pinv

무어-펜로즈 의사 역행렬

구문

B = pinv(A)

B = pinv(A,tol)

설명

B = pinv(A)는 행렬 A의 무어-펜로즈 의사 역행렬을 반환합니다.

B = pinv(A,tol)은 허용오차에 대한 값을 지정합니다. pinv에서는 허용오차보다 작거나 같은 A의 특이값을 0으로 처리합니다.

예제

의사 역행렬을 사용하여 선형 연립방정식의 해 구하기

백슬래시(\), pinv 및 lsqminnorm을 사용하여 얻은 선형 연립방정식의 해들을 비교해 봅니다.

사각 계수 행렬 A의 랭크가 낮은 경우, norm(A*x-b)를 최소화하는 최소제곱 문제는 무한히 많은 해를 가집니다. 두 해가 x1 = A\b와 x2 = pinv(A)*b에서 반환됩니다. 이러한 해가 갖는 속성의 특징적인 차이점은, x1은 rank(A)만큼의 0이 아닌 성분만 가지고 norm(x2)는 다른 어떤 해의 노름보다도 작다는 것입니다.

rank(A) = 3인 8×6 행렬을 만듭니다.

A = magic(8); 
A = A(:,1:6) 

A = 8×6

    64     2     3    61    60     6
     9    55    54    12    13    51
    17    47    46    20    21    43
    40    26    27    37    36    30
    32    34    35    29    28    38
    41    23    22    44    45    19
    49    15    14    52    53    11
     8    58    59     5     4    62

연립방정식의 우변에 해당하는 벡터를 만듭니다.

b = 260*ones(8,1)

b = 8×1

   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260

우변 값으로 선택된 숫자 260은 A에 대한 8×8 마방진의 합입니다. A가 여전히 8×8 행렬이었다면 x에 대한 해 하나는 1로 구성된 벡터일 것입니다. 6개 열만 사용할 경우, 방정식에 여전히 해가 존재하지만 해가 모두 1은 아닙니다. 행렬의 랭크가 낮기 때문에 무수히 많은 해가 있습니다.

백슬래시와 pinv를 사용하여 두 개의 해를 구합니다.

x1 = A\b

Warning: Rank deficient, rank = 3, tol =  1.882938e-13.

x1 = 6×1

    3.0000
    4.0000
         0
         0
    1.0000
         0

x2 = pinv(A)*b

x2 = 6×1

    1.1538
    1.4615
    1.3846
    1.3846
    1.4615
    1.1538

norm(A*x1-b)와 norm(A*x2-b)가 반올림 오차 정도의 차이만 있다는 점에서 두 해 모두 정확합니다. 해 x1은 0이 아닌 요소가 3개만 있기 때문에 특별합니다. norm(x2)가 norm(x1)을 포함해 다른 어떤 해의 노름보다도 작기 때문에 해 x2는 특별합니다.

norm(x1)

ans = 
5.0990

norm(x2)

ans = 
3.2817

lsqminnorm을 사용하여 이 문제의 최소제곱해를 계산하는 경우 pinv를 사용한 것과 동일한 해를 얻게 됩니다. 일반적으로 lsqminnorm(A,b)가 pinv(A)*b보다 더 효율적입니다.

x3 = lsqminnorm(A,b)

x3 = 6×1

    1.1538
    1.4615
    1.3846
    1.3846
    1.4615
    1.1538

norm(x3)

ans = 
3.2817

입력 인수

A — 입력 행렬

행렬

입력 행렬입니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

tol — 특이값 허용오차

스칼라

특이값 허용오차로, 스칼라로 지정됩니다. pinv는 의사 역행렬 계산 중 tol보다 작거나 같은 특이값을 0으로 처리합니다.

디폴트 허용오차는 max(size(A))*eps(norm(A))입니다.

