decomposition

선형 시스템을 풀기 위한 행렬 분해

설명

decomposition은 재사용 가능한 행렬 분해(LU, LDL, 촐레스키, QR 등)를 만드는데, 이것을 사용하면 선형 시스템(Ax = b 또는 xA = b)을 더 효율적으로 풀 수 있습니다. 예를 들어, dA = decomposition(A)를 계산하면 호출 dA\b가 A\b와 동일한 벡터를 반환하는데 일반적으로 훨씬 더 빠릅니다. decomposition 객체를 사용하면 계수 행렬 분해를 여러 번 수행할 필요가 없으므로, 반복적으로 해를 구해야 하는 문제를 풀 때 적합합니다.

원래 계수 행렬 A에 사용할 수 있는 많은 연산자를 decomposition 객체 dA에도 사용할 수 있습니다.

• 켤레 복소수 전치(Complex Conjugate Transpose) dA'

• 부정 -dA

• c*dA나 dA/c처럼 스칼라로 곱하거나 나누기.

• x = dA\b를 사용하여 선형 시스템 Ax = b 풀기.

• x = b/dA를 사용하여 선형 시스템 xA = b 풀기.

생성

구문

dA = decomposition(A)

dA = decomposition(A,type)

dA = decomposition(A,type,triangularFlag)

dA = decomposition(___,Name,Value)

설명

dA = decomposition(A)는 선형 시스템을 더 효율적으로 푸는 데 사용할 수 있도록 행렬 A의 분해를 반환합니다. 분해 유형은 입력 행렬의 속성에 기반하여 자동으로 선택됩니다.

dA = decomposition(A,type)은 수행할 분해 유형을 지정합니다. type은 'qr', 'cod', 'lu', 'ldl', 'chol', 'triangular', 'permutedTriangular', 'banded', 'hessenberg' 또는 'diagonal'이 될 수 있습니다.

dA = decomposition(A,type,triangularFlag)는 A의 상부 또는 하부 삼각 부분만 분해에 사용됨을 지정합니다. triangularFlag는 'upper' 또는 'lower'일 수 있습니다. 이 구문에서 분해 유형은 'ldl', 'chol' 또는 'triangular'이어야 합니다.

dA = decomposition(___,Name,Value)는 위에 열거된 구문에 Name,Value 쌍 인수를 하나 이상 추가 옵션으로 지정합니다. 예를 들어, dA = decomposition(A,'CheckCondition',false)는 dA\b를 푸는 동안 A의 조건을 기준으로 경고를 발생하지 않도록 지정합니다.

입력 인수

A — 계수 행렬

행렬

계수 행렬입니다. 선형 연립방정식에서 계수 행렬은 Ax = b의 경우처럼 왼쪽에 오거나, xA = b의 경우처럼 오른쪽에 옵니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

type — 분해 유형

'auto' (디폴트 값) | 'qr' | 'cod' | 'lu' | 'ldl' | 'chol' | 'triangular' | 'permutedTriangular' | 'banded' | 'hessenberg' | 'diagonal'

분해 유형으로, 다음 표에 나와 있는 옵션 중 하나로 지정됩니다.

이러한 옵션은 어떤 계수 행렬에나 사용할 수 있습니다.

값	A의 행렬 분해	참고
'auto'(디폴트 값)	N/A	계수 행렬의 속성에 기반하여 행렬 분해 유형을 자동으로 선택합니다. 분해가 선택되는 방식에 대한 내용은 mldivide의 알고리즘 섹션을 참조하십시오.
'qr'	$$AP=QR$$ Q는 유니타리 행렬이고, R은 상부 삼각 행렬이며, P는 치환 행렬입니다.	QR 분해는 최소제곱해를 제공합니다. type이 'qr'이면 A'\B나 B/A를 풀 수 없습니다. 대신 이러한 형식으로 구성된 문제에는 'cod'를 사용하십시오.
'cod'	$$A=QR{Z}^{*}$$ R은 상부 삼각 행렬이고, Q와 Z 모두 정규 직교 열을 가집니다.	완전 직교 분해는 최소 노름 최소제곱해를 제공합니다.

