divergence

기호 벡터장의 발산

구문

d = divergence(V,X)

d = divergence(V)

설명

d = divergence(V,X)는 카테시안 좌표에서 벡터 X에 대한 기호 벡터장 V의 발산을 반환합니다. 벡터 V와 X는 길이가 동일해야 합니다.

d = divergence(V)는 V에서 기호 변수로 구성된 디폴트 벡터에 대해 벡터장 V의 발산을 반환합니다.

예제

벡터장의 발산 구하기

벡터 $\mathit{X}=\left(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}\right)$에 대해 벡터장 $\mathit{V}\left(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}\right)=\left(\mathit{x},2{\mathit{y}}^2,3{\mathit{z}}^3\right)$의 발산을 구합니다.

syms x y z
V = [x 2*y^2 3*z^3];
X = [x y z];
div = divergence(V,X)

div = $$9\hspace{0.17em}{z}^2+4\hspace{0.17em}y+1$$

벡터장의 회전의 발산이 0임을 봅니다.

divCurl = divergence(curl(V,X),X)

divCurl = $$0$$

스칼라 필드 $\mathit{f}\left(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}\right)={\mathit{x}}^2+{\mathit{y}}^2+{\mathit{z}}^2$의 기울기의 발산을 구합니다. 결과는 스칼라 필드의 라플라시안입니다.

syms x y z
f = x^2 + y^2 + z^2;
divGrad = divergence(gradient(f,X),X)

divGrad = $$6$$

전기장에서 전하 밀도 구하기

가우스 법칙의 미분 형태는 전기장의 발산이 전하 밀도에 비례한다고 설명합니다.

$$\overrightarrow{\underset{}{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\underset{}{E}}(\overrightarrow{\underset{}{r}})=\frac{\rho (\overrightarrow{\underset{}{r}})}{{ϵ}_0}$$

전기장 $$\overrightarrow{\underset{}{E}}=x^2\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+y^2\underset{}{\overset{ˆ}{j}}$$의 전하 밀도를 구합니다.

syms x y ep0
E = [x^2 y^2];
rho = divergence(E,[x y])*ep0

rho = $${\mathrm{ep}}_0\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}x+2\hspace{0.17em}y\right)$$

ep0 = 1을 사용하여 $-2<\mathit{x}<2$와 $-2<\mathit{y}<2$에 대해 전기장과 전하 밀도를 시각화합니다. meshgrid를 사용하여 x 값과 y 값의 그리드를 만듭니다. subs를 사용해 그리드 값을 대입하여 전기장과 전하 밀도의 값을 구합니다. subs에 대한 입력값으로 셀형 배열을 사용하여 전하 밀도 rho에 그리드 값 xPlot과 yPlot을 동시에 대입합니다.

rho = subs(rho,ep0,1);
v = -2:0.1:2;
[xPlot,yPlot] = meshgrid(v);
Ex = subs(E(1),x,xPlot);
Ey = subs(E(2),y,yPlot);
rhoPlot = double(subs(rho,{x,y},{xPlot,yPlot}));

quiver를 사용하여 전기장을 플로팅합니다. contour를 사용하여 전하 밀도를 겹쳐 놓습니다. 등고선이 전하 밀도의 값을 나타냅니다.

quiver(xPlot,yPlot,Ex,Ey)
hold on
contour(xPlot,yPlot,rhoPlot,"ShowText","on")
title("Contour Plot of Charge Density Over Electric Field")
xlabel("x")
ylabel("y")

전자기 파동 방정식 도출하기

R2023a 이후

맥스웰 방정식으로부터 전하와 전류원이 없는 자유 공간에서의 전자기 파동 방정식을 도출합니다.

우선, 진공 투자율과 유전율을 나타내는 기호 스칼라 변수를 만듭니다. 카테시안 좌표를 나타내는 기호 행렬 변수를 만듭니다. 전기장과 자기장을 공간과 시간의 함수로 나타내는 두 개의 기호 행렬 함수를 만듭니다.

syms mu_0 epsilon_0
syms X [3 1] matrix
syms E(X,t) B(X,t) [3 1] matrix keepargs

다음으로 맥스웰 방정식을 나타내는 네 개의 방정식을 만듭니다.

