jacobian

기호 함수로 구성된 야코비 행렬

구문

jacobian(f,v)

설명

jacobian(f,v)는 v에 대해 기호 함수 f의 야코비 행렬을 계산합니다. 결과의 (i,j) 요소는 $$\frac{\partial f\left(i\right)}{\partial \text{v}\left(j\right)}$$입니다.

예제

벡터 함수의 야코비 행렬

벡터 함수의 야코비 행렬은 해당 함수의 편도함수 행렬입니다.

[x,y,z]에 대해 [x*y*z,y^2,x + z]의 야코비 행렬을 계산합니다.

syms x y z
jacobian([x*y*z,y^2,x + z],[x,y,z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}y\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}y\\ 0& 2\hspace{0.17em}y& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

이제 [x;y;z]에 대해 [x*y*z,y^2,x + z]의 야코비 행렬을 계산합니다.

jacobian([x*y*z,y^2,x + z], [x;y;z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}y\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}y\\ 0& 2\hspace{0.17em}y& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

야코비 행렬은 두 번째 입력 위치에 있는 벡터의 방향에 불변합니다.

스칼라 함수의 야코비 행렬

스칼라 함수의 야코비 행렬은 해당 함수의 기울기의 전치입니다.

[x,y,z]에 대해 2*x + 3*y + 4*z의 야코비 행렬을 계산합니다.

syms x y z
jacobian(2*x + 3*y + 4*z,[x,y,z])

ans = $$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\end{array}\right)$$

이제 같은 표현식의 기울기를 계산합니다.

gradient(2*x + 3*y + 4*z,[x,y,z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$$

스칼라에 대한 야코비 행렬

스칼라에 대한 함수의 야코비 행렬은 해당 함수의 1계 도함수입니다. 벡터 함수의 경우 스칼라에 대한 야코비 행렬은 1계 도함수로 구성된 벡터입니다.

x에 대해 [x^2*y,x*sin(y)]의 야코비 행렬을 계산합니다.

syms x y
jacobian([x^2*y,x*sin(y)],x)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}y\\ \sin \left(y\right)\end{array}\right)$$

이제 도함수를 계산합니다.

diff([x^2*y,x*sin(y)],x)

ans = $$\left(\begin{array}{cc}2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}y& \sin \left(y\right)\end{array}\right)$$

좌표 변환에 대한 야코비 행렬

시간 함수인 극좌표 $$r(t)$$, $$\varphi (t)$$ 및 $$\theta (t)$$를 지정합니다.

syms r(t) phi(t) theta(t)

구면 좌표에서 카테시안 좌표로의 좌표 변환을 정의합니다.

R = [r*sin(phi)*cos(theta), r*sin(phi)*sin(theta), r*cos(phi)]

R(t) = $$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\end{array}\right)$$

구면 좌표에서 카테시안 좌표로의 좌표 변환에 대한 야코비 행렬을 구합니다.

jacobian(R,[r,phi,theta])

ans(t) = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& -\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\\ \sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\\ \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)& -\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& 0\end{array}\right)$$

입력 인수

f — 스칼라 함수 또는 벡터 함수

기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터

스칼라 함수 또는 벡터 함수로, 기호 표현식, 기호 함수 또는 기호 벡터로 지정됩니다. f가 스칼라이면 f의 야코비 행렬은 f의 전치된 기울기입니다.

v — 야코비 행렬을 계산할 변수 또는 함수로 구성된 벡터

기호 변수 | 기호 함수 | 기호 벡터

야코비 행렬을 계산할 변수 또는 함수로 구성된 벡터로, 기호 변수, 기호 함수 또는 기호 변수로 구성된 기호 벡터로 지정됩니다. v가 스칼라이면 결과는 diff(f,v)의 전치와 같습니다. v가 빈 기호 객체(예: sym([]))이면 jacobian는 빈 기호 객체를 반환합니다.

세부 정보

야코비 행렬(Jacobian Matrix)

벡터 함수 f = (f₁(x₁,...,x_n),...,f_n(x₁,...,x_n))의 야코비 행렬은 f의 도함수 행렬입니다.

$$J\left(x_1,\dots x_n\right)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right]$$

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

curl | divergence | diff | gradient | hessian | laplacian | potential | vectorPotential