdf를 계산합니다.
x = 0:0.2:15; y = chi2pdf(x,4);
pdf를 플로팅합니다.
figure; plot(x,y) xlabel('Observation') ylabel('Probability Density')
카이제곱 분포는 특히 자유도가 적은 경우 오른쪽으로 편향됩니다.
카이제곱 분포 cdf 계산하기
자유도가 4인 카이제곱 분포의 cdf를 계산합니다.
x = 0:0.2:15; y = chi2cdf(x,4);
cdf를 플로팅합니다.
figure; plot(x,y) xlabel('Observation') ylabel('Cumulative Probability')
관련 분포
F 분포 — F 분포는 모수 ν1(분자 자유도)과 ν2(분모 자유도)를 갖는 2-모수 분포입니다. F 분포는 비율로 정의할 수 있습니다. 여기서 χ21과 χ22는 둘 다 자유도가 각각 ν1과 ν2인 카이제곱 분포입니다.
감마 분포 — 감마 분포는 모수 a(형태)와 b(스케일)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. 카이제곱 분포는 2a = ν 및 b = 2인 감마 분포와 같습니다.
Noncentral Chi-Square Distribution — 비중심 카이제곱 분포는 모수 ν(자유도)와 δ(비중심성)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. 비중심 카이제곱 분포는 δ = 0인 경우 카이제곱 분포와 같습니다.
정규분포 — 정규분포는 모수 μ(평균)와 σ(표준편차)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. μ = 0이고 σ = 1이면 표준 정규분포가 발생합니다.
Z1, Z2, …, Zn이 표준 정규 확률 변수인 경우 은 자유도가 ν = n – 1인 카이제곱 분포를 갖습니다.
관측값이 n개인 하나의 세트가 분산 σ2과 표본 분산 s2으로 정규분포되어 있는 경우 은 자유도가 ν = n – 1인 카이제곱 분포를 갖습니다. 이 관계는 함수
normfit
에서 정규 모수 σ2의 추정값에 대한 신뢰구간을 계산하는 데 사용됩니다.스튜던트 t 분포 — 스튜던트 t 분포는 모수 ν(자유도)를 갖는 1-모수 연속 분포입니다. Z가 표준 정규분포를 갖고 χ2이 자유도가 ν인 카이제곱 분포를 갖는 경우 는 자유도가 ν인 스튜던트 t 분포를 갖습니다.
Wishart Distribution — 위샤트 분포는 카이제곱 분포와 유사하되 차원이 더 높은 분포입니다.
참고 문헌
[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.
[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8
[3] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.
[4] Kreyszig, Erwin. Introductory Mathematical Statistics: Principles and Methods. New York: Wiley, 1970.
참고 항목
chi2cdf
| chi2pdf
| chi2inv
| chi2stat
| chi2gof
| chi2rnd