butter

버터워스 필터 설계

구문

[b,a] = butter(n,Wn)

[b,a] = butter(n,Wn,ftype)

[z,p,k] = butter(___)

[A,B,C,D] = butter(___)

[___] = butter(___,'s')

설명

[b,a] = butter(n,Wn)은 정규화된 차단 주파수 Wn을 갖는 n차 저역통과 디지털 버터워스 필터의 전달 함수 계수를 반환합니다.

[b,a] = butter(n,Wn,ftype)은 ftype의 값과 Wn의 요소 개수에 따라 저역통과, 고역통과, 대역통과 또는 대역저지 버터워스 필터를 설계합니다. 결과로 생성되는 대역통과 설계와 대역저지 설계는 차수가 2n입니다.

참고: 전달 함수를 구성하는 데 영향을 미치는 수치적 문제에 대한 자세한 내용은 제한 사항 항목을 참조하십시오.

[z,p,k] = butter(___)는 저역통과, 고역통과, 대역통과 또는 대역저지 디지털 버터워스 필터를 설계하고 이 필터의 영점, 극점, 이득을 반환합니다. 이 구문은 위에 열거한 구문에 있는 어떤 입력 인수도 포함할 수 있습니다.

[A,B,C,D] = butter(___)는 저역통과, 고역통과, 대역통과 또는 대역저지 디지털 버터워스 필터를 설계하고 이 필터의 상태공간 표현을 지정하는 행렬을 반환합니다.

[___] = butter(___,'s')는 차단 각주파수 Wn을 갖는 저역통과, 고역통과, 대역통과 또는 대역저지 아날로그 버터워스 필터를 설계합니다.

예제

저역통과 버터워스 전달 함수

1000Hz로 샘플링된 데이터에 대해 $$0.6\pi$$ rad/sample에 해당하는 수치인 300Hz의 차단 주파수를 갖는 6차 저역통과 버터워스 필터를 설계합니다. 필터의 크기 응답과 위상 응답을 플로팅합니다. 이를 사용하여 1000개 샘플로 구성된 랜덤 신호를 필터링합니다.

fc = 300;
fs = 1000;

[b,a] = butter(6,fc/(fs/2));

freqz(b,a,[],fs)

subplot(2,1,1)
ylim([-100 20])

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

대역저지 버터워스 필터

$$0.2\pi$$ rad/sample과 $$0.6\pi$$ rad/sample의 정규화된 경계 주파수를 갖는 6차 버터워스 대역저지 필터를 설계합니다. 필터의 크기 응답과 위상 응답을 플로팅합니다. 이를 사용하여 랜덤 데이터를 필터링합니다.

[b,a] = butter(3,[0.2 0.6],'stop');
freqz(b,a)

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

고역통과 버터워스 필터

9차 고역통과 버터워스 필터를 설계합니다. 1000Hz로 샘플링된 데이터에 대해 $$0.6\pi$$ rad/sample에 해당하는 수치인 300Hz로 차단 주파수를 지정합니다. 크기 응답과 위상 응답을 플로팅합니다. 영점, 극점, 이득을 2차섹션형(SOS)으로 변환합니다. 필터의 주파수 응답을 표시합니다.

[z,p,k] = butter(9,300/500,"high");
sos = zp2sos(z,p,k);
freqz(sos)

대역통과 버터워스 필터

저역 차단 주파수가 500Hz이고 고역 차단 주파수가 560Hz인 20차 버터워스 대역통과 필터를 설계합니다. 샘플 레이트를 1500Hz로 지정합니다. 상태공간 표현을 사용합니다. 상태공간 표현을 2차섹션형(SOS)으로 변환합니다. 주파수 응답을 시각화합니다.

fs = 1500;
[A,B,C,D] = butter(10,[500 560]/(fs/2));
sos = ss2sos(A,B,C,D);
freqz(sos,[],fs)

designfilt를 사용하여 동일한 필터를 설계합니다. 주파수 응답을 시각화합니다.

d = designfilt("bandpassiir",FilterOrder=20, ...
    HalfPowerFrequency1=500,HalfPowerFrequency2=560, ...
    SampleRate=fs);
freqz(d,[],fs)

아날로그 IIR 저역통과 필터 비교

2GHz의 차단 주파수를 갖는 5차 아날로그 버터워스 저역통과 필터를 설계합니다. $$2\pi$$를 곱하여 주파수를 초당 라디안 값으로 변환합니다. 4096개 점에서 필터의 주파수 응답을 계산합니다.

n = 5;
fc = 2e9;

[zb,pb,kb] = butter(n,2*pi*fc,"s");
[bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb);
[hb,wb] = freqs(bb,ab,4096);

동일한 경계 주파수와 3dB의 통과대역 리플을 갖는 5차 체비쇼프 유형 I 필터를 설계합니다. 필터의 주파수 응답을 계산합니다.