Maxwell1 = divergence(E,X) == 0

Maxwell1(X, t) = $${\nabla }_X·E\left(X,t\right)={\mathrm{0}}_{1,1}$$

Maxwell2 = curl(E,X) == -diff(B,t)

Maxwell2(X, t) = 
$${\nabla }_X\times E\left(X,t\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }B\left(X,t\right)$$

Maxwell3 = divergence(B,X) == 0

Maxwell3(X, t) = $${\nabla }_X·B\left(X,t\right)={\mathrm{0}}_{1,1}$$

Maxwell4 = curl(B,X) == mu_0*epsilon_0*diff(E,t)

Maxwell4(X, t) = 
$${\nabla }_X\times B\left(X,t\right)=\left({\epsilon }_0\hspace{0.17em}{\mu }_0\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }E\left(X,t\right)$$

그런 다음 전기장의 파동 방정식을 구합니다. 두 번째 맥스웰 방정식의 회전을 계산합니다.

wave_E = curl(Maxwell2,X)

wave_E(X, t) = 
$${\nabla }_X\mathrm{ }\left({\nabla }_X·E\left(X,t\right)\right)-{\Delta }_X\mathrm{ }E\left(X,t\right)=-{\nabla }_X\times \left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }B\left(X,t\right)\right)$$

전기장 파동 방정식에 첫 번째 맥스웰 방정식을 대입합니다. lhs와 rhs를 사용하여 첫 번째 맥스웰 방정식의 좌변과 우변을 구합니다.

wave_E = subs(wave_E,lhs(Maxwell1),rhs(Maxwell1))

wave_E(X, t) = 
$$-{\Delta }_X\mathrm{ }E\left(X,t\right)=-{\nabla }_X\times \left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }B\left(X,t\right)\right)$$

네 번째 맥스웰 방정식의 시간 도함수를 계산합니다.

dMaxwell4 = diff(Maxwell4,t)

dMaxwell4(X, t) = 
$${\nabla }_X\times \left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }B\left(X,t\right)\right)=\left({\epsilon }_0\hspace{0.17em}{\mu }_0\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }E\left(X,t\right)$$

wave_E에서 자기장 ${\nabla }_{\mathit{X}}\times \frac{\partial }{\partial \mathit{t}}\mathit{B}\left(\mathit{X},\mathit{t}\right)$를 포함하는 항을 dMaxwell4의 우변에 대입합니다. lhs와 rhs를 사용하여 dMaxwell4로부터 이러한 항을 구합니다.

wave_E = subs(wave_E,lhs(dMaxwell4),rhs(dMaxwell4))

wave_E(X, t) = 
$$-{\Delta }_X\mathrm{ }E\left(X,t\right)=-\left({\epsilon }_0\hspace{0.17em}{\mu }_0\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }E\left(X,t\right)$$

비슷한 단계를 사용하여 자기장의 파동 방정식을 구할 수도 있습니다.

wave_B = curl(Maxwell4,X)

wave_B(X, t) = 
$${\nabla }_X\mathrm{ }\left({\nabla }_X·B\left(X,t\right)\right)-{\Delta }_X\mathrm{ }B\left(X,t\right)=\left({\epsilon }_0\hspace{0.17em}{\mu }_0\right)\hspace{0.17em}\left({\nabla }_X\times \left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }E\left(X,t\right)\right)\right)$$

wave_B = subs(wave_B,lhs(Maxwell3),rhs(Maxwell3))

wave_B(X, t) = 
$$-{\Delta }_X\mathrm{ }B\left(X,t\right)=\left({\epsilon }_0\hspace{0.17em}{\mu }_0\right)\hspace{0.17em}\left({\nabla }_X\times \left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }E\left(X,t\right)\right)\right)$$

dMaxwell2 = diff(Maxwell2,t)

dMaxwell2(X, t) = 
$${\nabla }_X\times \left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }E\left(X,t\right)\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }B\left(X,t\right)$$

wave_B = subs(wave_B,lhs(dMaxwell2),rhs(dMaxwell2))

wave_B(X, t) = 
$$-{\Delta }_X\mathrm{ }B\left(X,t\right)=-\left({\epsilon }_0\hspace{0.17em}{\mu }_0\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }B\left(X,t\right)$$