예: pinv(A,1e-4)

세부 정보

무어-펜로즈 의사 역행렬

무어-펜로즈 의사 역행렬은 역행렬이 존재하지 않는 경우 부분적으로 역행렬과 유사한 역할을 할 수 있는 행렬입니다. 이 행렬은 시스템에 유일한 해가 없거나 해가 많을 때 선형 연립방정식의 해를 구하는 데 자주 사용됩니다.

임의의 행렬 A에 대해, A'와 차원이 같은 유일한 의사 역행렬 B가 존재합니다. A가 특이 행렬이 아니고 정사각 행렬인 경우, pinv(A)는 단순히 계산 비용이 많이 드는 inv(A) 계산 방법입니다. 하지만 A가 정사각 행렬이 아니거나, 정사각 행렬이고 특이 행렬이라면 inv(A)는 존재하지 않습니다. 이러한 경우, pinv(A)는 inv(A)의 속성 중 일부(전부는 아님)를 가집니다.

$$\begin{array}{l}1.ABA=A\\ 2.BAB=B\\ 3.{\left(AB\right)}^{*}=AB\\ 4.{\left(BA\right)}^{*}=BA\end{array}$$

여기서 AB 및 BA는 에르미트입니다. 의사 역행렬 계산은 svd(A)에 기반합니다. 계산은 tol보다 작거나 같은 특이값을 0으로 처리합니다.

팁

• pinv(A)*b와 같이, 벡터 b에 적용한 pinv를 많은 경우에 lsqminnorm(A,b)로 바꾸어 선형 연립방정식의 최소 노름 최소제곱해를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 의사 역행렬을 사용하여 선형 연립방정식의 해 구하기에서 lsqminnorm을 사용하면 pinv를 사용한 것과 동일한 해를 얻게 됩니다. lsqminnorm은 A의 COD(Complete Orthogonal Decomposition)를 사용하여 낮은 랭크 근삿값을 구하고 해당 인수를 b에 적용하기 때문에 일반적으로 lsqminnorm이 pinv보다 더 효율적입니다. 반면, pinv는 특이값 분해를 사용하여 A의 의사 역행렬을 명시적으로 생성합니다. 그러면 이 의사 역행렬에 b를 곱해야 합니다. lsqminnorm은 희소 행렬도 지원합니다.

알고리즘

pinv는 특이값 분해를 사용하여 A의 의사 역행렬을 생성합니다. S의 대각선을 따라서 tol보다 작거나 같은 특이값은 0으로 처리되고, A는 다음과 같이 표현됩니다.

$$\begin{array}{l}A=US{V}^{*}=\left[U_1{U}_2\right]\left[\begin{array}{cc}{S}_1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\left[V_1{V}_2\right]}^{*}\\ A=U_1{S}_1{V}_1^{*}.\end{array}$$

A의 의사 역행렬은 다음과 같습니다.

$$B=V_1{S}_1^{-1}{U}_1^{*}.$$

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 코드 생성 시 이 함수에 대해 희소 행렬 입력값은 지원되지 않습니다.

GPU 코드 생성

GPU Coder™를 사용하여 NVIDIA® GPU용 CUDA® 코드를 생성할 수 있습니다.

C/C++ 코드 생성 섹션의 사용법 관련 참고 및 제한 사항을 참조하십시오. GPU 코드 생성에도 동일한 제한 사항이 적용됩니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

pinv 함수는 GPU 배열을 완전히 지원합니다. GPU에서 이 함수를 실행하려면 입력 데이터를 gpuArray (Parallel Computing Toolbox)로 지정하십시오. 자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2021b: pinv는 nonfinite 입력값에 대해 NaN을 반환함

입력값에 nonfinite 값(Inf 또는 NaN)이 포함되어 있을 때 pinv는 NaN 값을 반환합니다. 이전에는 pinv는 입력값에 nonfinite 값이 포함되어 있을 때 오류를 발생시켰습니다.

참고 항목

inv | qr | rank | svd | lsqminnorm | decomposition