linsolve

선형 연립방정식 풀기

구문

X = linsolve(A,B)

X = linsolve(A,B,opts)

[X,r] = linsolve(___)

설명

X = linsolve(A,B)는 다음 방법 중 하나를 사용하여 선형 시스템 AX = B를 풉니다.

• A가 정사각 행렬인 경우 linsolve는 부분 피벗 연산을 통한 LU 분해를 사용합니다.

• 다른 모든 경우 linsolve는 열 피벗 연산을 통한 QR 분해를 사용합니다.

linsolve는 A의 조건이 나쁘거나(정사각 행렬인 경우) 랭크가 부족하면(직사각 행렬인 경우) 경고를 표시합니다.

X = linsolve(A,B,opts)는 options 구조체 opts에 의해 결정되는 적절한 솔버를 사용합니다. opts의 필드는 행렬 A의 속성을 기술하는 논리값입니다. 예를 들어, A가 상부 삼각 행렬인 경우 opts.UT = true를 설정하여 linsolve가 상부 삼각 행렬용으로 설계된 솔버를 사용하도록 할 수 있습니다. linsolve는 A가 opts에 지정된 속성을 실제로 갖는지 여부를 확인하는 테스트를 수행하지 않습니다.

[X,r] = linsolve(___)는 r도 반환합니다. r은 A의 조건수의 역수이거나(정사각 행렬인 경우) A의 랭크입니다(직사각 행렬인 경우). 위에 열거된 구문에 나와 있는 입력 인수를 원하는 대로 조합하여 사용할 수 있습니다. 이 구문을 사용하면 linsolve는 A의 조건이 나쁘거나 랭크가 부족한 경우 경고를 표시하지 않습니다.

예제

선형 시스템 풀기

mldivide와 linsolve를 둘 다 사용하여 선형 시스템을 풀고 성능을 비교합니다.

mldivide는 MATLAB®에서 대부분의 선형 연립방정식을 풀 때 권장되는 방식입니다. 그러나 이 함수는 입력 행렬에 특별한 속성이 있는지 확인하기 위해 여러 검사를 수행합니다. 사전에 계수 행렬의 속성을 알고 있는 경우 linsolve를 사용하여 큰 행렬에 대해 시간이 오래 걸리는 검사를 방지할 수 있습니다.

10000×10000 마방진 행렬을 만들고 하부 삼각 부분을 추출합니다. opts 구조체의 LT를 true로 설정하여 A가 하부 삼각 행렬임을 나타냅니다.

A = tril(magic(1e4));
opts.LT = true;

선형 방정식 $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$의 우변에 해당하는 1로 구성된 벡터를 만듭니다. A와 b의 행 개수는 같아야 합니다.

b = ones(size(A,2),1);

mldivide를 사용하여 선형 시스템 $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$를 풀고 계산에 걸린 시간을 측정합니다.

tic
x1 = A\b; 
t1 = toc

t1 = 
0.0392

이번에는 linsolve를 사용하여 시스템을 다시 풉니다. linsolve가 하부 삼각 행렬에 대한 적절한 솔버를 선택할 수 있도록 options 구조체를 지정합니다.

tic
x2 = linsolve(A,b,opts);
t2 = toc

t2 = 
0.0159

실행 시간을 비교하여 linsolve가 얼마나 더 빠른지 확인합니다. 여타 시간 비교와 마찬가지로, 결과는 컴퓨터와 MATLAB 릴리스에 따라 달라질 수 있습니다.

speedup = t1/t2

speedup = 
2.4732

행렬 조건 경고 표시하지 않기

행렬 조건 경고를 표시하지 않도록 두 개의 출력값을 갖는 linsolve를 사용하여 선형 시스템을 풉니다.

20×20 힐베르트 테스트 행렬을 만듭니다. 이 행렬은 가장 큰 특이값이 가장 작은 특이값보다 약 2e18만큼 큰 유사 특이 행렬입니다.

