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fminunc
비제약 조건 다변수 함수의 최솟값 구하기
구문
설명
은 점 x
= fminunc(fun
,x0
)x0
에서 시작하여 fun
에 정의된 함수의 국소 최솟값 x
를 구하려고 시도합니다. 점 x0
은 스칼라, 벡터 또는 행렬일 수 있습니다.
참고
추가 파라미터 전달하기에는 필요한 경우 추가 파라미터를 목적 함수와 비선형 제약 조건 함수에 전달하는 방법이 설명되어 있습니다.
fminunc
는 제약 조건이 없는 비선형 문제에 사용할 수 있습니다. 문제에 제약 조건이 있는 경우, 일반적으로 fmincon
을 사용하십시오. 최적화 의사 결정표 항목을 참조하십시오.
는 x
= fminunc(fun
,x0
,options
)options
에 지정된 최적화 옵션을 사용하여 fun
을 최소화합니다. 이 옵션을 설정하려면 optimoptions
를 사용하십시오.
예제
다항식 최소화하기
함수 를 최소화합니다.
이를 위해 목적 함수를 계산하는 익명 함수 fun
을 작성합니다.
fun = @(x)3*x(1)^2 + 2*x(1)*x(2) + x(2)^2 - 4*x(1) + 5*x(2);
fminunc
를 호출하여 [1,1]
근방에서 fun
의 최솟값을 구합니다.
x0 = [1,1]; [x,fval] = fminunc(fun,x0)
Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
x = 1×2
2.2500 -4.7500
fval = -16.3750
기울기 제공하기
fminunc
는 사용자가 도함수를 제공하는 경우 더 빠르고 더 안정적일 수 있습니다.
기울기는 물론, 함수 값도 반환하는 목적 함수를 작성합니다. 기울기와 헤세 행렬 포함시키기에 설명되어 있는 조건화된 형식을 사용합니다. 목적 함수는 다음과 같은 로젠브록 함수(Rosenbrock Function)이며,
기울기는 다음과 같습니다.
.
기울기가 있는 목적 함수의 코드는 이 예제의 마지막 부분에 나와 있습니다.
목적 함수의 기울기를 사용하도록 옵션을 만듭니다. 또한, 알고리즘을 'trust-region'
으로 설정합니다.
options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','SpecifyObjectiveGradient',true);
초기점을 [-1,2
]로 설정합니다. 그런 다음, fminunc
를 호출합니다.
x0 = [-1,2]; fun = @rosenbrockwithgrad; x = fminunc(fun,x0,options)
Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
x = 1×2
1.0000 1.0000
다음 코드는 기울기를 두 번째 출력값으로 포함하는 rosenbrockwithgrad
함수를 생성합니다.
function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x) % Calculate objective f f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; if nargout > 1 % gradient required g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1) - 2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)]; end end
문제 구조체 사용하기
개별 인수 대신 문제 구조체를 사용하여 기울기 제공하기에 나와 있는 것과 동일한 문제를 풉니다.
기울기는 물론, 함수 값도 반환하는 목적 함수를 작성합니다. 기울기와 헤세 행렬 포함시키기에 설명되어 있는 조건화된 형식을 사용합니다. 목적 함수는 다음과 같은 로젠브록 함수(Rosenbrock Function)이며,
,
기울기는 다음과 같습니다.
.
기울기가 있는 목적 함수의 코드는 이 예제의 마지막 부분에 나와 있습니다.
목적 함수의 기울기를 사용하도록 옵션을 만듭니다. 또한, 알고리즘을 'trust-region'
으로 설정합니다.
options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','SpecifyObjectiveGradient',true);
초기점 x0 = [-1,2]
를 포함하는 문제 구조체를 만듭니다. 이 구조체의 필수 필드는 problem 항목을 참조하십시오.
problem.options = options;
problem.x0 = [-1,2];
problem.objective = @rosenbrockwithgrad;
problem.solver = 'fminunc';
문제를 풉니다.
x = fminunc(problem)
Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
x = 1×2
1.0000 1.0000
다음 코드는 기울기를 두 번째 출력값으로 포함하는 rosenbrockwithgrad
함수를 생성합니다.
function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x) % Calculate objective f f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; if nargout > 1 % gradient required g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)]; end end
목적 함수 최적 값 구하기
비선형 함수가 최소가 되는 위치와 그 위치에서의 함수 값을 모두 구합니다. 목적 함수는 다음과 같습니다.
