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fmincon
제약 조건이 있는 비선형 다변수 함수의 최솟값 구하기
구문
설명
비선형 계획법 솔버입니다.
다음으로 지정된 문제의 최솟값을 구합니다.
b와 beq는 벡터이고, A와 Aeq는 행렬이고, c(x)와 ceq(x)는 벡터를 반환하는 함수이고, f(x)는 스칼라를 반환하는 함수입니다. f(x), c(x), ceq(x)는 비선형 함수일 수 있습니다.
x, lb, ub는 벡터 또는 행렬로 전달될 수 있습니다. 행렬 인수 항목을 참조하십시오.
는 해가 항상 범위 x
= fmincon(fun
,x0
,A
,b
,Aeq
,beq
,lb
,ub
)lb
≤ x
≤ ub
내에 있도록 설계 변수 x
에 대한 하한 및 상한 집합을 정의합니다. 등식이 존재하지 않는 경우 Aeq = []
및 beq = []
을 설정하십시오. x(i)
의 하한이 비유계인 경우 lb(i) = -Inf
를 설정하고, x(i)
의 상한이 비유계인 경우 ub(i) = Inf
를 설정하십시오.
참고
문제에 대해 지정된 입력값 범위에 모순이 있는 경우 fmincon
은 오류를 발생시킵니다. 이 경우, 출력값 x
는 x0
이 되고 fval
은 []
이 됩니다.
디폴트 'interior-point'
알고리즘의 경우 fmincon
은 범위 lb ≤ x ≤ ub
를 위반하거나 범위의 경계값과 같은 x0
의 성분을 범위 영역의 내부로 설정합니다. 'trust-region-reflective'
알고리즘의 경우 fmincon
은 위반하는 성분을 범위 영역의 내부로 설정합니다. 다른 알고리즘의 경우 fmincon
은 위반하는 성분을 가장 가까운 범위 경계로 설정합니다. 범위를 준수하는 성분은 변경되지 않습니다. 반복이 제약 조건을 위반할 수 있음 항목을 참조하십시오.
예제
선형 부등식 제약 조건
선형 부등식 제약 조건이 있는 경우 로젠브록 함수(Rosenbrock Function)의 최솟값을 구합니다.
목적 함수 fun
을 로젠브록 함수로 설정합니다. 로젠브록 함수는 최소화하기 어려운 것으로 잘 알려져 있습니다. 이 함수는 점 (1,1)에서 최소 목적 함수 값 0을 가집니다. 자세한 내용은 최적화 라이브 편집기 작업 또는 솔버를 사용한, 제약 조건이 있는 비선형 문제 항목을 참조하십시오.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
을 충족하도록 규정하는 제약 조건이 있는 상태로 점 [-1,2]
에서 시작하여 최솟값을 구합니다. A = [1,2]
및 b = 1
을 사용하여 Ax <= b
형식으로 이 제약 조건을 나타냅니다. 이 제약 조건은 제약 조건이 없을 때의 해 (1,1)은 이 문제의 해가 될 수 없음을 의미합니다. 그 이유는 이 점에서는 이 되기 때문입니다.
x0 = [-1,2]; A = [1,2]; b = 1; x = fmincon(fun,x0,A,b)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.5022 0.2489
선형 부등식 및 등식 제약 조건
선형 부등식 제약 조건과 선형 등식 제약 조건이 모두 있는 경우 로젠브록 함수(Rosenbrock Function)의 최솟값을 구합니다.
목적 함수 fun
을 로젠브록 함수로 설정합니다.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
및 을 충족하도록 규정하는 제약 조건이 있는 상태로 점 [0.5,0]
에서 시작하여 최솟값을 구합니다.
A = [1,2]
및b = 1
을 사용하여A*x <= b
형식으로 선형 부등식 제약 조건을 나타냅니다.Aeq = [2,1]
및beq = 1
을 사용하여Aeq*x = beq
형식으로 선형 등식 제약 조건을 나타냅니다.
x0 = [0.5,0]; A = [1,2]; b = 1; Aeq = [2,1]; beq = 1; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.4149 0.1701
범위 제약 조건이 있는 경우 최소화하기
범위 제약 조건이 있는 상태에서 목적 함수의 최솟값을 구합니다.
목적 함수는 두 개의 변수로 구성된 단순한 대수 함수입니다.
fun = @(x)1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));
가 및 를 충족하는 양수 값을 갖는 영역을 살펴봅니다.
lb = [0,0]; ub = [1,2];
문제에 선형 제약 조건이 없으므로 관련 인수를 []
로 설정합니다.
A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];
초기점으로 영역의 가운데 점을 사용해 봅니다.
x0 = (lb + ub)/2;
문제를 풉니다.
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.0000 2.0000
초기점마다 각각 다른 해가 생성될 수 있습니다.
x0 = x0/5; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
10-6 ×
0.4000 0.4000
어느 해가 더 적합한지 확인하려면 목적 함수 값 구하기 항목을 참조하십시오.
비선형 제약 조건
비선형 제약 조건을 적용하여 함수의 최솟값을 구합니다.
로젠브록 함수(Rosenbrock Function)가 원 내에서 최소화되는 점을 찾습니다. 여기에는 범위 제약 조건도 적용됩니다.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
, 을 충족하는 영역 내부를 살펴봅니다.
lb = [0,0.2]; ub = [0.5,0.8];
또한, 반지름이 1/3이며 중심이 [1/3,1/3]인 원 내부도 살펴봅니다. 다음 코드를 MATLAB® 경로에 있는 circlecon.m
이라는 파일로 복사합니다.
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function [c,ceq] = circlecon(x) c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2; ceq = [];
선형 제약 조건이 없으므로 관련 인수를 []
로 설정합니다.
A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];
모든 제약 조건을 충족하는 초기점을 선택합니다.
x0 = [1/4,1/4];
문제를 풉니다.
nonlcon = @circlecon; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 0.5000 0.2500
디폴트가 아닌 옵션
다른 알고리즘을 사용하고 반복이 발생할 때마다 반복 상태를 표시하도록 옵션을 설정합니다.
fmincon
풀이 과정을 관찰하기 위해 Display
옵션을 'iter'
로 설정합니다. 또한, 'sqp'
알고리즘을 사용해 봅니다. 때때로 이 알고리즘이 디폴트 'interior-point'
알고리즘보다 더 빠르거나 정확할 수 있습니다.
