균등분포(연속)

개요

균등분포(직사각형 분포라고도 함)는 2개의 경계 모수 간에 일정한 확률 분포 함수(pdf)를 갖기 때문에 주목할 만한 2-모수 곡선족입니다. 이 분포는 특정 소수 자릿수까지 표시하는 값의 반올림 오차 분포를 나타내기에 적합합니다. 균등분포는 역산법과 같은 난수 생성 기법에 사용됩니다.

Statistics and Machine Learning Toolbox™에서는 다음과 같이 균등분포를 사용하는 여러 방법을 제공합니다.

모수 값(makedist)을 지정하여 확률 분포 객체 UniformDistribution을 생성합니다. 그런 다음 객체 함수를 사용하여 분포를 실행하고, 난수를 생성하는 등의 작업을 수행합니다.
지정된 분포 모수를 이용해 분포 전용 함수(unifcdf, unifpdf, unifinv, unifit, unifstat, unifrnd)를 사용합니다. 분포 전용 함수는 여러 균등분포의 모수를 받을 수 있습니다.
일반 분포 함수(cdf, icdf, pdf, random)를 지정된 분포 이름('Uniform') 및 모수와 함께 사용합니다.

모수

균등분포는 다음 모수를 사용합니다.

모수	설명	지원
`a`	하한 끝점	-∞ < a < b
`b`	상한 끝점	a < b < ∞

표준 균등분포는 a = 0 및 b = 1을 갖습니다.

모수 추정

최대가능도 추정값(MLE)은 가능도 함수를 최대화하는 모수 추정값입니다. 균등분포에 대한 a와 b의 최대가능도 추정량은 각각 표본 최솟값과 최댓값입니다.

균등분포를 데이터에 피팅하고 모수 추정값을 구하려면, unifit 또는 mle를 사용하십시오.

확률 밀도 함수

균등분포의 pdf는 다음과 같습니다.

$f (x | a, b) = {\begin{matrix} (\frac{1}{b - a}); a \leq x \leq b \\ 0; o t h e r w i s e \end{matrix} .$

pdf는 a와 b 사이에서 균일합니다.

예제는 연속 균등분포 pdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

누적 분포 함수

균등분포의 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.

$F (x | a, b) = {\begin{matrix} 0; x < a \\ \frac{x - a}{b - a}; a \leq x < b \\ 1; x \geq b \end{matrix} .$

결과 p는 모수 a 및 b를 갖는 균등분포에서 하나의 관측값이 구간 [a x]에 속할 확률입니다.

예제는 연속 균등분포 cdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

기술 통계량

균등분포의 평균은 $μ = \frac{1}{2} (a + b)$ 입니다.

균등분포의 분산은 $σ^{2} = \frac{1}{12} {(b - a)}^{2}$ 입니다.

난수 생성

표준 균등분포를 사용하여 역산법으로 기타 연속 분포에 대한 난수를 생성할 수 있습니다. 역산법은 연속 누적 분포 함수(cdf)가 열린 구간 (0, 1)에 걸쳐 균일하다는 원칙을 기반으로 합니다. u가 (0, 1)에서 균일하게 분포된 난수인 경우 x = F^–1(u)는 지정된 cdf F를 갖는 연속 분포에서 난수 x를 생성합니다.

예제는 균등분포의 역을 사용하여 난수 생성하기 항목을 참조하십시오.

예제

연속 균등분포 pdf 계산하기

라이브 스크립트 열기

모수가 서로 다른 3개의 균등분포 객체를 생성합니다.

pd1 = makedist('Uniform');                      % Standard uniform distribution
pd2 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',2); % Uniform distribution with a = -2 and b = 2
pd3 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',1); % Uniform distribution with a = -2 and b = 1

3개의 균등분포에 대한 pdf를 계산합니다.

x = -3:.01:3;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

동일한 축에 pdf를 플로팅합니다.

figure;
plot(x,pdf1,'r','LineWidth',2); 
hold on;
plot(x,pdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,pdf3,'b-.','LineWidth',2);
legend({'a = 0, b = 1','a = -2, b = 2','a = -2, b = 1'},'Location','northwest');
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
hold off;

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Observation, ylabel Probability Density contains 3 objects of type line. These objects represent a = 0, b = 1, a = -2, b = 2, a = -2, b = 1.

구간 (a,b)의 너비가 증가하면 각 pdf의 높이는 감소합니다.

연속 균등분포 cdf 계산하기

라이브 스크립트 열기

모수가 서로 다른 3개의 균등분포 객체를 생성합니다.

pd1 = makedist('Uniform');                      % Standard uniform distribution
pd2 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',2); % Uniform distribution with a = -2 and b = 2
pd3 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',1); % Uniform distribution with a = -2 and b = 1

3개의 균등분포에 대한 cdf를 계산합니다.

x = -3:.01:3;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

동일한 축에 cdf를 플로팅합니다.

figure;
plot(x,cdf1,'r','LineWidth',2); 
hold on;
plot(x,cdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,cdf3,'b-.','LineWidth',2);
legend({'a = 0, b = 1','a = -2, b = 2','a = -2, b = 1'},'Location','NW');
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
hold off;

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Observation, ylabel Cumulative Probability contains 3 objects of type line. These objects represent a = 0, b = 1, a = -2, b = 2, a = -2, b = 1.

구간 (a,b)의 너비가 증가하면 각 cdf의 기울기는 감소합니다.

참고 문헌

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.

참고 항목