.
fun = @(x)x(1)*exp(-(x(1)^2 + x(2)^2)) + (x(1)^2 + x(2)^2)/20;
x0 = [1,2]
에서 시작하여 최소점의 위치와 목적 함수 값을 구합니다.
x0 = [1,2]; [x,fval] = fminunc(fun,x0)
Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
x = 1×2
-0.6691 0.0000
fval = -0.4052
풀이 과정 검토하기
풀이 과정을 검토하려면 fminunc
옵션과 출력값을 선택해야 합니다.
반복 과정을 표시하고 'quasi-newton'
알고리즘을 사용하도록 옵션을 설정합니다.
options = optimoptions(@fminunc,'Display','iter','Algorithm','quasi-newton');
목적 함수는 다음과 같습니다.
fun = @(x)x(1)*exp(-(x(1)^2 + x(2)^2)) + (x(1)^2 + x(2)^2)/20;
x0 = [1,2]
에서 최소화를 시작하고 해의 품질과 풀이 과정을 검토할 수 있는 출력값을 얻습니다.
x0 = [1,2]; [x,fval,exitflag,output] = fminunc(fun,x0,options)
First-order Iteration Func-count f(x) Step-size optimality 0 3 0.256738 0.173 1 6 0.222149 1 0.131 2 9 0.15717 1 0.158 3 18 -0.227902 0.438133 0.386 4 21 -0.299271 1 0.46 5 30 -0.404028 0.102071 0.0458 6 33 -0.404868 1 0.0296 7 36 -0.405236 1 0.00119 8 39 -0.405237 1 0.000252 9 42 -0.405237 1 7.97e-07 Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
x = 1×2
-0.6691 0.0000
fval = -0.4052
exitflag = 1
output = struct with fields:
iterations: 9
funcCount: 42
stepsize: 2.9343e-04
lssteplength: 1
firstorderopt: 7.9721e-07
algorithm: 'quasi-newton'
message: 'Local minimum found....'
종료 플래그
1
은 해가 국소 최적해임을 보여줍니다.output
구조체는 반복 횟수와 함수 실행 횟수, 그리고 기타 정보를 표시합니다.반복 횟수와 함수 실행 횟수도 반복 과정에 표시됩니다.
대규모 문제에 "lbfgs"
헤세 행렬 근사 사용하기
문제에 변수가 많은 경우 HessianApproximation
의 디폴트 값을 사용하면 fminunc
가 대용량의 메모리를 사용하고 느리게 실행될 수 있습니다. 메모리를 더 적게 사용하고 실행 속도를 높이려면 HessianApproximation="lbfgs"
를 지정하십시오.
예를 들어, 디폴트 파라미터를 사용하여 1e5개의 변수를 갖는 multirosenbrock
함수(아래 나열됨)를 최소화하려고 하면 fminunc
가 오류를 발생시킵니다.
N = 1e5; x0 = -2*ones(N,1); x0(2:2:N) = 2; [x,fval] = fminunc(@multirosenbrock,x0)
Error using eye Requested 100000x100000 (74.5GB) array exceeds maximum array size preference (63.9GB). This might cause MATLAB to become unresponsive. Error in optim.internal.fminunc.AbstractDenseHessianApproximation (line 21) this.Value = eye(nVars); Error in optim.internal.fminunc.BFGSHessianApproximation (line 14) this = this@optim.internal.fminunc.AbstractDenseHessianApproximation(nVars); Error in fminusub (line 73) HessApprox = optim.internal.fminunc.BFGSHessianApproximation(sizes.nVar); Error in fminunc (line 488) [x,FVAL,GRAD,HESSIAN,EXITFLAG,OUTPUT] = fminusub(funfcn,x, ...
이 문제를 풀려면 HessianApproximation
옵션을 "lbfgs"
로 설정하십시오. 풀이 속도를 높이려면 제공된 기울기를 사용하도록 옵션을 설정하십시오.
