mldivide, \

x에 대한 선형 연립방정식 Ax = B의 해 구하기

구문

x = A\B

x = mldivide(A,B)

설명

x = A\B는 선형 연립방정식 A*x = B의 해를 구합니다. 행렬 A와 B의 행 개수는 동일해야 합니다. A가 준특이 행렬(badly scaled)이거나 유사 특이 행렬(Nearly Singular)이면 MATLAB^®에서 경고 메시지가 표시되지만, 계산은 이에 관계없이 수행됩니다.

• A가 스칼라인 경우 A\B는 A.\B와 동일합니다.

• A가 정사각 n×n 행렬이고 B가 n개 행을 갖는 행렬이면, x = A\B는 방정식 A*x = B의 해가 존재하는 경우 그 해가 됩니다.

• A가 m ~= n인 직사각 m×n 행렬이고 B가 m개 행을 갖는 행렬이면, A\B는 연립방정식 A*x= B에 대한 최소제곱해(Least-squares Solution)를 반환합니다. x는 최소 노름 해가 아닐 수 있습니다.

x = mldivide(A,B)는 x = A\B를 실행하는 또 다른 방법이지만 거의 사용되지 않습니다. 이 표현식은 클래스에 대한 연산자 오버로드를 지원합니다.

예제

연립방정식

간단한 선형 연립방정식 A*x = B를 풉니다.

A = magic(3);
B = [15; 15; 15];
x = A\B

x = 3×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000

특이 행렬이 있는 선형 시스템

특이 행렬 A가 있는 선형 연립방정식 A*x = b를 풉니다.

A = magic(4);
b = [34; 34; 34; 34];
x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  1.306145e-17.

x = 4×1

    1.5000
    2.5000
   -0.5000
    0.5000

rcond가 0과 eps 사이이면 MATLAB®에서 유사 특이 행렬(Nearly Singular) 경고가 발생하지만, 계산은 계속 진행됩니다. 조건이 나쁜 행렬을 사용하는 경우에는 잔차 (b-A*x)가 상대적으로 작더라도 신뢰할 수 없는 해가 반환될 수 있습니다. 이 특정 예에서는 잔차의 노름이 0이므로, rcond가 작더라도 엄밀해를 구할 수 있습니다.

rcond가 0이면 특이 행렬 경고가 나타납니다.

A = [1 0; 0 0];
b = [1; 1];
x = A\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 2×1

     1
   Inf

이 경우, 0으로 나누기를 수행하면 Inf 및/또는 NaN을 사용한 계산이 수행되므로 계산 결과를 신뢰할 수 없게 됩니다.

부족 결정 시스템에 대한 최소제곱해(Least-squares Solution)

선형 연립방정식 A*x = b를 풉니다.

A = [1 2 0; 0 4 3];
b = [8; 18];
x = A\b

x = 3×1

         0
    4.0000
    0.6667

희소 행렬이 있는 선형 시스템

희소 행렬을 사용하여 간단한 선형 연립방정식을 풉니다.

행렬 방정식 A*x = B가 있다고 가정해 보겠습니다.

A = sparse([0 2 0 1 0; 4 -1 -1 0 0; 0 0 0 3 -6; -2 0 0 0 2; 0 0 4 2 0]);
B = sparse([8; -1; -18; 8; 20]);
x = A\B

x = 5×1 sparse double column vector (5 nonzeros)
   (1,1)       1.0000
   (2,1)       2.0000
   (3,1)       3.0000
   (4,1)       4.0000
   (5,1)       5.0000

입력 인수

A, B — 피연산자

벡터 | 비희소 행렬 | 희소 행렬

피연산자로, 벡터, 비희소 행렬 또는 희소 행렬로 지정됩니다. A와 B는 행 개수가 같아야 합니다.

A가 스칼라이면 요소별 나눗셈이 수행됩니다. 요소별 나눗셈에는 정수 데이터형만 지원됩니다. 자세한 내용은 ldivide 항목을 참조하십시오.

데이터형: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | logical | char
복소수 지원 여부: 예

출력 인수

x — 해(Solution)

벡터 | 비희소 행렬(Full Matrix) | 희소 행렬

벡터, 비희소 행렬, 희소 행렬 중 하나가 해로 반환됩니다. A가 m×n 행렬이고 B가 m×p 행렬인 경우 x는 n×p 행렬이 됩니다(p==1인 경우 포함).