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');
단위 원판 에 대한 로젠브록 함수의 최솟값을 구합니다. 먼저, 비선형 제약 조건을 나타내는 함수를 만듭니다. 이 함수를 MATLAB® 경로에 unitdisk.m
이라는 파일로 저장합니다.
type unitdisk.m
function [c,ceq] = unitdisk(x) c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; ceq = [];
나머지 문제 사양을 만듭니다. 그런 후 fmincon
을 실행합니다.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; nonlcon = @unitdisk; x0 = [0,0]; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Iter Func-count Fval Feasibility Step Length Norm of First-order step optimality 0 3 1.000000e+00 0.000e+00 1.000e+00 0.000e+00 2.000e+00 1 12 8.913011e-01 0.000e+00 1.176e-01 2.353e-01 1.107e+01 2 22 8.047847e-01 0.000e+00 8.235e-02 1.900e-01 1.330e+01 3 28 4.197517e-01 0.000e+00 3.430e-01 1.217e-01 6.172e+00 4 31 2.733703e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.254e-02 5.705e-01 5 34 2.397111e-01 0.000e+00 1.000e+00 7.498e-02 3.164e+00 6 37 2.036002e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.960e-02 3.106e+00 7 40 1.164353e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.459e-01 1.059e+00 8 43 1.161753e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.754e-01 7.383e+00 9 46 5.901602e-02 0.000e+00 1.000e+00 1.547e-02 7.278e-01 10 49 4.533081e-02 2.898e-03 1.000e+00 5.393e-02 1.252e-01 11 52 4.567454e-02 2.225e-06 1.000e+00 1.492e-03 1.679e-03 12 55 4.567481e-02 4.386e-12 1.000e+00 2.095e-06 1.502e-05 13 58 4.567481e-02 0.000e+00 1.000e+00 2.193e-12 1.406e-05 Local minimum possible. Constraints satisfied. fmincon stopped because the size of the current step is less than the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.7864 0.6177
반복 과정 표시 화면에 대한 세부 정보는 반복 과정 표시 항목을 참조하십시오.
기울기 포함하기
더욱 빠르거나 더욱 안정적인 계산을 위해 목적 함수에 기울기 계산을 포함시킵니다.
목적 함수 파일에 조건화된 출력값으로 기울기 계산을 포함시킵니다. 자세한 내용은 기울기와 헤세 행렬 포함시키기 항목을 참조하십시오. 목적 함수는 다음과 같은 로젠브록 함수(Rosenbrock Function)이며,
기울기는 다음과 같습니다.
function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x) % Calculate objective f f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; if nargout > 1 % gradient required g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)]; end
이 코드를 MATLAB® 경로에 rosenbrockwithgrad.m
이라는 파일로 저장합니다.
목적 함수 기울기를 사용하도록 옵션을 만듭니다.
options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true);
문제에 대한 그 밖의 입력값을 만듭니다. 그런 다음, fmincon
을 호출합니다.
fun = @rosenbrockwithgrad; x0 = [-1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = [-2,-2]; ub = [2,2]; nonlcon = []; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 1.0000 1.0000
문제 구조체 사용하기
개별 인수 대신 문제 구조체를 사용하여 디폴트가 아닌 옵션에 나와 있는 것과 동일한 문제를 풉니다.
옵션과 문제 구조체를 만듭니다. 필드 이름과 필수 필드는 problem 항목을 참조하십시오.
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp'); problem.options = options; problem.solver = 'fmincon'; problem.objective = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; problem.x0 = [0,0];
비선형 제약 조건 함수 unitdisk
는 이 예제의 마지막 부분에 나와 있습니다. problem
에 비선형 제약 조건 함수를 포함시킵니다.
problem.nonlcon = @unitdisk;
문제를 풉니다.
x = fmincon(problem)
Iter Func-count Fval Feasibility Step Length Norm of First-order step optimality 0 3 1.000000e+00 0.000e+00 1.000e+00 0.000e+00 2.000e+00 1 12 8.913011e-01 0.000e+00 1.176e-01 2.353e-01 1.107e+01 2 22 8.047847e-01 0.000e+00 8.235e-02 1.900e-01 1.330e+01 3 28 4.197517e-01 0.000e+00 3.430e-01 1.217e-01 6.172e+00 4 31 2.733703e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.254e-02 5.705e-01 5 34 2.397111e-01 0.000e+00 1.000e+00 7.498e-02 3.164e+00 6 37 2.036002e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.960e-02 3.106e+00 7 40 1.164353e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.459e-01 1.059e+00 8 43 1.161753e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.754e-01 7.383e+00 9 46 5.901602e-02 0.000e+00 1.000e+00 1.547e-02 7.278e-01 10 49 4.533081e-02 2.898e-03 1.000e+00 5.393e-02 1.252e-01 11 52 4.567454e-02 2.225e-06 1.000e+00 1.492e-03 1.679e-03 12 55 4.567481e-02 4.386e-12 1.000e+00 2.095e-06 1.502e-05 13 58 4.567481e-02 0.000e+00 1.000e+00 2.193e-12 1.406e-05 Local minimum possible. Constraints satisfied. fmincon stopped because the size of the current step is less than the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.7864 0.6177
반복 과정 표시와 해는 디폴트가 아닌 옵션에서와 같습니다.
다음 코드는 unitdisk
함수를 생성합니다.
function [c,ceq] = unitdisk(x) c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; ceq = []; end
목적 함수 값 구하기
fval
출력값을 사용하여 fmincon
을 호출함으로써 해에서의 목적 함수 값을 구합니다.
범위 제약 조건이 있는 경우 최소화하기 예제에서는 두 개의 해를 보여줍니다. 어느 것이 더 적합한가요? fval
출력값과 해를 요청하는 예제를 실행합니다.
fun = @(x)1+x(1)./(1+x(2)) - 3*x(1).*x(2) + x(2).*(1+x(1)); lb = [0,0]; ub = [1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; x0 = (lb + ub)/2; [x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.0000 2.0000
fval = -0.6667
다른 시작점 x0
을 사용하여 문제를 실행합니다.
x0 = x0/5; [x2,fval2] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x2 = 1×2
10-6 ×
0.4000 0.4000
fval2 = 1.0000
이 해는 목적 함수 값 fval2
= 1을 가집니다. 이는 첫 번째 값 fval
= –0.6667보다 더 높습니다. 첫 번째 해 x
가 더 낮은 극소 목적 함수 값을 가집니다.
추가 출력값을 사용하여 해 검토하기
exitflag
출력값과 output
출력값을 요청하면 해의 품질을 손쉽게 검토할 수 있습니다.
단위 원판 에 대해 로젠브록 함수를 최소화하는 문제를 설정합니다. 먼저, 비선형 제약 조건을 나타내는 함수를 만듭니다. 이 함수를 MATLAB® 경로에 unitdisk.m
이라는 파일로 저장합니다.
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
나머지 문제 사양을 만듭니다.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; nonlcon = @unitdisk; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; x0 = [0,0];
fval
, exitflag
, output
출력값을 사용하여 fmincon
을 호출합니다.
