dot

내적(Dot Product)

구문

C = dot(A,B)

C = dot(A,B,dim)

설명

C = dot(A,B)는 A와 B의 스칼라 내적(Scalar Dot Product)을 반환합니다.

• A와 B가 벡터이면, 길이가 같아야 합니다.

• A와 B가 행렬이나 다차원 배열이면 크기가 같아야 합니다. 이 경우에 dot 함수는 A와 B를 벡터의 모음으로 처리합니다. 함수는 크기가 1이 아닌 첫 번째 배열 차원에 따라 해당 벡터의 내적을 계산합니다.

C = dot(A,B,dim)은 dim 차원에 따라 A와 B의 내적을 계산합니다. dim 입력값은 양의 정수 스칼라입니다.

예제

실수 벡터의 내적

요소를 3개 가진 벡터를 두 개 만듭니다.

A = [4 -1 2];
B = [2 -2 -1];

A와 B의 내적을 계산합니다.

C = dot(A,B)

C = 
8

결과는 8이며 계산은 아래와 같습니다.

C = A(1)*B(1) + A(2)*B(2) + A(3)*B(3)

복소수 벡터의 내적

두 개의 복소수 벡터를 만듭니다.

A = [1+i 1-i -1+i -1-i];
B = [3-4i 6-2i 1+2i 4+3i];

A와 B의 내적을 계산합니다.

C = dot(A,B)

C = 
1.0000 - 5.0000i

A와 B가 복소수이므로 결과도 복소수 스칼라입니다. 일반적으로 두 복소수 벡터의 내적 또한 복소수가 됩니다. 단, 복소수 벡터에서 자기 자신과의 내적을 구할 때는 예외입니다.

A의 내적을 구합니다.

D = dot(A,A)

D = 
8

결과는 실수형 스칼라입니다. 벡터에서 자기 자신과의 내적은 벡터의 유클리드 길이(Euclidean Length) norm(A)와 관련이 있습니다.

행렬의 내적

두 개의 행렬을 만듭니다.

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B = [9 8 7;6 5 4;3 2 1];

A와 B의 내적을 구합니다.

C = dot(A,B)

C = 1×3

    54    57    54

결과 C는 3개의 개별적인 내적 값을 포함합니다. dot은 A와 B의 열을 벡터로 처리하고 해당 열끼리 내적을 계산합니다. 따라서 예를 들어, C(1) = 54는 A(:,1)과 B(:,1)의 내적이 됩니다.

행을 벡터로 처리하여 A와 B의 내적을 구합니다.

D = dot(A,B,2)

D = 3×1

    46
    73
    46

이 경우 D(1) = 46은 A(1,:)과 B(1,:)의 내적이 됩니다.

다차원 배열의 내적

두 개의 다차원 배열을 만듭니다.

A = cat(3,[1 1;1 1],[2 3;4 5],[6 7;8 9])

A = 
A(:,:,1) =

     1     1
     1     1


A(:,:,2) =

     2     3
     4     5


A(:,:,3) =

     6     7
     8     9

B = cat(3,[2 2;2 2],[10 11;12 13],[14 15; 16 17])

B = 
B(:,:,1) =

     2     2
     2     2


B(:,:,2) =

    10    11
    12    13


B(:,:,3) =

    14    15
    16    17

3차원(dim = 3)에 따라 A와 B의 내적을 계산합니다.

C = dot(A,B,3)

C = 2×2

   106   140
   178   220

결과 값 C는 네 개의 개별적인 내적을 포함합니다. 첫 번째 내적 C(1,1) = 106은 A(1,1,:)과 B(1,1,:)의 내적과 같습니다.

입력 인수

A,B — 입력 배열

숫자형 배열

입력 배열로, 숫자형 배열로 지정됩니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

dim — 연산을 수행할 차원

양의 정수 스칼라

연산을 수행할 차원으로, 양의 정수 스칼라로 지정됩니다. 값이 지정되지 않은 경우 디폴트는 크기가 1이 아닌 첫 번째 배열 차원입니다.

두 개의 2차원 입력 배열 A와 B가 있다고 가정하겠습니다.

• dot(A,B,1)은 A와 B의 열을 벡터로 처리하여 해당 열의 내적을 반환합니다.

• dot(A,B,2)는 A와 B의 행을 벡터로 처리하여 해당 행의 내적을 반환합니다.

dim이 ndims(A)보다 큰 경우 dot은 conj(A).*B를 반환합니다.

세부 정보

스칼라 내적

길이가 n인 두 실수 벡터의 스칼라 내적은 다음과 같습니다.

$$u·v={\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i=u_1{v}_1+u_2{v}_2+\mathrm{...}}+u_n{v}_n.$$

이 관계는 실수 벡터에 대해 가환성(Commutative)이 성립하므로 dot(u,v)는 dot(v,u)와 같습니다. 내적이 0일 경우 u와 v는 서로 수직 관계입니다.

복소수 벡터의 경우 내적을 구하려면 켤레 복소수가 필요합니다. 이 결과 한 개 벡터로 내적을 구하면 양의 정부호이며 실수인 것을 알 수 있습니다.

$$u·v={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\overline{u}}_i{v}_i}.$$

실수 벡터간 관계와 달리 복소수 벡터간 관계는 가환성(Commutative)이 성립하지 않으므로 dot(u,v)는 conj(dot(v,u))와 같습니다.

알고리즘

• 입력값 A와 B가 실수이거나 복소수일 때 dot 함수는 이들을 열 벡터로 처리하고, dot(A,B)는 sum(conj(A).*B)와 같습니다.

• 입력값이 행렬이거나 다차원 배열일 때 dim 인수는 sum 함수가 동작할 차원을 결정합니다. 이 경우 dot(A,B)는 sum(conj(A).*B,dim)과 같습니다.

확장 기능

tall형 배열

메모리에 담을 수 없을 정도로 많은 행을 가진 배열을 계산할 수 있습니다.

이 함수는 tall형 배열을 지원하지만 다음과 같은 제한 사항이 있습니다.

구문 dot(A,B)의 경우, 배열 A와 배열 B는 크기가 동일해야 합니다(벡터인 경우에도 해당됨).

자세한 내용은 메모리에 담을 수 없는 큰 데이터를 위한 tall형 배열 항목을 참조하십시오.

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 코드 생성 시 이 함수에 대해 희소 행렬 입력값은 지원되지 않습니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

dot 함수는 GPU 배열을 완전히 지원합니다. GPU에서 이 함수를 실행하려면 입력 데이터를 gpuArray (Parallel Computing Toolbox)로 지정하십시오. 자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

이 함수는 분산 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

cross | sum | conj | norm | tensorprod

외부 웹사이트

• Applied Linear Algebra (MathWorks Teaching Resources)