N = 1e5; x0 = -2*ones(N,1); x0(2:2:N) = 2; options = optimoptions("fminunc",HessianApproximation="lbfgs",... SpecifyObjectiveGradient=true); [x,fval] = fminunc(@multirosenbrock,x0,options);
Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
모든 i
에 대해 이론적인 해는 x(i) = 1
입니다. 반환된 해의 정확도를 확인합니다.
max(abs(x-1))
ans = 1.3795e-04
다음 코드는 multirosenbrock
함수를 생성합니다.
function [f,g] = multirosenbrock(x) % Get the problem size n = length(x); if n == 0, error('Input vector, x, is empty.'); end if mod(n,2) ~= 0 error('Input vector, x ,must have an even number of components.'); end % Evaluate the vector function odds = 1:2:n; evens = 2:2:n; F = zeros(n,1); F(odds,1) = 1-x(odds); F(evens,1) = 10.*(x(evens)-x(odds).^2); f = sum(F.^2); if nargout >= 2 % Calculate gradient g = zeros(n,1); g(evens) = 200*(x(evens)-x(odds).^2); g(odds) = -2*(1 - x(odds)) - 400*(x(evens)-x(odds).^2).*x(odds); end end
입력 인수
fun
— 최소화할 함수
함수 핸들 | 함수 이름
최소화할 함수로, 함수 핸들이나 함수 이름으로 지정됩니다. fun
은 벡터 또는 배열 x
를 받고 실수형 스칼라 f
를 반환하는 함수입니다. 즉, x
에서 계산되는 목적 함수입니다.
fminunc
함수는 x
를 x0
인수 형태로 목적 함수에 전달합니다. 예를 들어, x0
이 5×3 배열이면 fminunc
함수는 x
를 5×3 배열로 fun
에 전달합니다.
다음과 같이 fun
을 파일에 대한 함수 핸들로 지정합니다.
x = fminunc(@myfun,x0)
여기서 myfun
은 다음과 같은 MATLAB® 함수입니다.
function f = myfun(x) f = ... % Compute function value at x
다음과 같이 fun
을 익명 함수에 대한 함수 핸들로 지정할 수도 있습니다.
x = fminunc(@(x)norm(x)^2,x0);
fun
의 기울기를 계산할 수 있고 다음 설정처럼 SpecifyObjectiveGradient
옵션이 true
로 설정된 경우
options = optimoptions('fminunc','SpecifyObjectiveGradient',true)
fun
은 두 번째 출력 인수에 기울기 벡터 g(x)
를 반환해야 합니다.
헤세 행렬도 계산할 수 있고 options = optimoptions('fminunc','HessianFcn','objective')
를 통해 HessianFcn
옵션이 'objective'
로 설정되어 있고 Algorithm
옵션이 'trust-region'
으로 설정된 경우, fun
은 세 번째 출력 인수로 대칭 행렬인 헤세 행렬 값 H(x)
를 반환해야 합니다. fun
은 희소 헤세 행렬을 제공할 수 있습니다. 자세한 내용은 fminunc의 trust-region 알고리즘 또는 fmincon의 trust-region-reflective 알고리즘에 대한 헤세 행렬 항목을 참조하십시오.
trust-region
알고리즘에서는 사용자가 헤세 행렬의 곱셈 함수를 제공할 수 있습니다. 이 함수는 헤세 행렬을 직접 계산하지 않고 헤세 행렬과 벡터의 곱에 대한 결과를 제공합니다. 따라서 메모리를 절약할 수 있습니다. 헤세 행렬의 곱셈 함수 항목을 참조하십시오.
예: fun = @(x)sin(x(1))*cos(x(2))
데이터형: char
| function_handle
| string
x0
— 초기점
실수형 벡터 | 실수형 배열
초기점으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. 솔버는 x0
의 요소 개수와 x0
의 크기를 사용하여 fun
이 받는 변수의 개수와 크기를 확인합니다.
예: x0 = [1,2,3,4]
데이터형: double
options
— 최적화 옵션
optimoptions
의 출력값 | optimset
등이 반환하는 구조체
최적화 옵션으로, optimoptions
의 출력값 또는 optimset
등이 반환하는 구조체로 지정됩니다.