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 0.7864 0.6177 fval = 0.0457 exitflag = 1 output = struct with fields: iterations: 24 funcCount: 84 constrviolation: 0 stepsize: 6.9162e-06 algorithm: 'interior-point' firstorderopt: 2.4373e-08 cgiterations: 4 message: 'Local minimum found that satisfies the constraints....' bestfeasible: [1x1 struct]
exitflag
값1
은 해가 국소 최솟값이라는 것을 나타냅니다.output
구조체는 풀이 과정에 대한 여러 통계량을 보고합니다. 특히,output.iterations
에 반복 횟수,output.funcCount
에 함수 실행 횟수,output.constrviolation
에 실현가능성을 제공합니다.
모든 출력값 구하기
fmincon
은 보고된 해를 분석하는 데 사용할 수 있는 여러 출력값을 선택적으로 반환합니다.
단위 원판에 대해 로젠브록 함수(Rosenbrock Function)를 최소화하는 문제를 설정합니다. 먼저, 비선형 제약 조건을 나타내는 함수를 만듭니다. 이 함수를 MATLAB® 경로에 unitdisk.m
이라는 파일로 저장합니다.
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
나머지 문제 사양을 만듭니다.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; nonlcon = @unitdisk; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; x0 = [0,0];
모든 fmincon
출력값을 요청합니다.
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 0.7864 0.6177 fval = 0.0457 exitflag = 1 output = struct with fields: iterations: 24 funcCount: 84 constrviolation: 0 stepsize: 6.9162e-06 algorithm: 'interior-point' firstorderopt: 2.4373e-08 cgiterations: 4 message: 'Local minimum found that satisfies the constraints....' bestfeasible: [1x1 struct] lambda = struct with fields: eqlin: [0x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] lower: [2x1 double] upper: [2x1 double] ineqnonlin: 0.1215 grad = -0.1911 -0.1501 hessian = 497.2903 -314.5589 -314.5589 200.2392
lambda.ineqnonlin
출력값은 비선형 제약 조건이 해에서 활성 상태라는 것을 보여주고 연결된 라그랑주 승수의 값을 제공합니다.grad
출력값은 해x
에서의 목적 함수의 기울기 값을 제공합니다.hessian
출력값은 fmincon 헤세 행렬에 설명되어 있습니다.
입력 인수
fun
— 최소화할 함수
함수 핸들 | 함수 이름
최소화할 함수로, 함수 핸들이나 함수 이름으로 지정됩니다. fun
은 벡터 또는 배열 x
를 받고 실수형 스칼라 f
를 반환하는 함수입니다. 즉, x
에서 계산되는 목적 함수입니다.
fmincon
함수는 x
를 x0
인수 형태로 목적 함수와 비선형 제약 조건 함수에 전달합니다. 예를 들어, x0
이 5×3 배열이면 fmincon
함수는 x
를 5×3 배열로 fun
에 전달합니다. fmincon
함수는 x
를 열 벡터 x(:)
로 변환한 후 선형 제약 조건 행렬 A
또는 Aeq
와 x
를 곱합니다.
다음과 같이 fun
을 파일에 대한 함수 핸들로 지정합니다.
x = fmincon(@myfun,x0,A,b)
여기서 myfun
은 다음과 같은 MATLAB® 함수입니다.
function f = myfun(x) f = ... % Compute function value at x
다음과 같이 fun
을 익명 함수에 대한 함수 핸들로 지정할 수도 있습니다.
x = fmincon(@(x)norm(x)^2,x0,A,b);
fun
의 기울기를 계산할 수 있고 다음 설정처럼 SpecifyObjectiveGradient
옵션이 true
로 설정된 경우
options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true)
fun
은 두 번째 출력 인수에 기울기 벡터 g(x)
를 반환해야 합니다.
헤세 행렬도 계산할 수 있고 optimoptions
를 통해 HessianFcn
옵션이 'objective'
로 설정되어 있고 Algorithm
옵션이 'trust-region-reflective'
인 경우, fun
은 세 번째 출력 인수에 대칭 행렬인 헤세 행렬 값 H(x)
를 반환해야 합니다. fun
은 희소 헤세 행렬을 제공할 수 있습니다. 자세한 내용은 fminunc의 trust-region 알고리즘 또는 fmincon의 trust-region-reflective 알고리즘에 대한 헤세 행렬 항목을 참조하십시오.
헤세 행렬도 계산할 수 있고 Algorithm
옵션이 'interior-point'
로 설정된 경우, 헤세 행렬을 fmincon
에 전달할 수 있는 다른 방법이 있습니다. 자세한 내용은 fmincon의 interior-point 알고리즘에 대한 헤세 행렬 항목을 참조하십시오. Symbolic Math Toolbox™를 사용하여 기울기와 헤세 행렬을 계산하는 예제는 Calculate Gradients and Hessians Using Symbolic Math Toolbox 항목을 참조하십시오.
interior-point
알고리즘과 trust-region-reflective
알고리즘을 사용하면 헤세 행렬의 곱셈 함수를 제공할 수 있습니다. 이 함수는 헤세 행렬을 직접 계산하지 않고 헤세 행렬과 벡터의 곱에 대한 결과를 제공합니다. 따라서 메모리를 절약할 수 있습니다. 헤세 행렬의 곱셈 함수 항목을 참조하십시오.
예: fun = @(x)sin(x(1))*cos(x(2))
데이터형: char
| function_handle
| string
x0
— 초기점
실수형 벡터 | 실수형 배열
초기점으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. 솔버는 x0
의 요소 개수와 이 인수의 크기를 사용하여 fun
이 받는 변수의 개수와 크기를 확인합니다.
'interior-point'
알고리즘 —HonorBounds
옵션이true
(디폴트 값)인 경우,fmincon
은 범위 경계lb
또는ub
에 있거나 그 외부에 있는x0
성분을 범위 내에 엄밀히 속하는 값으로 재설정합니다.'trust-region-reflective'
알고리즘 —fmincon
은 실현 가능하지 않은x0
성분을 범위 또는 선형 등식에 대해 실현 가능하도록 재설정합니다.'sqp'
,'sqp-legacy'
,'active-set'
알고리즘 —fmincon
은 범위 외부에 있는x0
성분을 대응하는 범위의 값으로 재설정합니다.
예: x0 = [1,2,3,4]
데이터형: double
A
— 선형 부등식 제약 조건
실수 행렬
선형 부등식 제약 조건으로, 실수 행렬로 지정됩니다. A
는 M
×N
행렬입니다. 여기서 M
은 부등식 개수이고 N
은 변수 개수(x0
의 요소 개수)입니다. 대규모 문제의 경우, A
를 희소 행렬로 전달하십시오.
A
는 다음과 같이 M
개의 선형 부등식을 인코딩합니다.