정사각 계수 행렬에는 다음 옵션을 사용할 수도 있습니다.

값	A의 행렬 분해	참고
'lu'	조밀 행렬: $$PA=LU$$ L은 하부 삼각 행렬이고, U는 상부 삼각 행렬이며, P는 치환 행렬입니다. 희소 행렬: $$P\left(R\backslash A\right)Q=LU$$ P와 Q는 치환 행렬이고 R은 대각 스케일링 행렬입니다.
'ldl'	조밀 행렬: $$P^{*}AP=LD{L}^{*}$$ L은 대각선에 1이 있는 하부 삼각 행렬이고, D는 대각 행렬이며, P는 치환 행렬입니다. 희소 행렬: $$P^{*}SASP=LD{L}^{*}$$ S는 스케일링 행렬입니다.	A는 대칭 행렬이어야 합니다.
'chol'	조밀 행렬: $$A=L{L}^{*}$$ L은 하부 삼각 행렬입니다. 희소 행렬: $$A=PL{L}^{*}{P}^{*}$$ P는 치환 행렬입니다.	A는 양의 정부호 대칭 행렬이어야 합니다.
'triangular'	$$A=T$$ T는 삼각 행렬입니다.	A는 삼각 행렬이어야 합니다.
'permutedTriangular'	$$A=PT{Q}^{*}$$ T는 삼각 행렬이고, P와 Q는 모두 치환 행렬입니다.	A는 삼각 행렬의 치환 행렬이어야 합니다.
'banded'	$$A=P^{*}LU$$ P는 치환 행렬이고 L과 U는 모두 띠 행렬입니다.	대역폭이 작은 행렬에 가장 효과적입니다. 자세한 내용은 bandwidth를 참조하십시오.
'hessenberg'	$$A=P^{*}LU$$ P는 치환 행렬이고, L은 띠 행렬이고, U는 상부 삼각 행렬입니다.	A는 첫 번째 하부대각선 아래에 0을 포함해야 합니다.
'diagonal'	$$A=D$$ D는 대각 행렬입니다.	A는 대각 행렬이어야 합니다.

triangularFlag — 계수 행렬의 상부 삼각 부분만 사용하거나 하부 삼각 부분만 사용하기 위한 플래그

'upper' | 'lower'

계수 행렬의 상부 삼각 부분만 사용하거나 하부 삼각 부분만 사용하기 위한 플래그로, 'upper' 또는 'lower'로 지정됩니다. 이 옵션은 'triangular', 'chol', 'ldl' 분해 유형을 지원합니다.

• 'triangular' — 상부와 하부 삼각 행렬이 모두 동일한 행렬에 포함되어 있으면 triangularFlag를 사용하여 두 삼각 행렬 중 하나만 지정하십시오.

• 'chol'과 'ldl' — 거의 대칭인 계수 행렬의 대칭화를 피하려면 triangularFlag를 사용하십시오.

이름-값 인수

선택적 인수 쌍을 Name1=Value1,...,NameN=ValueN으로 지정합니다. 여기서 Name은 인수 이름이고 Value는 대응값입니다. 이름-값 인수는 다른 인수 뒤에 와야 하지만, 인수 쌍의 순서는 상관없습니다.

R2021a 이전 릴리스에서는 쉼표를 사용하여 각 이름과 값을 구분하고 Name을 따옴표로 묶으십시오.

예: dA = decomposition(A,'qr','CheckCondition',false)는 A의 QR 분해를 수행하고, 선형 시스템을 풀면서 계수 행렬을 사용할 때 계수 행렬의 조건에 대한 경고를 끕니다.