A = hilb(20);

linsolve를 사용하여 A와 관련한 선형 시스템을 풉니다. A는 유사 특이 행렬이므로 linsolve는 경고를 반환합니다.

b = ones(20,1);
x = linsolve(A,b);

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  5.628781e-20.

이번에는 linsolve에 두 개의 출력값을 지정하여 동일한 선형 시스템을 풉니다. MATLAB®은 경고를 표시하지 않고, 두 번째 출력값 r은 A의 조건수의 역수를 포함합니다. 이 구문을 사용해, 코드가 경고를 반환하지 않도록 하면서 특별한 경우에 해당하는 조건 나쁜 행렬을 코드에서 처리할 수 있습니다.

[x,r] = linsolve(A,b)

x = 20×1
109 ×

   -0.0000
    0.0000
   -0.0004
    0.0071
   -0.0592
    0.2819
   -0.7821
    1.1830
   -0.7030
   -0.1061
   -0.7593
    2.5970
   -2.4576
    1.9660
   -3.2871
      ⋮

r = 
5.6288e-20

입력 인수

A — 계수 행렬

행렬

계수 행렬입니다. A는 선형 연립방정식 AX = B의 좌변에 나타납니다. A의 행 개수는 B의 행 개수와 같아야 합니다.

A는 희소 행렬일 수 없습니다. 희소 행렬을 포함하는 선형 시스템을 풀려면 mldivide 또는 decomposition을 대신 사용하십시오.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

B — 입력 배열

벡터 | 행렬

입력 배열로, 벡터나 행렬로 지정됩니다. B는 선형 연립방정식 AX = B의 우변에 나타납니다. B가 행렬이면 이 행렬의 각 열은 우변의 서로 다른 벡터를 나타냅니다.

A의 행 개수는 B의 행 개수와 같아야 합니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

opts — 계수 행렬 속성

구조체

계수 행렬 속성으로, 구조체로 지정됩니다. 이 구조체를 사용하여 linsolve가 선형 시스템에 대한 적절한 솔버를 선택하기 위해 사용하는 A의 속성을 지정합니다. 구조체의 필드는 A가 각 속성을 갖는지 여부를 나타내는 true/false 값을 포함합니다. 기본적으로, 구조체의 모든 필드는 false인 것으로 간주됩니다. 다음 표에는 opts의 가능한 필드와 그에 대응하는 행렬 속성이 나열되어 있습니다.

필드	행렬 속성
LT	하부 삼각(0이 아닌 값이 주대각선 또는 그 아래에만 나타남)
UT	상부 삼각(0이 아닌 값이 주대각선 또는 그 위에만 나타남)
UHESS	상부 헤센베르크(첫 번째 하부대각선 밑의 값이 모두 0)
SYM	실수 대칭 또는 복소수 에르미트(자신의 전치와 동일한 행렬)
POSDEF	양의 정부호(모두 양의 고유값)
RECT	직사각 행렬(행 개수와 열 개수가 다름)
TRANSA	켤레 전치 — 함수가 A*X = B를 풀지(opts.TRANSA = false인 경우) 아니면 전치된 문제 A'*X = B를 풀지(opts.TRANSA = true인 경우) 지정

예: opts.UT = true는 A가 상부 삼각 행렬임을 지정합니다.

예: opts.SYM = true, opts.POSDEF = true는 두 필드를 설정하여 A가 양의 정부호 대칭 행렬임을 지정합니다.

유효한 조합

다음 표의 행에는 linsolve에 유효한, opts의 필드 값의 모든 조합이 나열되어 있습니다. 빈 셀은 디폴트 값이 false이고, true/false 항목은 linsolve가 두 값을 모두 받음을 나타냅니다.

	LT	UT	UHESS	SYM	POSDEF	RECT	TRANSA
A가 하부 삼각 행렬	true					true/false	true/false
A가 상부 삼각 행렬		true				true/false	true/false
A가 상부 헤센베르크 행렬			true				true/false
A가 대칭 행렬				true	true/false		true/false
A가 직사각 행렬						true/false	true/false

사용법에 대한 참고 사항

• A에 opts의 속성이 있는 경우 linsolve의 처리 속도는 mldivide보다 더 빠릅니다. 그 이유는 linsolve가 A에 지정된 속성이 있는지 여부를 확인하는 테스트를 수행하지 않고 즉시 적절한 솔버를 호출하기 때문입니다.