A*x <= b
,
여기서 x
는 N
개의 변수 x(:)
으로 구성된 열 벡터이고, b
는 M
개의 요소를 갖는 열 벡터입니다.
예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.
x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30,
다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.
A = [1,2;3,4;5,6]; b = [10;20;30];
예: x 성분의 합이 1 이하가 되도록 지정하려면 A = ones(1,N)
및 b = 1
을 사용하십시오.
데이터형: double
b
— 선형 부등식 제약 조건
실수형 벡터
선형 부등식 제약 조건으로, 실수 벡터로 지정됩니다. b
는 A
행렬과 관련된, 요소를 M
개 가진 벡터입니다. b
를 행 벡터로 전달하면 솔버는 내부적으로 b
를 열 벡터 b(:)
으로 변환합니다. 대규모 문제의 경우, b
를 희소 벡터로 전달하십시오.
b
는 다음과 같이 M
개의 선형 부등식을 인코딩합니다.
A*x <= b
,
여기서 x
는 N
개의 변수 x(:)
으로 구성된 열 벡터이고, A
는 크기가 M
×N
인 행렬입니다.
예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.
x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30.
다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.
A = [1,2;3,4;5,6]; b = [10;20;30];
예: x 성분의 합이 1 이하가 되도록 지정하려면 A = ones(1,N)
및 b = 1
을 사용하십시오.
데이터형: double
Aeq
— 선형 등식 제약 조건
실수 행렬
선형 등식 제약 조건으로, 실수 행렬로 지정됩니다. Aeq
는 Me
×N
행렬입니다. 여기서 Me
는 부등식 개수이고 N
은 변수 개수(x0
의 요소 개수)입니다. 대규모 문제의 경우, Aeq
를 희소 행렬로 전달하십시오.
Aeq
는 다음과 같이 Me
개의 선형 등식을 인코딩합니다.
Aeq*x = beq
,
여기서 x
는 N
개의 변수 x(:)
으로 구성된 열 벡터이고, beq
는 Me
개의 요소를 갖는 열 벡터입니다.
예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.
x1 + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x3 = 20,
다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.
Aeq = [1,2,3;2,4,1]; beq = [10;20];
예: x 성분의 합이 1이 되도록 지정하려면 Aeq = ones(1,N)
및 beq = 1
을 사용하십시오.
데이터형: double
beq
— 선형 등식 제약 조건
실수형 벡터
선형 등식 제약 조건으로, 실수 벡터로 지정됩니다. beq
는 Aeq
행렬과 관련된, 요소를 Me
개 가진 벡터입니다. beq
를 행 벡터로 전달하면 솔버는 내부적으로 beq
를 열 벡터 beq(:)
으로 변환합니다. 대규모 문제의 경우, beq
를 희소 벡터로 전달하십시오.
beq
는 다음과 같이 Me
개의 선형 등식을 인코딩합니다.
Aeq*x = beq
,
여기서 x
는 N
개의 변수 x(:)
으로 구성된 열 벡터이고, Aeq
는 크기가 Me
×N
인 행렬입니다.
예를 들어, 다음 등식을 살펴보겠습니다.
x1 + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x3 = 20.
다음 제약 조건을 입력하여 등식을 지정합니다.
Aeq = [1,2,3;2,4,1]; beq = [10;20];
예: x 성분의 합이 1이 되도록 지정하려면 Aeq = ones(1,N)
및 beq = 1
을 사용하십시오.
데이터형: double
lb
— 하한
실수형 벡터 | 실수형 배열
하한으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. x0
의 요소 개수가 lb
의 요소 개수와 같은 경우 lb
는 다음을 지정합니다.
모든 i
에 대해 x(i) >= lb(i)
numel(lb) < numel(x0)
이면 lb
는 다음을 지정합니다.
1 <= i <= numel(lb)
에 대해 x(i) >= lb(i)
lb
의 요소 개수가 x0
의 요소 개수보다 적으면 솔버가 경고를 발생시킵니다.
예: 모든 x 성분이 양수가 되도록 지정하려면 lb = zeros(size(x0))
을 사용하십시오.
데이터형: double
ub
— 상한
실수형 벡터 | 실수형 배열
상한으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. x0
의 요소 개수가 ub
의 요소 개수와 같은 경우 ub
는 다음을 지정합니다.
모든 i
에 대해 x(i) <= ub(i)
numel(ub) < numel(x0)
이면 ub
는 다음을 지정합니다.
1 <= i <= numel(ub)
에 대해 x(i) <= ub(i)
ub
의 요소 개수가 x0
의 요소 개수보다 적으면 솔버가 경고를 발생시킵니다.
예: 모든 x 성분이 1보다 작도록 지정하려면 ub = ones(size(x0))
을 사용하십시오.
데이터형: double
nonlcon
— 비선형 제약 조건
함수 핸들 | 함수 이름
비선형 제약 조건으로, 함수 핸들 또는 함수 이름으로 지정됩니다. nonlcon
은 벡터 또는 배열 x
를 받고 두 개의 배열 c(x)
와 ceq(x)
를 반환하는 함수입니다.
c(x)
는x
의 비선형 부등식 제약 조건으로 구성된 배열입니다.fmincon
은 다음을 충족하려고 시도합니다.모든
c
요소에 대해c(x) <= 0
.ceq(x)
는x
의 비선형 등식 제약 조건으로 구성된 배열입니다.fmincon
은 다음을 충족하려고 시도합니다.모든
ceq
요소에 대해ceq(x) = 0
.
예를 들면 다음을 입력합니다.
x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)
여기서 mycon
은 다음과 같은 MATLAB 함수입니다.
function [c,ceq] = mycon(x) c = ... % Compute nonlinear inequalities at x. ceq = ... % Compute nonlinear equalities at x.
SpecifyConstraintGradient
옵션이 true
인 경우options = optimoptions('fmincon','SpecifyConstraintGradient',true)
nonlcon
은 세 번째 출력 인수와 네 번째 출력 인수로 c(x)
의 기울기 GC
와 ceq(x)
의 기울기 GCeq
도 반환해야 합니다. GC
와 GCeq
는 희소 또는 조밀 형식일 수 있습니다. GC
또는 GCeq
가 대규모이고 0이 아닌 요소가 상대적으로 적은 경우 이러한 요소를 희소 행렬로 나타내면 interior-point
알고리즘에서 실행 시간과 메모리를 절약할 수 있습니다. 자세한 내용은 비선형 제약 조건 항목을 참조하십시오.
데이터형: char
| function_handle
| string
options
— 최적화 옵션
optimoptions
의 출력값 | optimset
등이 반환하는 구조체
최적화 옵션으로, optimoptions
의 출력값 또는 optimset
등이 반환하는 구조체로 지정됩니다.