[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,2*pi*fc,"s");
[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1);
[h1,w1] = freqs(b1,a1,4096);

동일한 경계 주파수와 30dB의 저지대역 감쇠량을 갖는 5차 체비쇼프 유형 II 필터를 설계합니다. 필터의 주파수 응답을 계산합니다.

[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,2*pi*fc,"s");
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2);
[h2,w2] = freqs(b2,a2,4096);

동일한 경계 주파수, 3dB의 통과대역 리플, 30dB의 저지대역 감쇠량을 갖는 5차 타원 필터를 설계합니다. 필터의 주파수 응답을 계산합니다.

[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,2*pi*fc,"s");
[be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke);
[he,we] = freqs(be,ae,4096);

동일한 경계 주파수를 갖는 5차 베셀 필터를 설계합니다. 필터의 주파수 응답을 계산합니다.

[zf,pf,kf] = besself(n,2*pi*fc);
[bf,af] = zp2tf(zf,pf,kf);
[hf,wf] = freqs(bf,af,4096);

감쇠량(단위: 데시벨)을 플로팅합니다. 주파수를 기가헤르츠 단위로 표현합니다. 필터를 비교합니다.

plot([wb w1 w2 we wf]/(2e9*pi), ...
    mag2db(abs([hb h1 h2 he hf])))
axis([0 5 -45 5])
grid
xlabel("Frequency (GHz)")
ylabel("Attenuation (dB)")
legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"])

버터워스 필터와 체비쇼프 유형 II 필터는 평탄한 통과대역과 넓은 천이 대역을 가집니다. 체비쇼프 유형 I 필터와 타원 필터는 더 빨리 롤오프되지만 통과대역 리플을 가집니다. 체비쇼프 유형 II 설계 함수에 대한 주파수 입력값은 통과대역의 끝값이 아니라 저지대역의 시작값을 설정합니다. 베셀 필터는 통과대역에서 거의 일정한 군지연을 가집니다.

입력 인수

n — 필터 차수

정수 스칼라

필터 차수로, 정수 스칼라로 지정됩니다. 대역통과 및 대역저지 설계의 경우, n은 필터 차수의 절반을 나타냅니다.

데이터형: double

Wn — 차단 주파수

스칼라 | 요소를 2개 가진 벡터

차단 주파수로, 스칼라 또는 요소를 2개 가진 벡터로 지정됩니다. 차단 주파수는 필터의 크기 응답이 1 / √2인 주파수입니다.

• Wn이 스칼라이면 butter는 차단 주파수 Wn을 갖는 저역통과 필터나 고역통과 필터를 설계합니다.

  Wn이 요소를 2개 가진 벡터 [w1 w2](여기서 w1 < w2)이면 butter는 하한 경계 주파수 w1과 상한 경계 주파수 w2를 갖는 대역통과 필터나 대역저지 필터를 설계합니다.

• 디지털 필터의 경우, 차단 주파수는 0과 1 사이에 있어야 합니다. 여기서 1은 샘플 레이트의 절반, 즉 π rad/sample인 나이퀴스트 레이트에 해당합니다.

  아날로그 필터의 경우, 차단 주파수는 초당 라디안으로 표현되어야 하고 모든 양의 값을 받을 수 있습니다.

데이터형: double

ftype — 필터 유형

'low' | 'bandpass' | 'high' | 'stop'

필터 유형으로, 다음 중 하나로 지정됩니다.

• 'low'는 차단 주파수 Wn을 갖는 저역통과 필터를 지정합니다. 'low'는 스칼라 Wn의 디폴트 값입니다.

• 'high'는 차단 주파수 Wn을 갖는 고역통과 필터를 지정합니다.

• 'bandpass'는 Wn이 요소를 2개 가진 벡터인 경우 차수가 2n인 대역통과 필터를 지정합니다. 'bandpass'는 Wn이 2개의 요소를 가지는 경우 디폴트 값입니다.

• 'stop'은 Wn이 요소를 2개 가진 벡터인 경우 차수가 2n인 대역저지 필터를 지정합니다.

출력 인수

b,a — 전달 함수 계수

행 벡터

필터의 전달 함수 계수로, 저역통과 필터와 고역통과 필터에 대해서는 길이가 n + 1인 행 벡터로 반환되고 대역통과 필터와 대역저지 필터에 대해서는 길이가 2n + 1인 행 벡터로 반환됩니다.

• 디지털 필터의 경우, 전달 함수는 다음과 같이 b와 a로 표현됩니다.

  $$H(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{\text{b(1)}+\text{b(2)}{z}^{-1}+\cdots +\text{b(n+1)}{z}^{-n}}{\text{a(1)}+\text{a(2)}{z}^{-1}+\cdots +\text{a(n+1)}{z}^{-n}}.$$

• 아날로그 필터의 경우, 전달 함수는 다음과 같이 b와 a로 표현됩니다.

  $$H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{\text{b(1)}{s}^n+\text{b(2)}{s}^{n-1}+\cdots +\text{b(n+1)}}{\text{a(1)}{s}^n+\text{a(2)}{s}^{n-1}+\cdots +\text{a(n+1)}}.$$

데이터형: double

z,p,k — 영점, 극점, 이득

열 벡터, 스칼라

필터의 영점, 극점, 이득으로, 길이가 n(대역통과 설계와 대역저지 설계의 경우 2n임)인 두 개의 열 벡터와 하나의 스칼라로 반환됩니다.