• opts에 지정한 속성이 A에 없는 경우 linsolve는 잘못된 결과를 반환하지만 항상 오류 메시지를 반환하지는 않습니다. 따라서 A에 지정된 속성이 있는지 확실하지 않을 경우에는 mldivide 또는 decomposition을 대신 사용하십시오.

데이터형: struct

출력 인수

X — 선형 시스템 해

벡터 | 행렬

선형 시스템 해로, AX = B를 충족하는(또는 opts.TRANSA = true인 경우 A^TX = B를 충족하는) 벡터 또는 행렬로 반환됩니다. X의 크기는 opts.TRANSA = true인지 여부에 따라 달라집니다.

• A가 m×n이고 B가 m×k이면 X는 n×k이고 AX = B에 대한 해가 됩니다.

• opts.TRANSA = true이면 A는 m×n이고 B는 n×k입니다. 이 경우 X는 m×k이고 A^TX = B에 대한 해가 됩니다.

r — 조건수의 역수 또는 랭크

스칼라

조건수의 역수 또는 랭크로, 스칼라로 반환됩니다.

• A가 정사각 행렬이면 r은 A의 조건수의 역수입니다.

• A가 직사각 행렬이면 r은 A의 랭크입니다.

• opts가 지정된 경우 r은 A의 조건수의 역수입니다. 단, RECT가 true이고 LT와 UT가 모두 false인 경우 r은 A의 랭크입니다.

팁

• linsolve의 속도상 이점은 행렬 구조와 기본 알고리즘의 상대적 최적화에 따라 달라질 수 있습니다. 경우에 따라서는(예: 작은 행렬을 사용할 경우) mldivide에 비해 속도 향상 효과가 없을 수도 있습니다. linsolve를 사용함으로써 얻는 속도상의 이점은 큰 행렬의 속성에 대해 값비싼 검사를 수행하지 않거나 mldivide에서 선택되는 알고리즘보다 입력값에 더 적합한 알고리즘을 선택하는 데에서 비롯합니다.

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• opts 구조체는 상수 스칼라여야 합니다. 코드 생성 시 options 구조체로 구성된 배열은 지원되지 않습니다.

• 코드 생성 시 다음의 경우에만 최적화됩니다.

  • UT

  • LT

  • UHESS = true(TRANSA는 true 또는 false일 수 있음)

  • SYM = true 그리고 POSDEF = true

  다른 옵션들은 mldivide를 사용할 때와 동일합니다.

• 코드 생성 시 이 함수에 대해 희소 행렬 입력값은 지원되지 않습니다.

GPU 코드 생성

GPU Coder™를 사용하여 NVIDIA® GPU용 CUDA® 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• opts 구조체는 상수 스칼라여야 합니다. 코드 생성 시 options 구조체로 구성된 배열은 지원되지 않습니다.

• 코드 생성 시 다음의 경우에만 최적화됩니다.

  • UT

  • LT

  • UHESS = true(TRANSA는 true 또는 false일 수 있음)

  • SYM = true 그리고 POSDEF = true

  다른 옵션들은 mldivide를 사용할 때와 동일합니다.

• 코드 생성 시 이 함수에 대해 희소 행렬 입력값은 지원되지 않습니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 출력값을 2개 갖는 구문 [x,r] = linsolve(___)는 지원되지 않습니다.

• MATLAB^® linsolve 함수는 A가 준특이 행렬, 유사 특이 행렬 또는 랭크 부족 행렬이면 경고를 출력합니다. gpuArray에 대해서는 linsolve가 이 조건을 확인할 수 없습니다. 따라서 이 조건을 피하기 위한 조치를 수행해야 합니다.

자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

이 함수는 분산 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

mldivide | decomposition | lsqminnorm

도움말 항목

• 선형 연립방정식