옵션에 따라 모든 알고리즘에 적용되는 옵션이 있고 특정 알고리즘에만 유효한 옵션이 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 참조 항목을 참조하십시오.
일부 옵션은 optimoptions
표시에 나타나지 않습니다. 이러한 옵션은 다음 표에서 기울임꼴로 표시되어 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 보기 항목을 참조하십시오.
모든 알고리즘 | |||||
Algorithm | 다음 최적화 알고리즘을 선택합니다.
알고리즘을 선택하는 방법에 대한 자세한 내용은 알고리즘 선택하기 항목을 참조하십시오.
| ||||
CheckGradients | 사용자 제공 도함수(목적 함수 또는 제약 조건의 기울기)를 유한 차분 도함수와 비교합니다.
| ||||
ConstraintTolerance | 제약 조건 위반에 대한 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은
| ||||
Diagnostics | 최소화하거나 풀려는 함수에 대한 진단 정보를 표시합니다. | ||||
DiffMaxChange | 유한 차분 기울기에 대한 변수의 최대 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 | ||||
DiffMinChange | 유한 차분 기울기에 대한 변수의 최소 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 | ||||
Display | 표시 수준입니다(반복 과정 표시 참조):
| ||||
FiniteDifferenceStepSize | 유한 차분에 대한 스칼라 또는 벡터 스텝 크기 인자입니다.
sign′(x) = sign(x) 입니다(단, sign′(0) = 1 임). 중심 유한 차분은 다음과 같습니다.
FiniteDifferenceStepSize 는 벡터로 확장됩니다. 디폴트 값은 전향 유한 차분의 경우 sqrt(eps) 이고 중심 유한 차분의 경우 eps^(1/3) 입니다.
| ||||
FiniteDifferenceType | 기울기를 추정하는 데 사용되는 유한 차분으로,
| ||||
FunValCheck | 목적 함수 값이 유효한지 여부를 확인합니다. 디폴트 설정 | ||||
MaxFunctionEvaluations | 허용되는 함수 실행의 최대 횟수로, 음이 아닌 정수입니다.
| ||||
MaxIterations | 허용되는 최대 반복 횟수로, 음이 아닌 정수입니다.
| ||||
OptimalityTolerance | 1차 최적성에 대한 종료 허용오차(음이 아닌 스칼라)입니다. 디폴트 값은
| ||||
OutputFcn | 각 반복마다 최적화 함수가 호출하는 하나 이상의 사용자 정의 함수를 지정합니다. 함수 핸들 또는 함수 핸들 셀형 배열을 전달합니다. 디폴트 값은 없음( | ||||
PlotFcn | 알고리즘이 실행되는 동안 다양한 진행률 측정값을 플로팅합니다. 미리 정의된 플롯에서 선택하거나 사용자가 직접 작성할 수 있습니다. 내장 플롯 함수 이름, 함수 핸들 또는 내장 플롯 함수 이름이나 함수 핸들로 구성된 셀형 배열을 전달하십시오. 사용자 지정 플롯 함수의 경우, 함수 핸들을 전달하십시오. 디폴트 값은 없음(
사용자 지정 플롯 함수는 출력 함수와 동일한 구문을 사용합니다. Optimization Toolbox의 출력 함수 항목과 Output Function and Plot Function Syntax 항목을 참조하십시오.
| ||||
SpecifyConstraintGradient | 사용자가 정의하는 비선형 제약 조건 함수의 기울기입니다. 디폴트 값
| ||||
SpecifyObjectiveGradient | 사용자가 정의하는 목적 함수의 기울기입니다.
| ||||
StepTolerance |
| ||||
TypicalX | 일반적인
| ||||
UseParallel |
| ||||
Trust-Region-Reflective 알고리즘 | |||||
FunctionTolerance | 함수 값에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은
| ||||
HessianFcn |
| ||||
HessianMultiplyFcn | 헤세 행렬의 곱셈 함수로, 함수 핸들로 지정됩니다. 특정 구조를 가진 대규모 문제의 경우, 이 함수는 W = hmfun(Hinfo,Y) 여기서 첫 번째 인수는 목적 함수 [f,g,Hinfo] = fun(x)
참고
헤세 행렬의 곱셈 함수 항목을 참조하십시오. 이에 대한 예제는 Minimization with Dense Structured Hessian, Linear Equalities 항목을 참조하십시오.
| ||||
HessPattern | 유한 차분에 대한 헤세 행렬의 희소성 패턴입니다. ∂2
구조를 알 수 없는 경우 | ||||
MaxPCGIter | 최대 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 반복 횟수로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 범위 제약 조건이 있는 문제의 경우 | ||||
PrecondBandWidth | PCG에 대한 선조건자의 상부 대역폭으로, 음이 아닌 정수입니다. 기본적으로, 대각 선조건 지정이 사용됩니다(상부 대역폭: 0). 일부 문제에서는 대역폭을 늘리면 PCG 반복 횟수가 줄어듭니다. | ||||
SubproblemAlgorithm | 반복 스텝이 계산되는 방식을 결정합니다. 디폴트 값
| ||||
TolPCG | PCG 반복에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 | ||||
Active-Set 알고리즘 | |||||
FunctionTolerance | 함수 값에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은
| ||||
MaxSQPIter | 허용되는 최대 SQP 반복 횟수로, 양의 정수입니다. 디폴트 값은 | ||||
RelLineSrchBnd | 직선 탐색 스텝 길이에 대한 상대적 범위입니다(음이 아닌 실수 스칼라 값). x의 총 변위는 |Δx(i)| ≤ relLineSrchBnd· max(|x(i)|,|typicalx(i)|)를 충족합니다. 이 옵션을 사용하면 솔버가 너무 크다고 여겨지는 스텝을 실행하는 경우에 x의 변위 크기를 제어할 수 있습니다. 디폴트 값은 범위 없음( | ||||
RelLineSrchBndDuration |
| ||||
TolConSQP | 내부 반복 SQP 제약 조건 위반에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 | ||||
Interior-Point 알고리즘 | |||||
BarrierParamUpdate |
이 옵션은 솔버의 속도와 수렴에 영향을 줄 수 있지만, 그 영향을 예측하기가 쉽지 않습니다. | ||||
EnableFeasibilityMode |
실현가능성 모드는 일반적으로 | ||||
HessianApproximation |
참고
| ||||
HessianFcn |
| ||||
HessianMultiplyFcn | 헤세 행렬과 벡터의 곱을 제공하는 사용자 제공 함수입니다(헤세 행렬의 곱셈 함수 참조). 함수 핸들을 전달합니다. 참고
| ||||
HonorBounds | 디폴트 값
| ||||
InitBarrierParam | 초기 장벽 값으로, 양의 스칼라입니다. 경우에 따라 디폴트 값 | ||||
InitTrustRegionRadius | 신뢰 영역의 초기 반지름으로, 양의 스칼라입니다. 준특이 행렬(badly scaled) 문제에서는 디폴트 값 보다 작은 값을 선택하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 여기서 n은 변수의 개수입니다. | ||||
MaxProjCGIter | 투영된 켤레 기울기 반복 횟수에 대한 허용오차(중지 기준)로, 이는 알고리즘의 반복 횟수가 아니라 내부 반복 횟수입니다. 이 양의 정수의 디폴트 값은 | ||||
ObjectiveLimit | 허용오차(중지 기준)로, 스칼라입니다. 목적 함수 값이 | ||||
ScaleProblem |
| ||||
SubproblemAlgorithm | 반복 스텝이 계산되는 방식을 결정합니다. 디폴트 값
| ||||
TolProjCG | 투영된 켤레 기울기 알고리즘에 대한 상대 허용오차(중지 기준)로, 이는 알고리즘 반복이 아니라 내부 반복에 대한 것입니다. 이 양의 스칼라의 디폴트 값은 | ||||
TolProjCGAbs | 투영된 켤레 기울기 알고리즘에 대한 절대 허용오차(중지 기준)로, 이는 알고리즘 반복이 아니라 내부 반복에 대한 것입니다. 이 양의 스칼라의 디폴트 값은 | ||||
SQP 알고리즘과 SQP Legacy 알고리즘 | |||||
ObjectiveLimit | 허용오차(중지 기준)로, 스칼라입니다. 목적 함수 값이 | ||||
ScaleProblem |
| ||||
단정밀도 코드 생성 | |||||
Algorithm |
| ||||
ConstraintTolerance | 제약 조건 위반에 대한 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은 | ||||
FiniteDifferenceStepSize | 유한 차분에 대한 스칼라 또는 벡터 스텝 크기 인자입니다.