일반 파라미터

CheckCondition — 계수 행렬의 조건을 확인하는 토글

true (디폴트 값) | false

계수 행렬의 조건을 확인하는 토글로, 'CheckCondition'과 함께 논리형 1(true)이나 논리형 0(false)이 쉼표로 구분되어 지정됩니다. CheckCondition이 true이고 계수 행렬의 조건이 나쁘거나 랭크가 낮으면 mldivide (\) 또는 mrdivide (/)를 사용하여 선형 시스템을 풀 때 경고가 생성됩니다.

데이터형: logical

RankTolerance — 랭크 허용오차

음이 아닌 스칼라

랭크 허용오차로, 음이 아닌 스칼라로 지정됩니다. 허용오차를 지정하면 계수 행렬에서 해의 랜덤 잡음이 발생하지 않게 하는 데 도움이 될 수 있습니다.

decomposition은 A의 랭크를 QR 분해 [Q,R,p] = qr(A,0)의 R 행렬에서 tol보다 큰 절댓값을 가진 대각선 요소의 개수로 계산합니다. A의 랭크가 k이면 A의 낮은 랭크 근삿값은 Q의 처음 k 열과 R의 처음 k 행을 곱하여 생성됩니다. 허용오차를 변경하면 A의 낮은 랭크 근삿값이 달라집니다.

참고

이 옵션은 'Type'이 'qr'이나 'cod'일 때 또는 'Type'이 'auto'이고 A가 사각 행렬일 때만 적용됩니다. 그렇지 않은 경우, 이 옵션은 무시됩니다.

희소 행렬 파라미터

BandDensity — 대역 밀도 임계값

0.5 (디폴트 값) | 스칼라

대역 밀도 임계값으로, 범위 [0 1]에 있는 스칼라 값으로 지정됩니다. 'BandDensity'의 값은 연립방정식을 풀면서 mldivide (\) 또는 mrdivide (/)에 밴드 솔버가 사용될 때 희소 대역 계수 행렬이 얼마나 조밀해야 하는지를 결정합니다. 계수 행렬의 대역 밀도가 지정된 대역 밀도보다 크면 밴드 솔버가 사용됩니다.

대역 밀도는 (대역에 있는 0이 아닌 요소 개수)/(대역에 있는 요소 개수)로 정의됩니다. 값 1.0은 띠 솔버를 사용하지 않음을 나타냅니다.

LDLPivotTolerance — LDL 분해의 피벗 허용오차

0.01 (디폴트 값) | 스칼라

LDL 분해의 피벗 허용오차로, 구간 [0 0.5] 사이의 스칼라 값으로 지정됩니다. 더 작은 피벗 허용오차 값을 사용하면 행렬 분해 시간이 빨라지고 요소가 적어질 수 있지만, 행렬 분해의 안정성이 저하될 수도 있습니다.

이 피벗 허용오차는 ldl이 실수 희소 행렬에 사용하는 값과 같습니다.

LUPivotTolerance — LU 분해의 피벗 허용오차

[0.1 0.001] (디폴트 값) | 스칼라 | 벡터

LU 분해의 피벗 허용오차로, 스칼라 또는 벡터로 지정됩니다. 스칼라 값을 지정하여 허용오차 벡터에서 첫 번째 요소를 변경하거나, 요소 2개를 가진 벡터를 지정하여 두 값을 모두 변경하십시오. 피벗 허용오차 값이 작아지면 LU 인수의 희소성이 더 커지게 되는 경향이 있지만, 해는 부정확해질 수 있습니다. 값이 커지면 항상 그런 것은 아니지만 더 정확한 해를 구할 수 있으며, 대개 전체 작업 및 메모리 사용량이 증가하게 됩니다.

이 피벗 허용오차는 희소 행렬에 대해 lu가 사용하는 값과 같습니다.

속성

MatrixSize — 계수 행렬의 크기

읽기 전용: 벡터

읽기 전용 속성입니다.

