lsqminnorm
선형 방정식에 대한 최소 노름 최소제곱해
구문
설명
X = lsqminnorm(___,에서는 rankWarn)A의 랭크가 낮을 경우 경고를 표시할지 여부를 지정합니다. 위에 열거된 구문에 나와 있는 입력 인수 조합 외에, 이 옵션을 지정할 수 있습니다. rankWarn은 "nowarn"(디폴트)이거나 "warn"일 수 있습니다.
예제
백슬래시(\)와 lsqminnorm을 사용하여 무수히 많은 해를 가지는 선형 시스템을 풉니다. 해의 2-노름을 사용하여 결과를 비교합니다.
에 대해 무한한 해가 존재할 때, 각 해는 를 최소화합니다. 백슬래시 명령(\)은 이러한 해를 하나 계산하지만, 보통 이렇게 계산된 해는 를 최소화하지 않습니다. lsqminnorm으로 계산된 해는 norm(A*x-b)뿐만 아니라, norm(x)도 최소화합니다.
방정식 하나와 2개의 미지수를 사용하는 단순 선형 시스템, 을 보겠습니다. 방정식 수가 미지수 수보다 적으므로, 이는 부족 결정 시스템입니다. 백슬래시와 lsqminnorm을 모두 사용하여 방정식을 풉니다.
A = [2 3]; b = 8; x_a = A\b
x_a = 2×1
0
2.6667
x_b = lsqminnorm(A,b)
x_b = 2×1
1.2308
1.8462
백슬래시는 norm(A*x-b)를 최소화하는 데만 목표를 두는 반면, lsqminnorm은 norm(x)를 최소화하는 데도 목표를 두기 때문에 두 방법은 서로 다른 해를 얻습니다. 이러한 노름을 계산하고 결과를 테이블에 넣어 비교하기 쉽게 합니다.
s1 = {'Backslash'; 'lsqminnorm'};
s2 = {'norm_Ax_minus_b','norm_x'};
T = table([norm(A*x_a-b); norm(A*x_b-b)],[norm(x_a); norm(x_b)],'RowNames',s1,'VariableNames',s2)T=2×2 table
norm_Ax_minus_b norm_x
_______________ ______
Backslash 0 2.6667
lsqminnorm 8.8818e-16 2.2188
아래 그림에서 이런 상황을 설명하고 각 방법이 어떤 해를 반환하는지 보여줍니다. 파란색 선은 방정식 에 대한 무한한 개수의 해를 나타냅니다. 주황색 원은 원점에서 해로 구성된 선까지 최소 거리를 나타내고 lsqminnorm에서 반환된 해는 선과 원 사이의 접점에 정확히 놓여, 이것이 원점과 가장 가까운 해임을 나타냅니다.
lsqminnorm에서 랭크 계산 시의 허용오차 또는 해에 대한 Tikhonov 정규화 인자를 지정할 수 있습니다. 이를 지정하면 랜덤 잡음으로 인해 잘못된 해가 구해지지 않도록 문제의 규모를 정의하는 데 도움이 됩니다.
랭크 5의 낮은 랭크 행렬 A와 우변의 벡터 b를 만듭니다.
U = randn(200,5); V = randn(100,5); A = U*V'; b = U*randn(5,1) + 1e-4*randn(200,1);
lsqminnorm을 사용하여 선형 시스템 를 풉니다. A*x-b와 x의 노름을 계산하여 해의 품질을 확인합니다.
x = lsqminnorm(A,b); norm(A*x-b)
ans = 0.0014
norm(x)
ans = 0.1741
이제 소량의 잡음을 행렬 A에 추가하고 선형 시스템을 다시 풉니다. 잡음은 선형 시스템의 해 벡터 x에 불균형적으로 영향을 미칩니다.
Anoise = A + 1e-12*randn(200,100); xnoise = lsqminnorm(Anoise,b); norm(Anoise*xnoise - b)
ans = 0.0010
norm(xnoise)
ans = 1.1214e+08
해에서 큰 차이가 나는 이유는 잡음이 A의 낮은 랭크 근삿값에 영향을 주기 때문입니다. 즉, lsqminnorm은 A의 QR 분해에서 R 행렬의 대각선에 있는 작은 값들을 실제보다 더 중요한 것으로 취급합니다. 이상적으로는 R의 대각선에 있는 이러한 작은 값들이 0으로 취급되어야 합니다.
Anoise의 QR 분해에서 R 행렬의 대각선 요소를 플로팅하십시오. 많은 수의 대각선 요소가 1e-10 정도의 값을 가집니다.
[Q,R,p] = qr(Anoise,0);
semilogy(abs(diag(R)),"o")
lsqminnorm에서 사용되는 허용오차를 높여 Anoise의 낮은 랭크 근삿값이 1e-8보다 낮은 오차로 계산에 사용되도록 합니다. 허용오차가 증가하면 결과는 잡음에 훨씬 덜 영향을 받게 됩니다. 허용오차를 사용한 경우의 해는 원래 해인 x에 매우 가깝습니다.
xtol = lsqminnorm(Anoise,b,1e-8); norm(Anoise*xtol - b)
ans = 0.0014
norm(xtol)
ans = 0.1741
norm(x - xtol)
ans = 1.0778e-14
또는 Tikhonov 정규화 인자로 1을 지정하십시오. 조건이 나쁜 문제(예: 잡음이 포함된 문제)의 경우 정규화 인자를 지정하여 과적합이 발생하지 않도록 할 수 있습니다.
xreg = lsqminnorm(Anoise,b,RegularizationFactor=1); norm(Anoise*xreg - b)
ans = 0.0018
norm(xreg)
ans = 0.1741
norm(x - xreg)
ans = 7.9359e-06
경고를 설정한 상태로 낮은 랭크 계수 행렬을 포함하는 선형 시스템의 해를 구합니다.
랭크 2의 3×3 행렬을 만듭니다. 이 행렬에서는 처음 두 개 열을 서로 더한 값이 세 번째 열이 됩니다.
A = [1 2 3; 4 5 9; 6 7 13]
A = 3×3
1 2 3
4 5 9
6 7 13
문제 에 대한 최소 노름 최소제곱해를 찾습니다. 여기서 는 의 두 번째 열과 같습니다. 낮은 랭크의 A가 감지될 경우 경고를 표시하려면 lsqminnorm에 대한 'warn' 플래그를 지정하십시오.
b = A(:,2);
x = lsqminnorm(A,b,'warn')Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 1.072041e-14.
x = 3×1
-0.3333
0.6667
0.3333
입력 인수
팁
lsqminnorm에서 계산한 최소 노름 해는 여러 개의 해가 존재할 때 특히 유용합니다.A가 부족 결정(열보다 행이 적음)이거나 랭크가 낮은 경우라면 선형 방정식 Ax = b에는 많은 해가 있습니다.선형 연립방정식에 대한 최소 노름 최소제곱해를 계산할 경우 일반적으로
lsqminnorm(A,B,tol)은pinv(A,tol)*B보다 더 효율적입니다.lsqminnorm은 COD(Complete Orthogonal Decomposition)를 사용하여A의 낮은 랭크 근삿값을 구하는 반면,pinv는 SVD(Singular Value Decomposition)를 사용합니다. 따라서,pinv와lsqminnorm의 결과가 정확히 일치하지 않습니다.희소 행렬의 경우,
lsqminnorm은 밀도 행렬의 경우와는 다른 알고리즘을 사용하므로 다른 결과를 생성할 수 있습니다.