sign′(x) = sign(x) 입니다(단, sign′(0) = 1 임). 중심 유한 차분은 다음과 같습니다.
FiniteDifferenceStepSize 는 벡터로 확장됩니다. 디폴트 값은 전향 유한 차분의 경우 sqrt(eps('single')) 이고 중심 유한 차분의 경우 eps('single')^(1/3) 입니다. | ||||
FiniteDifferenceType | 기울기를 추정하는 데 사용되는 유한 차분으로,
| ||||
MaxFunctionEvaluations | 허용되는 함수 실행의 최대 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은 | ||||
MaxIterations | 허용되는 최대 반복 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은 | ||||
ObjectiveLimit | 허용오차(중지 기준)로, 스칼라입니다. 목적 함수 값이 | ||||
OptimalityTolerance | 1차 최적성에 대한 종료 허용오차(음이 아닌 스칼라)입니다. 디폴트 값은 | ||||
ScaleProblem |
| ||||
SpecifyConstraintGradient | 사용자가 정의하는 비선형 제약 조건 함수의 기울기입니다. 디폴트 값 | ||||
SpecifyObjectiveGradient | 사용자가 정의하는 목적 함수의 기울기입니다. | ||||
StepTolerance |
| ||||
TypicalX | 일반적인 |
예: options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true)
problem
— 문제 구조체
구조체
문제 구조체로, 다음 필드를 가진 구조체로 지정됩니다.
필드 이름 | 항목 |
---|---|
| 목적 함수 |
| x 의 초기점 |
| 선형 부등식 제약 조건에 대한 행렬 |
| 선형 부등식 제약 조건에 대한 벡터 |
| 선형 등식 제약 조건에 대한 행렬 |
| 선형 등식 제약 조건에 대한 벡터 |
lb | 하한으로 구성된 벡터 |
ub | 상한으로 구성된 벡터 |
| 비선형 제약 조건 함수 |
| 'fmincon' |
| optimoptions 로 생성되는 옵션 |
problem
구조체에 적어도 objective
, x0
, solver
, options
필드는 반드시 제공해야 합니다.
데이터형: struct
출력 인수
x
— 해(Solution)
실수형 벡터 | 실수형 배열
해로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 반환됩니다. x
의 크기는 x0
의 크기와 같습니다. 일반적으로 x
는 exitflag
가 양수인 경우 문제에 대한 국소해입니다. 해의 품질에 대한 자세한 내용은 솔버가 성공한 경우 항목을 참조하십시오.
fval
— 해에서 계산된 목적 함수 값
실수
해에서 계산된 목적 함수 값으로, 실수로 반환됩니다. 일반적으로 fval
= fun(x)
입니다.
exitflag
— fmincon
가 중지된 이유
정수
fmincon
가 중지된 이유로, 정수로 반환됩니다.
모든 알고리즘: | |
| 1차 최적성 측정값이 |
| 반복 횟수가 |
| 출력 함수나 플롯 함수에 의해 중지되었습니다. |
| 실현가능점을 찾을 수 없습니다. |
| |
|
|
| |
| 목적 함수 값의 변화량이 |
| |
| 탐색 방향의 크기가 2* |
| 탐색 방향에서 방향 도함수의 크기가 2* |
| |
| 현재 반복에서 목적 함수가 |
output
— 최적화 과정에 대한 정보
구조체
최적화 과정에 대한 정보로, 다음 필드를 가진 구조체로 반환됩니다.
iterations | 수행된 반복 횟수 |
funcCount | 함수 실행 횟수 |
lssteplength | 탐색 방향을 기준으로 한 직선 탐색 스텝의 크기( |
constrviolation | 제약 조건 함수의 최댓값 |
stepsize |
|
algorithm | 사용된 최적화 알고리즘 |
cgiterations | 총 PCG 반복 횟수( |
firstorderopt | 1차 최적성에 대한 측정값 |
bestfeasible | 최상의(가장 낮은 목적 함수) 실현가능점을 발견했습니다. 다음 필드를 포함한 구조체:
실현가능점을 찾지 못한 경우
|
message | 종료 메시지 |
grad
— 해에서의 기울기
실수형 벡터
해에서의 기울기로, 실수 벡터로 반환됩니다. grad
는 점 x(:)
에서 fun
의 기울기를 제공합니다.
hessian
— 근사 헤세 행렬
실수 행렬
근사 헤세 행렬로, 실수 행렬로 반환됩니다. hessian
의 의미는 헤세 행렬 출력값 항목을 참조하십시오.
제한 사항
fmincon
은 목적 함수와 제약 조건 함수가 모두 연속이고 연속 1계 도함수를 갖는 문제에 동작하도록 설계된 기울기 기반 방법입니다.'trust-region-reflective'
알고리즘을 사용하는 경우fun
에 기울기를 제공하고'SpecifyObjectiveGradient'
옵션을true
로 설정해야 합니다.'trust-region-reflective'
알고리즘은 서로 동일한 상한과 하한을 허용하지 않습니다. 예를 들어,lb(2)==ub(2)
이면fmincon
은 다음 오류를 표시합니다.Equal upper and lower bounds not permitted in trust-region-reflective algorithm. Use either interior-point or SQP algorithms instead.