계수 행렬의 크기로, 요소 2개를 가진 행 벡터로 반환됩니다.

데이터형: double

Type — 분해 유형

읽기 전용: 'qr' | 'cod' | 'lu' | 'ldl' | 'chol' | 'triangular' | 'permutedTriangular' | 'banded' | 'hessenberg' | 'diagonal'

읽기 전용 속성입니다.

분해 유형으로, 'qr', 'cod', 'lu', 'ldl', 'chol', 'triangular', 'permutedTriangular', 'banded', 'hessenberg' 또는 'diagonal'로 반환됩니다.

데이터형: char

CheckCondition — 계수 행렬의 조건을 확인하는 토글

true (디폴트 값) | false

계수 행렬의 조건을 확인하는 토글로, 논리형 1(true) 또는 논리형 0(false)으로 지정됩니다. CheckCondition이 true이고 계수 행렬의 조건이 나쁘거나 랭크가 낮으면 mldivide (\) 또는 mrdivide (/)를 사용하여 선형 시스템을 풀 때 경고가 생성됩니다.

데이터형: logical

Datatype — 계수 행렬의 데이터형

읽기 전용: 'double' | 'single'

읽기 전용 속성입니다.

계수 행렬의 데이터형으로, 'double' 또는 'single'로 반환됩니다.

데이터형: char

IsConjugateTransposed — 계수 행렬이 켤레 복소수 전치인지 여부를 나타내는 표시자

읽기 전용: false (디폴트 값) | true

읽기 전용 속성입니다.

계수 행렬이 켤레 복소수 전치인지 여부를 나타내는 표시자로, 논리형 1(true) 또는 논리형 0(false)으로 반환됩니다. 계수 행렬에서 생성된 모든 decomposition 객체에 대해 이 표시자는 기본적으로 false입니다. 그러나, dA'\b와 같은 표현식에서 decomposition 객체에 ctranspose 연산자를 사용하는 경우 값은 true입니다. 이 경우, dA'는 dA와 동일한 decomposition 객체이지만, IsConjugateTransposed에 true 값을 가집니다.

데이터형: logical

IsReal — 계수 행렬이 실수 행렬인지 여부를 나타내는 표시자

읽기 전용: true | false

읽기 전용 속성입니다.

계수 행렬이 실수 행렬인지 여부를 나타내는 표시자로, 논리형 1(true) 또는 논리형 0(false)으로 반환됩니다. 값 false는 계수 행렬이 복소수를 포함하고 있음을 나타냅니다.

데이터형: logical

IsSparse — 계수 행렬이 희소 행렬인지 여부를 나타내는 표시자

읽기 전용: true | false

읽기 전용 속성입니다.

계수 행렬이 희소 행렬인지 여부를 나타내는 표시자로, 논리형 1(true) 또는 논리형 0(false)으로 반환됩니다.

데이터형: logical

ScaleFactor — 계수 행렬의 곱셈 스케일링 인자

읽기 전용: 1 (디폴트 값) | 스칼라

읽기 전용 속성입니다.

계수 행렬의 곱셈 스케일링 인자로, 스칼라로 반환됩니다. 디폴트 값 1은 계수 행렬이 스케일링되지 않음을 나타냅니다. 그런데, decomposition 객체를 스칼라로 곱하거나 나누면 값 ScaleFactor가 변경됩니다. 예를 들어, 3*dA는 dA와 동일한 decomposition 객체이지만, ScaleFactor 값으로 3을 가집니다.