• 디지털 필터의 경우, 전달 함수는 다음과 같이 z, p, k로 표현됩니다.

  $$H(z)=\text{k}\frac{(1-\text{z(1)}{z}^{-1})(1-\text{z(2)}{z}^{-1})\cdots (1-\text{z(n)}{z}^{-1})}{(1-\text{p(1)}{z}^{-1})(1-\text{p(2)}{z}^{-1})\cdots (1-\text{p(n)}{z}^{-1})}.$$

• 아날로그 필터의 경우, 전달 함수는 다음과 같이 z, p, k로 표현됩니다.

  $$H(s)=\text{k}\frac{(s-\text{z(1)})(s-\text{z(2)})\cdots (s-\text{z(n)})}{(s-\text{p(1)})(s-\text{p(2)})\cdots (s-\text{p(n)})}.$$

데이터형: double

A,B,C,D — 상태공간 행렬

행렬

필터의 상태공간 표현으로, 행렬로 반환됩니다. 저역통과 설계와 고역통과 설계에 대해 m = n이고 대역통과 필터와 대역저지 필터에 대해 m = 2n이면 A는 m × m, B는 m × 1, C는 1 × m, 그리고 D는 1 × 1입니다.

• 디지털 필터의 경우, 상태공간 행렬은 상태 벡터 x, 입력값 u, 출력값 y와 다음 관계를 가집니다.

  $$\begin{array}{c}x(k+1)=\text{A}x(k)+\text{B}u(k)\\ y(k)=\text{C}x(k)+\text{D}u(k).\end{array}$$

• 아날로그 필터의 경우, 상태공간 행렬은 상태 벡터 x, 입력값 u, 출력값 y와 다음 관계를 가집니다.

  $$\begin{array}{l}\dot{x}=\text{A}x+\text{B}u\\ y=\text{C}x+\text{D}u.\end{array}$$

데이터형: double

세부 정보

제한 사항

전달 함수 구문의 수치적 불안정성

일반적으로, [z,p,k] 구문을 사용하여 IIR 필터를 설계하십시오. 그런 다음, zp2sos에 [z,p,k] 출력값을 사용하여 필터를 분석하거나 구현할 수 있습니다. [b,a] 구문을 사용하여 필터를 설계하면 수치적 문제가 발생할 수 있습니다. 이러한 문제는 반올림 오차로 인해 발생하며, n이 4 정도로 낮을 때 발생할 수 있습니다. 다음 예제에서는 이러한 한계를 보여줍니다.

n = 6;
Wn = [2.5e6 29e6]/500e6;
ftype = 'bandpass';

% Transfer Function design
[b,a] = butter(n,Wn,ftype);      % This is an unstable filter

% Zero-Pole-Gain design
[z,p,k] = butter(n,Wn,ftype);
sos = zp2sos(z,p,k);

% Display and compare results
[h,f] = freqz(b,a,8192);
hsos = freqz(sos,8192);

semilogx(f/pi,mag2db(abs([h hsos])))
grid
legend('TF Design','ZPK Design')
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
ylabel('Magnitude (dB)')

알고리즘

버터워스 필터의 크기 응답은 통과대역이 최대로 평탄하고 전체적으로 단조적(Monotonic)입니다. 이렇게 매끄러운 대신 롤오프 가파름은 낮습니다. 일반적으로 타원 필터와 체비쇼프 필터는 지정된 필터 차수에 대해 더욱 가파른 롤오프를 제공합니다.

butter는 다음 5단계의 알고리즘을 사용합니다.

1. 함수 buttap를 사용하여 저역통과 아날로그 프로토타입 극점, 영점, 이득을 구합니다.

2. 극점, 영점, 이득을 상태공간 형식으로 변환합니다.

3. 필요한 경우, 상태공간 변환을 사용하여 원하는 주파수 제약 조건을 갖는 대역통과 필터, 고역통과 필터 또는 대역저지 필터로 저역통과 필터를 변환합니다.

4. 디지털 필터 설계의 경우, bilinear를 사용하여 주파수 사전 워핑을 사용한 쌍선형 변환을 통해 아날로그 필터를 디지털 필터로 변환합니다. 주파수를 세심하게 조정하여 아날로그 필터와 디지털 필터가 Wn 또는 w1과 w2에서 동일한 주파수 응답 크기를 갖도록 할 수 있습니다.

5. 필요한 경우, 상태공간 필터를 다시 전달 함수나 영점-극점-이득 형식으로 변환합니다.

확장 기능

C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

앱

• 필터 분석기 | 필터 디자이너

함수

• besself | buttap | buttord | cheby1 | cheby2 | designfilt | ellip | filter | maxflat | sosfilt