헤세 행렬과
HessianMultiplyFcn
함수를 전달하는 구문은 각각 두 개씩 있습니다. 하나는trust-region-reflective
에 대한 것이고, 다른 하나는interior-point
에 대한 것입니다. 헤세 행렬 포함시키기 항목을 참조하십시오.trust-region-reflective
의 경우, 라그랑주의 헤세 행렬이 목적 함수의 헤세 행렬과 같습니다. 이 헤세 행렬은 목적 함수의 세 번째 출력값으로 전달해야 합니다.interior-point
의 경우, 라그랑주의 헤세 행렬에 비선형 제약 조건 함수의 헤세 행렬과 라그랑주 승수가 포함됩니다. 헤세 행렬은 현재 점x
와 라그랑주 승수 구조체lambda
모두를 고려하는 개별 함수로 전달해야 합니다.
문제가 실현 가능하지 않을 경우,
fmincon
은 최대 제약 조건 값을 최소화하려고 시도합니다.
세부 정보
입력값 헤세 행렬
fmincon
은 헤세 행렬을 선택적인 입력값으로 사용합니다. 이 헤세 행렬은 라그랑주의 2계 도함수로 구성된 행렬(수식 1 참조), 즉 다음과 같습니다.
(3) |
헤세 행렬을 trust-region-reflective
알고리즘 또는 interior-point
알고리즘에 제공하는 방법에 대한 자세한 내용은 헤세 행렬 포함시키기 항목을 참조하십시오.
active-set
알고리즘과 sqp
알고리즘은 입력값 헤세 행렬을 받지 않습니다. 이 알고리즘은 라그랑주의 헤세 행렬에 대한 준뉴턴 근삿값을 계산합니다.
interior-point
알고리즘에는 다음과 같이 'HessianApproximation'
옵션에 대해 선택할 수 있는 값이 여러 개 있습니다(fmincon의 interior-point에 대한 입력값으로 헤세 행렬 근삿값 선택하기 참조).
'bfgs'
—fmincon
은 조밀한 준뉴턴 근사로 헤세 행렬을 계산합니다. 이는 디폴트 헤세 행렬 근사입니다.'lbfgs'
—fmincon
은 기억 용량을 제한한 대규모 준뉴턴 근사로 헤세 행렬을 계산합니다. 기억할 수 있는 반복 횟수의 디폴트 값은 10회입니다.{'lbfgs',positive integer}
—fmincon
은 기억 용량을 제한한 대규모 준뉴턴 근사로 헤세 행렬을 계산합니다. 양의 정수는 얼마나 많은 이전 반복이 기억되어야 하는지를 지정합니다.'finite-difference'
—fmincon
은 기울기의 유한 차분으로 헤세 행렬과 벡터의 곱을 계산합니다. 목적 함수의 기울기는 물론, 비선형 제약 조건의 기울기(존재하는 경우)도 제공해야 합니다.'SpecifyObjectiveGradient'
옵션을true
로 설정하고, 해당하는 경우'SpecifyConstraintGradient'
옵션을true
로 설정하십시오.'SubproblemAlgorithm'
은'cg'
로 설정해야 합니다.
헤세 행렬의 곱셈 함수
interior-point
알고리즘과 trust-region-reflective
알고리즘을 사용하면 헤세 행렬의 곱셈 함수를 제공할 수 있습니다. 이 함수는 헤세 행렬을 직접 계산하지 않고 헤세 행렬과 벡터의 곱에 대한 결과를 구해줍니다. 따라서 메모리를 절약할 수 있습니다. 자세한 내용은 헤세 행렬의 곱셈 함수 항목을 참조하십시오.
알고리즘
알고리즘 선택하기
알고리즘을 선택하는 데 도움을 받으려면 fmincon 알고리즘 항목을 참조하십시오. 알고리즘을 설정하려면 optimoptions
를 사용하여 options
를 만들고 'Algorithm'
이름-값 쌍을 사용하십시오.
이 섹션의 나머지 부분에서는 각 알고리즘에 대한 정보를 가리키는 포인터 또는 간단한 개요를 제공합니다.
Interior-Point 최적화
이 알고리즘은 fmincon의 Interior Point 알고리즘에 설명되어 있습니다. [1], [41], [9]에 더 자세한 설명이 나와 있습니다.
SQP 및 SQP-Legacy 최적화
fmincon
의 'sqp'
알고리즘과 'sqp-legacy'
알고리즘은 Active-Set 최적화에 설명되어 있는 'active-set'
알고리즘과 유사합니다. 주요 차이점에 대한 설명은 fmincon의 SQP 알고리즘에 나와 있습니다. 이러한 차이점을 요약하자면 다음과 같습니다.
Active-Set 최적화
fmincon
은 순차적 2차 계획법(SQP) 방법을 사용합니다. 이 방법에서, 함수는 각 반복마다 2차 계획법(QP) 하위 문제를 풉니다. fmincon
은 BFGS 식을 사용하여 각 반복마다 라그랑주의 헤세 행렬에 대한 추정값을 업데이트합니다(fminunc
와 참고 문헌 [7] 및 [8] 참조).
fmincon
은 [6], [7], [8]에서 제안된 것과 유사한 이득 함수를 사용하여 직선 탐색을 수행합니다. QP 하위 문제는 [5]에 설명된 것과 유사한 활성 세트 전략을 사용하여 풉니다. 이 알고리즘에 대한 자세한 설명은 fmincon의 Active-Set 알고리즘에 나와 있습니다.
사용되는 알고리즘에 대한 자세한 내용을 보려면 SQP 구현도 참조하십시오.
Trust-Region-Reflective 최적화
'trust-region-reflective'
알고리즘은 부분공간 trust-region 방법이며 interior-reflective 뉴턴 방법([3] 및 [4]에 설명되어 있음)을 기반으로 합니다. 각 반복에는 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 방법을 사용한 대규모 선형 시스템의 근사해 풀이 작업이 포함됩니다. trust-region 방법과 선조건 적용 켤레 기울기 방법에 대한 설명은 fmincon의 Trust Region Reflective 알고리즘에서 확인할 수 있습니다.
대체 기능
앱
최적화 라이브 편집기 작업은 fmincon
에 대한 시각적 인터페이스를 제공합니다.
참고 문헌
[1] Byrd, R. H., J. C. Gilbert, and J. Nocedal. “A Trust Region Method Based on Interior Point Techniques for Nonlinear Programming.” Mathematical Programming, Vol 89, No. 1, 2000, pp. 149–185.