데이터형: double
복소수 지원 여부: 예

객체 함수

decomposition 객체에 사용할 수 있는 주 함수와 연산자는 선형 연립방정식 풀이와 관계가 있습니다. 분해 유형이 'qr'이면 A'\B 또는 B/A를 풀 수 없습니다. 대신 이러한 형식으로 구성된 문제에는 'cod'를 사용하십시오.

ctranspose	켤레 복소수 전치(Complex Conjugate Transpose)
mldivide	x에 대한 선형 연립방정식 Ax = B의 해 구하기
mrdivide	x에 대한 선형 연립방정식 xA = B의 해 구하기
isIllConditioned	행렬의 조건이 나쁜지 여부 판별

또한 decomposition 객체로 구성된 기본 행렬의 조건수 또는 랭크를 확인할 수 있습니다. 다른 알고리즘이 사용되므로, decomposition 객체에 아래와 같은 함수를 사용하여 얻는 결과가 계수 행렬에 직접 그 함수를 사용하여 얻는 결과와 다를 수 있습니다.

rank	1-입력 형식 rank(dA)만 지원됩니다. 분해 유형은 'qr' 또는 'cod'이어야 합니다. 랭크 값은 RankTolerance(지정된 경우)의 선택사항에 따라 달라집니다.
rcond	백슬래시 \가 경고 발생 여부를 결정하는 데 사용하는 것과 동일한 조건 확인을 실행합니다. 'qr'과 'cod'를 제외한 모든 분해 유형을 지원합니다.

예제

우변 값이 많은 선형 시스템 풀기

우변 값이 많은 $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$의 풀이를 decomposition 객체를 사용하여 얼마나 효율적으로 향상시킬 수 있는지 보여줍니다.

역반복대입법(inverse iteration)은 우변 값이 많은 선형 시스템을 푸는 반복적인 고유값 알고리즘입니다. 이것은 대응하는 고유벡터 추측값에서 시작하여 행렬의 고유값을 반복적으로 계산하는 방법입니다. 반복할 때마다 x = A\x를 계산한 다음, 노름으로 x를 스케일링합니다.

희소 행렬 A와, 임의의 시작 벡터 x1과 x2를 만듭니다.

n = 1e3;
rng default % for reproducibility
A = sprandn(n,n,0.2) + speye(n);
x1 = randn(n,1);
x2 = x1;

백슬래시를 사용하여 역반복대입법 알고리즘을 100회 반복하여 A의 고유값을 계산합니다.

tic
for ii=1:100
    x1 = A \ x1;
    x1 = x1 / norm(x1);
end
toc

Elapsed time is 16.666070 seconds.

lambda = x1'*A*x1

lambda = 
-0.6707

이제 decomposition 객체를 사용하여 같은 문제를 풉니다.

tic
dA = decomposition(A); 
for ii=1:100
    x2 = dA \ x2;
    x2 = x2 / norm(x2);
end
toc

Elapsed time is 1.221234 seconds.

lambda = x2'*A*x2

lambda = 
-0.6707

반복할 때마다 행렬 A를 분해할 필요가 없으므로 알고리즘의 성능이 크게 향상됩니다. 또한 for 루프 전에 A의 LU 분해를 수행하여 백슬래시 알고리즘을 향상시킬 수 있기는 하나, decomposition 객체를 사용하면 복잡한 코드를 작성하지 않고도 모든 성능 이점을 얻을 수 있습니다.

분해 유형 선택하기

입력 행렬에 기반한 자동 디폴트 선택을 재정의할 분해 유형을 선택하십시오.

계수 행렬을 만들고 디폴트 분해 유형 선택을 사용하여 행렬을 분해합니다.

A = ones(3);
dA = decomposition(A)

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'lu'

  Show all properties

우변의 1로 구성된 벡터를 사용하여 선형 시스템을 풉니다.

b = ones(3,1);
x = dA\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 3×1

   NaN
   NaN
   NaN

디폴트 'ldl' 메서드 대신 'qr' 메서드를 사용하도록 분해 유형을 지정하십시오. 이럴 경우 백슬래시(\)는 NaN으로 구성된 벡터를 반환하는 대신 문제에 대한 최소제곱해를 찾습니다.

dA_qr = decomposition(A,'qr')

dA_qr = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'qr'

  Show all properties

x = dA_qr\b

Warning: Rank deficient, rank = 1, tol =  1.153778e-15.

x = 3×1

     1
     0
     0

행렬의 삼각 부분 사용하기

분해에서 입력 행렬의 상부 삼각 부분만 사용하려면 'upper'를 지정하십시오.