입력 인수

V — 기호 벡터장

기호 스칼라 변수로 구성된 벡터 | 기호 함수 | 기호 행렬 변수 | 기호 행렬 함수

기호 벡터장으로, 기호 스칼라 변수로 구성된 벡터, 기호 함수, 기호 행렬 변수 또는 기호 행렬 함수로 지정됩니다. V의 길이는 X와 같아야 합니다.

• V가 기호 스칼라 변수의 함수이고 여기서 V가 유형 sym 또는 symfun인 경우, 벡터 X는 유형 sym 또는 symfun이어야 합니다.

• V가 기호 행렬 변수의 함수이고 여기서 V가 유형 symmatrix 또는 symfunmatrix인 경우, 벡터 X는 유형 symmatrix 또는 symfunmatrix여야 합니다.

데이터형: sym | symfun | symmatrix | symfunmatrix

X — 발산을 구할 벡터

기호 스칼라 변수로 구성된 벡터 | 기호 함수 | 기호 행렬 변수 | 기호 행렬 함수

발산을 구할 벡터로, 기호 스칼라 변수로 구성된 벡터, 기호 함수, 기호 행렬 변수 또는 기호 행렬 함수로 지정됩니다. X의 길이는 V와 같아야 합니다.

• X를 지정하지 않고 V가 기호 스칼라 변수의 함수인 경우, divergence는 기본적으로 symvar(V)에 정의된 변수 순서대로 V에 있는 기호 스칼라 변수에서 벡터 X를 생성합니다.

• X가 유형 symmatrix의 기호 행렬 변수인 경우, X의 크기는 1×N 또는 N×1이어야 합니다.

• V와 X가 스칼라인 경우, divergence(V,X) = diff(V,X)입니다.

데이터형: sym | symfun | symmatrix | symfunmatrix

제한 사항

• divergence 함수는 텐서 도함수를 지원하지 않습니다. 입력값 V가 벡터가 아닌 텐서 필드 또는 행렬인 경우 divergence 함수는 오류를 반환합니다.

• Symbolic Math Toolbox™는 유형 symmatrix의 기호 행렬 변수와 symfunmatrix의 기호 행렬 함수에 대해 dot 함수 또는 cross 함수를 현재 지원하지 않습니다. 벡터 미적분 항등식이 내적 또는 외적을 포함하는 경우 툴박스는 해당 항등식을 지원되는 다른 함수로 대신 표시합니다. 기호 행렬 변수와 기호 행렬 함수를 지원하는 모든 함수의 목록을 보려면 명령 methods symmatrix와 methods symfunmatrix를 사용하십시오.

세부 정보

기호 벡터장의 발산

카테시안 좌표에서 벡터 X = (X₁,...,X_n)에 대한 기호 벡터장 V = (V₁,...,V_n)의 발산은 X₁,...,X_n에 대한 V의 편도함수의 합입니다.

$$div(\overrightarrow{V})={\nabla }_X\cdot \overrightarrow{V}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{\partial V_i}{\partial X_i}}$$

버전 내역

R2012a에 개발됨

R2023a: 기호 행렬 변수와 기호 행렬 함수의 발산 계산하기

divergence 함수는 유형 symmatrix 및 symfunmatrix의 기호 행렬 변수와 기호 행렬 함수를 입력 인수로 받습니다. 예제는 전자기 파동 방정식 도출하기 항목을 참조하십시오.

참고 항목

curl | diff | gradient | jacobian | hessian | laplacian | potential | vectorPotential