[2] Byrd, R. H., Mary E. Hribar, and Jorge Nocedal. “An Interior Point Algorithm for Large-Scale Nonlinear Programming.” SIAM Journal on Optimization, Vol 9, No. 4, 1999, pp. 877–900.
[3] Coleman, T. F. and Y. Li. “An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, 1996, pp. 418–445.
[4] Coleman, T. F. and Y. Li. “On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, 1994, pp. 189–224.
[5] Gill, P. E., W. Murray, and M. H. Wright. Practical Optimization, London, Academic Press, 1981.
[6] Han, S. P. “A Globally Convergent Method for Nonlinear Programming.” Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 22, 1977, pp. 297.
[7] Powell, M. J. D. “A Fast Algorithm for Nonlinearly Constrained Optimization Calculations.” Numerical Analysis, ed. G. A. Watson, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Vol. 630, 1978.
[8] Powell, M. J. D. “The Convergence of Variable Metric Methods For Nonlinearly Constrained Optimization Calculations.” Nonlinear Programming 3 (O. L. Mangasarian, R. R. Meyer, and S. M. Robinson, eds.), Academic Press, 1978.
[9] Waltz, R. A., J. L. Morales, J. Nocedal, and D. Orban. “An interior algorithm for nonlinear optimization that combines line search and trust region steps.” Mathematical Programming, Vol 107, No. 3, 2006, pp. 391–408.
확장 기능
C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.
사용법 관련 참고 및 제한 사항:
fmincon
은codegen
(MATLAB Coder) 함수 또는 MATLAB Coder™ 앱을 사용한 코드 생성을 지원합니다. 코드를 생성하려면 MATLAB Coder 라이선스가 있어야 합니다.타깃 하드웨어는 표준 배정밀도 부동소수점 계산 또는 표준 단정밀도 부동소수점 계산을 지원해야 합니다.
코드 생성 대상은 MATLAB 솔버와 동일한 수학 커널 라이브러리를 사용하지 않습니다. 따라서 특히 조건이 나쁜 문제인 경우에 코드 생성의 해가 솔버의 해와 다를 수 있습니다.
생성을 위한 모든 코드는 MATLAB 코드여야 합니다. 구체적으로, 사용자 지정 블랙박스 함수는
fmincon
에 대한 목적 함수로 사용할 수 없습니다. C 또는 C++에서 코딩된 사용자 지정 함수는coder.ceval
을 사용하여 실행할 수 있습니다. 단, 사용자 지정 함수를 MATLAB 함수 내부에서 호출해야 합니다.fmincon
은 코드 생성 시problem
인수를 지원하지 않습니다.[x,fval] = fmincon(problem) % Not supported
목적 함수와 비선형 제약 조건이 있는 함수를 지정할 때는 문자열이나 문자 이름이 아니라 함수 핸들을 사용해야 합니다.
x = fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlcon) % Supported % Not supported: fmincon('fun',...) or fmincon("fun",...)
A
,Aeq
,lb
,ub
같은fmincon
입력 행렬은 모두 희소 행렬이 아니라 비희소 행렬이어야 합니다.full
함수를 사용하여 희소 행렬을 비희소 행렬로 변환할 수 있습니다.lb
인수와ub
인수는x0
인수와 동일한 개수의 요소를 가지거나 비어 있어야 합니다([]
).타깃 하드웨어가 무한 범위를 지원하지 않는 경우
optim.coder.infbound
를 사용하십시오.임베디드 프로세서가 사용되는 고급 코드 최적화의 경우에는 Embedded Coder® 라이선스도 필요합니다.
fmincon
에 대한 옵션을 포함하고optimoptions
를 사용하여 옵션을 지정해야 합니다. 옵션에는'sqp'
또는'sqp-legacy'
로 설정된Algorithm
옵션이 포함되어야 합니다.options = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp'); [x,fval,exitflag] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);
코드 생성에 지원되는 옵션은 다음과 같습니다.
Algorithm
—'sqp'
또는'sqp-legacy'
여야 함ConstraintTolerance
FiniteDifferenceStepSize
FiniteDifferenceType
MaxFunctionEvaluations
MaxIterations
ObjectiveLimit
OptimalityTolerance
ScaleProblem
SpecifyConstraintGradient
SpecifyObjectiveGradient
StepTolerance
TypicalX
생성된 코드는 옵션에 대해 제한적인 오류 검사를 수행합니다. 옵션을 업데이트할 때 권장하는 방법은 점 표기법이 아니라
optimoptions
를 사용하는 것입니다.opts = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp'); opts = optimoptions(opts,'MaxIterations',1e4); % Recommended opts.MaxIterations = 1e4; % Not recommended
파일에서 옵션을 불러오지 마십시오. 파일에서 불러오면 코드 생성이 실패할 수 있습니다. 대신 코드에서 옵션을 만드십시오.
일반적으로, 지원되지 않는 옵션을 지정하면 코드 생성 시에 해당 옵션이 별다른 표시 없이 무시됩니다. 그러나 점 표기법을 사용하여 플롯 함수 또는 출력 함수를 지정하면 코드 생성에서 오류가 발생할 수 있습니다. 안정적인 코드 생성을 위해 지원되는 옵션만 지정하십시오.
출력 함수와 플롯 함수는 지원되지 않으므로
fmincon
은 종료 플래그 –1을 반환하지 않습니다.fmincon
에서 생성된 코드에는 반환된output
구조체에bestfeasible
필드가 포함되지 않습니다.
예제는 Code Generation for Optimization Basics 항목을 참조하십시오.
자동 병렬 지원
Parallel Computing Toolbox™를 사용해 자동 병렬 계산을 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.
병렬로 실행하려면 'UseParallel'
옵션을 true
로 설정하십시오.
options = optimoptions('
solvername
','UseParallel',true)
자세한 내용은 Using Parallel Computing in Optimization Toolbox 항목을 참조하십시오.
버전 내역
R2006a 이전에 개발됨R2024a: 단정밀도 코드 생성
단정밀도 부동소수점 하드웨어에서의 fmincon
를 위한 코드를 생성할 수 있습니다. 지침은 단정밀도 코드 생성 항목을 참조하십시오.
R2023b: CheckGradients
옵션은 제거될 예정임
CheckGradients
옵션은 향후 릴리스에서 제거될 예정입니다. 목적 함수 또는 비선형 제약 조건 함수의 1계 도함수를 검사하려면 checkGradients
함수를 사용하십시오.
참고 항목
fminbnd
| fminsearch
| fminunc
| optimoptions
| 최적화
MATLAB 명령
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명령을 실행하려면 MATLAB 명령 창에 입력하십시오. 웹 브라우저는 MATLAB 명령을 지원하지 않습니다.
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