A가 비희소 저장 형식을 갖는 경우 x도 비희소 저장 형식을 갖습니다. A가 희소 행렬인 경우 x는 B와 동일한 저장 형식을 갖습니다.

팁

• 연산자 /와 \는 등식 B/A = (A'\B')'의 관계에 있습니다.

• A가 정사각 행렬인 경우 A\B는 대략적으로 inv(A)*B와 같지만 MATLAB에서는 A\B를 이와 다르게 더욱 견고한 방식으로 처리합니다.

• A의 랭크가 A의 열 개수보다 작은 경우, x = A\B가 반드시 최소 노름 해가 되지는 않습니다. x = lsqminnorm(A,B) 또는 x = pinv(A)*B를 사용하여 최소 노름 최소제곱해를 계산할 수 있습니다.

• 각기 다른 우변을 갖는 선형 시스템을 효율적으로 여러 번 풀려면 decomposition을 사용하십시오. decomposition 객체를 사용하면 계수 행렬 분해를 여러 번 수행할 필요가 없으므로, 반복적으로 해를 구해야 하는 문제를 풀 때 적합합니다.

알고리즘

선형 시스템을 풀 때 mldivide를 다양하게 활용할 수 있는 것은 적절한 솔버에 디스패치하여 문제의 대칭성을 활용할 수 있는 기능 덕분입니다. 이 접근 방식은 계산 시간을 최소화하는 것이 목적입니다. 이 함수는 가장 먼저 비희소(Full)("조밀"이라고도 함) 형식 입력 배열과 희소 형식 입력 배열을 구분합니다.

비희소 형식 입력값에 대한 알고리즘

아래에 나와 있는 플로우 차트에서는 입력값 A와 B가 비희소 형식인 경우의 알고리즘 경로를 보여줍니다.

희소 형식 입력값에 대한 알고리즘

A가 비희소 행렬이고 B가 희소 행렬인 경우, mldivide는 B를 비희소 행렬로 변환하고 비희소 형식 알고리즘 경로(위에 나와 있음)를 사용하여 비희소 저장 형식으로 해를 계산합니다. A가 희소 행렬인 경우, 해 x의 저장 형식은 B의 저장 형식과 같으며, mldivide는 아래 나와 있는 것처럼 희소 형식 입력값에 대한 알고리즘 경로를 따릅니다.

참고 문헌

[1] Gilbert, John R., and Tim Peierls. “Sparse Partial Pivoting in Time Proportional to Arithmetic Operations.” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 9, no. 5 (September 1988): 862–874. https://doi.org/10.1137/0909058.

[2] Anderson, E., ed. LAPACK Users’ Guide. 3rd ed. Software, Environments, Tools. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. https://doi.org/10.1137/1.9780898719604.

[3] Davis, Timothy A. "Algorithm 832: UMFPACK V4.3 – an unsymmetric-pattern multifrontal method." ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 196–199. https://doi.org/10.1145/992200.992206.

[4] Duff, Iain S. “MA57---a Code for the Solution of Sparse Symmetric Definite and Indefinite Systems.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 118–144. https://doi.org/10.1145/992200.992202.

[5] Davis, Timothy A., John R. Gilbert, Stefan I. Larimore, and Esmond G. Ng. “Algorithm 836: COLAMD, a Column Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 3 (September 2004): 377–380. https://doi.org/10.1145/1024074.1024080.

[6] Amestoy, Patrick R., Timothy A. Davis, and Iain S. Duff. “Algorithm 837: AMD, an Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 3 (September 2004): 381–388. https://doi.org/10.1145/1024074.1024081.

[7] Chen, Yanqing, Timothy A. Davis, William W. Hager, and Sivasankaran Rajamanickam. “Algorithm 887: CHOLMOD, Supernodal Sparse Cholesky Factorization and Update/Downdate.” ACM Transactions on Mathematical Software 35, no. 3 (October 2008): 1–14. https://doi.org/10.1145/1391989.1391995.

[8] Davis, Timothy A. “Algorithm 915, SuiteSparseQR: Multifrontal Multithreaded Rank-Revealing Sparse QR Factorization.” ACM Transactions on Mathematical Software 38, no. 1 (November 2011): 1–22. https://doi.org/10.1145/2049662.2049670.

확장 기능

tall형 배열

메모리에 담을 수 없을 정도로 많은 행을 가진 배열을 계산할 수 있습니다.

이 함수는 tall형 배열을 지원하지만 다음과 같은 제한 사항이 있습니다.

구문 Z = X\Y의 경우 배열 X는 스칼라이거나 Y와 행 개수가 같은 tall형 행렬이어야 합니다.