계수 행렬을 만듭니다. 상부 삼각 부분만 사용하여 행렬에 대한 삼각 분해를 생성합니다. 이 옵션은 상부 삼각 행렬과 하부 삼각 행렬이 모두 동일한 행렬에 포함되어 있는 경우 유용할 수 있습니다.

A = randi([0 5],10)

A = 10×10

     4     0     3     4     2     1     4     5     2     0
     5     5     0     0     2     4     1     1     4     0
     0     5     5     1     4     3     3     4     3     3
     5     2     5     0     4     0     4     1     3     4
     3     4     4     0     1     0     5     5     5     5
     0     0     4     4     2     2     5     2     1     0
     1     2     4     4     2     5     3     1     4     3
     3     5     2     1     3     2     0     1     4     2
     5     4     3     5     4     3     0     3     2     0
     5     5     1     0     4     1     1     2     3     2

dA = decomposition(A,'triangular','upper')

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [10 10]
          Type: 'triangular'

  Show all properties

행렬 조건 경고 끄기

decomposition을 사용하여 선형 시스템을 풀 때 계수 행렬의 조건에 기반하여 경고를 끄려면 'CheckCondition' 이름-값 쌍을 사용하십시오.

조건이 나쁜 계수 행렬을 만듭니다. 이 행렬의 세 번째 열은 처음 두 열의 평균입니다.

A = [1 2 1.5; 3 4 3.5; 5 6 5.5]

A = 3×3

    1.0000    2.0000    1.5000
    3.0000    4.0000    3.5000
    5.0000    6.0000    5.5000

우변의 1로 구성된 벡터를 사용하여 선형 시스템 $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$를 풉니다. mldivide는 계수 행렬의 조건에 대한 경고를 만듭니다.

b = ones(3,1);
x = A\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 3×1

   NaN
   Inf
  -Inf

이제 행렬에 대한 decomposition 객체를 만들고 동일한 선형 시스템을 풉니다. 'CheckCondition'을 false로 지정하여 mldivide가 계수 행렬의 조건을 확인하지 않도록 합니다. 같은 해가 반환되더라도, mldivide는 경고 메시지를 표시하지 않습니다.

dA = decomposition(A,'CheckCondition',false);
x = dA\b

x = 3×1

   NaN
   Inf
  -Inf

isIllConditioned 함수를 사용하여 decomposition 객체가 조건이 나쁜 행렬에 기반하는지 여부를 확인합니다.

tf = isIllConditioned(dA)

tf = logical
   1

참고 문헌

[1] Davis, Timothy A. “Algorithm 930: FACTORIZE: An Object-Oriented Linear System Solver for MATLAB.” ACM Transactions on Mathematical Software 39, no. 4 (July 2013): 1–18. https://doi.org/10.1145/2491491.2491498.

확장 기능

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• A가 조밀 형식이면 type은 값 'ldl', 'cod', 'hessenberg'를 지원하지 않습니다.

• A가 희소 형식이면 type은 값 'chol', 'cod', 'hessenberg'를 지원하지 않습니다.

• A가 희소 형식이고 type이 'lu'이면 CheckCondition은 false여야 하며, 그 이유는 rcond가 조건수의 역수를 결정할 수 없기 때문입니다.

• A가 희소 형식이면 rcond(decomposition(A,'lu','CheckCondition',false))에 대해 MATLAB^®은 []을 반환합니다.

자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2017b에 개발됨

참고 항목

lsqminnorm | mldivide | mrdivide

도움말 항목

• 선형 연립방정식