옵션에 따라 모든 알고리즘에 적용되는 옵션이 있고 특정 알고리즘에만 유효한 옵션이 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 참조 항목을 참조하십시오.
일부 옵션은 optimoptions
표시에 나타나지 않습니다. 이러한 옵션은 다음 표에서 기울임꼴로 표시되어 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 보기 항목을 참조하십시오.
모든 알고리즘 | |
|
|
CheckGradients | 사용자 제공 도함수(목적 함수의 기울기)를 유한 차분 도함수와 비교합니다.
|
Diagnostics | 최소화하거나 풀려는 함수에 대한 진단 정보를 표시합니다. |
DiffMaxChange | 유한 차분 기울기에 대한 변수의 최대 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 |
DiffMinChange | 유한 차분 기울기에 대한 변수의 최소 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 |
Display | 표시 수준입니다(반복 과정 표시 참조):
|
FiniteDifferenceStepSize | 유한 차분에 대한 스칼라 또는 벡터 스텝 크기 인자입니다.
sign′(x) = sign(x) 입니다(단, sign′(0) = 1 임). 중심 유한 차분은 다음과 같습니다.
FiniteDifferenceStepSize 는 벡터로 확장됩니다. 디폴트 값은 전향 유한 차분의 경우 sqrt(eps) 이고 중심 유한 차분의 경우 eps^(1/3) 입니다. trust-region 알고리즘은
|
FiniteDifferenceType | 기울기를 추정하는 데 사용되는 유한 차분으로,
|
FunValCheck | 목적 함수 값이 유효한지 여부를 확인합니다. 디폴트 설정 |
MaxFunctionEvaluations | 허용되는 함수 실행의 최대 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은
|
MaxIterations | 허용되는 최대 반복 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은
|
OptimalityTolerance | 1차 최적성에 대한 종료 허용오차(음이 아닌 스칼라)입니다. 디폴트 값은
|
OutputFcn | 각 반복마다 최적화 함수가 호출하는 하나 이상의 사용자 정의 함수를 지정합니다. 함수 핸들 또는 함수 핸들 셀형 배열을 전달합니다. 디폴트 값은 없음( |
PlotFcn | 알고리즘이 실행되는 동안 다양한 진행률 측정값을 플로팅합니다. 미리 정의된 플롯에서 선택하거나 사용자가 직접 작성할 수 있습니다. 내장 플롯 함수 이름, 함수 핸들 또는 내장 플롯 함수 이름이나 함수 핸들로 구성된 셀형 배열을 전달하십시오. 사용자 지정 플롯 함수의 경우, 함수 핸들을 전달하십시오. 디폴트 값은 없음(
사용자 지정 플롯 함수는 출력 함수와 동일한 구문을 사용합니다. Optimization Toolbox의 출력 함수 항목과 Output Function and Plot Function Syntax 항목을 참조하십시오.
|
SpecifyObjectiveGradient | 사용자가 정의하는 목적 함수의 기울기입니다.
|
StepTolerance |
|
TypicalX | 일반적인
|
trust-region 알고리즘 | |
FunctionTolerance | 함수 값에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은
|
HessianFcn |
|
HessianMultiplyFcn | 헤세 행렬의 곱셈 함수로, 함수 핸들로 지정됩니다. 특정 구조를 가진 대규모 문제의 경우, 이 함수는 W = hmfun(Hinfo,Y) 여기서 첫 번째 인수는 목적 함수 [f,g,Hinfo] = fun(x)
참고
예제는 Minimization with Dense Structured Hessian, Linear Equalities 항목을 참조하십시오.
|
HessPattern | 유한 차분에 대한 헤세 행렬의 희소성 패턴입니다. ∂2
구조를 알 수 없는 경우 |
MaxPCGIter | 최대 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 반복 횟수로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 |
PrecondBandWidth | PCG에 대한 선조건자의 상부 대역폭으로, 음이 아닌 정수입니다. 기본적으로, |
SubproblemAlgorithm | 반복 스텝이 계산되는 방식을 결정합니다. 디폴트 값 |
TolPCG | PCG 반복에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 |
quasi-newton 알고리즘 | |
HessianApproximation |
설정
참고 일반적으로, |
ObjectiveLimit | 허용오차(중지 기준)로, 스칼라입니다. 반복에서 계산된 목적 함수 값이 |
UseParallel |
|
예: options = optimoptions('fminunc','SpecifyObjectiveGradient',true)
problem
— 문제 구조체
구조체
문제 구조체로, 다음 필드를 가진 구조체로 지정됩니다.