자세한 내용은 메모리에 담을 수 없는 큰 데이터를 위한 tall형 배열 항목을 참조하십시오.

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 희소 행렬 입력값을 사용하려면 언어 표준이 C99 이상이어야 합니다.

• 코드를 생성하려면 피연산자 A와 B는 double형이어야 합니다.

GPU 코드 생성

GPU Coder™를 사용하여 NVIDIA® GPU용 CUDA® 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 희소 행렬 입력값을 사용하려면 언어 표준이 C99 이상이어야 합니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

mldivide 함수는 GPU 배열 입력값을 지원하지만 다음과 같은 사용법 관련 참고 및 제한 사항이 있습니다.

• A가 직사각 행렬인 경우 이는 비희소 행렬이어야 합니다.

• MATLAB mldivide 함수는 A가 준특이 행렬, 유사 특이 행렬 또는 랭크 부족 행렬이면 경고를 출력합니다. gpuArray mldivide는 이 조건을 확인할 수 없습니다. 따라서 이 조건을 피하기 위한 조치를 수행해야 합니다.

자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• MATLAB mldivide 함수는 A가 준특이 행렬, 유사 특이 행렬 또는 랭크 부족 행렬이면 경고를 출력합니다. 분산 배열 mldivide는 이 조건을 확인할 수 없습니다. 따라서 이 조건을 피하기 위한 조치를 수행해야 합니다.

자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2025a: 코드 생성 시 double형의 희소 행렬 지원

코드 생성 시 double형의 희소 행렬이 지원됩니다.

R2024a: 삼중대각 행렬에서 성능이 향상됨

mldivide 함수는 완전 삼중대각 계수 행렬 A를 갖는 선형 시스템 A*x = b를 풀 때 향상된 성능을 보입니다. 이제 mldivide는 조밀 행렬과 희소 행렬 모두에서 삼중대각 구조를 감지하고 이러한 경우에 특정 솔버를 사용합니다.

이전에는 mldivide가 희소 행렬에서만 삼중대각 구조를 감지하고 값의 절반 이상이 0이 아닌 경우에만 관련 솔버를 사용했습니다.

예를 들어 다음 코드는 삼중대각 행렬 D에 대해 지정된 선형 시스템을 풉니다. 이 코드는 이전 릴리스보다 약 6.5배 빠릅니다.

function t = timingTest
n = 5e3;
A = randn(n);
[L,D,P] = ldl(A,"upper");
b = randn(n,1);

f = @() D\b;
t = timeit(f);
end

대략적인 실행 시간은 다음과 같습니다.

R2023b: 0.13초

R2024a: 0.02초

코드 실행 시간은 Windows^® 11, AMD EPYC™ 74F3 24-Core Processor @ 3.19GHz 테스트 시스템에서 timingTest 함수를 호출하여 측정했습니다.

R2022b: 행렬 크기가 작은 경우의 성능이 향상됨

mldivide 함수는 작은 계수 행렬 A로 선형 시스템 A*x = b를 풀 때 향상된 성능을 보입니다. 성능 향상은 16×16 이하의 실수 행렬과 8×8 이하의 복소수 행렬에 적용됩니다.

예를 들어 다음 코드는 12×12 실수 행렬로 지정된 선형 시스템을 풉니다. 이 코드는 이전 릴리스보다 약 1.7배 빠릅니다.

function mldividePerf
A = rand(12);
for k = 1:1e5
    x = A\A;
end
end

대략적인 실행 시간은 다음과 같습니다.

R2022a: 0.72초

R2022b: 0.42초

코드 실행 시간은 Windows 10, Intel^® Xeon^® CPU W-2133 @ 3.60GHz 테스트 시스템에서 timeit 함수를 호출하여 측정했습니다.

timeit(@mldividePerf)

R2022a: LDL 분해는 더 이상 비희소 행렬에 대해 사용되지 않음

LDL 분해는 더 이상 에르미트 부정부호(Hermitian Indefinite)인 비희소 행렬에 대해 사용되지 않습니다. 대신, LU 분해가 이러한 행렬에 사용됩니다.

참고 항목

mrdivide | ldivide | rdivide | inv | pinv | chol | lu | qr | ldl | linsolve | lsqminnorm | spparms | decomposition

도움말 항목

• 배열 연산과 행렬 연산
• 연산자 우선 순위
• 선형 연립방정식
• 연산자 오버로드
• MATLAB 연산자와 특수 문자