필드 이름 | 항목 |
---|---|
| 목적 함수 |
| x 의 초기점 |
| 'fminunc' |
| optimoptions 로 생성되는 옵션 |
데이터형: struct
출력 인수
x
— 해(Solution)
실수형 벡터 | 실수형 배열
해로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 반환됩니다. x
의 크기는 x0
의 크기와 같습니다. 일반적으로 x
는 exitflag
가 양수인 경우 문제에 대한 국소해입니다. 해의 품질에 대한 자세한 내용은 솔버가 성공한 경우 항목을 참조하십시오.
fval
— 해에서 계산된 목적 함수 값
실수
해에서 계산된 목적 함수 값으로, 실수로 반환됩니다. 일반적으로 fval
= fun(x)
입니다.
exitflag
— fminunc
가 중지된 이유
정수
fminunc
가 중지된 이유로, 정수로 반환됩니다.
| 기울기 크기가 |
|
|
| 목적 함수 값의 변화량이 |
| 목적 함수의 예측된 감소량이 |
| 반복 횟수가 |
| 출력 함수에 의해 알고리즘이 종료되었습니다. |
| 현재 반복에서 목적 함수가 |
output
— 최적화 과정에 대한 정보
구조체
최적화 과정에 대한 정보로, 다음 필드를 가진 구조체로 반환됩니다.
iterations | 수행된 반복 횟수 |
funcCount | 함수 실행 횟수 |
firstorderopt | 1차 최적성에 대한 측정값 |
algorithm | 사용된 최적화 알고리즘 |
cgiterations | 총 PCG 반복 횟수( |
lssteplength | 탐색 방향을 기준으로 한 직선 탐색 스텝의 크기( |
stepsize |
|
message | 종료 메시지 |
grad
— 해에서의 기울기
실수형 벡터
해에서의 기울기로, 실수 벡터로 반환됩니다. grad
는 점 x(:)
에서 fun
의 기울기를 제공합니다.
hessian
— 근사 헤세 행렬
실수 행렬
근사 헤세 행렬로, 실수 행렬로 반환됩니다. hessian
의 의미는 헤세 행렬 출력값 항목을 참조하십시오.
HessianApproximation
옵션이 "lbfgs"
또는 {"lbfgs" n}
인 경우 반환되는 hessian
은 []
입니다.
데이터형: double
알고리즘
Quasi-Newton 알고리즘
기본적으로 quasi-newton
알고리즘은 3차 직선 탐색 절차와 함께 BFGS 준뉴턴(Quasi-Newton) 방법을 사용합니다. 이 준뉴턴 방법은 헤세 행렬의 근삿값을 업데이트하는 데 BFGS([1],[5],[8], [9]) 식을 사용합니다. HessianApproximation
옵션으로 low-memory BFGS 알고리즘("lbfgs"
)을 지정할 수도 있습니다. 권장되지는 않지만, 이 옵션을 'dfp'
로 설정하여 역헤세 행렬의 근사를 구하는 DFP([4], [6], [7]) 식을 지정할 수 있습니다. 이 옵션을 'steepdesc'
로 설정하여 최속강하법을 지정할 수 있습니다. 하지만 이 설정은 일반적으로 비효율적입니다. fminunc의 quasi-newton 알고리즘 항목을 참조하십시오.
신뢰 영역 알고리즘
trust-region
알고리즘을 사용하는 경우 fun
에 기울기를 제공하고 optimoptions
를 사용하여 SpecifyObjectiveGradient
를 true
로 설정해야 합니다. 이 알고리즘은 부분공간 trust-region 방법이며 interior-reflective 뉴턴 방법([2] 및 [3]에 설명되어 있음)을 기반으로 합니다. 각 반복에는 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 방법을 사용한 대규모 선형 시스템의 근사해 풀이 작업이 포함됩니다. fminunc의 trust-region 알고리즘, 비선형 최소화를 위한 Trust-Region 방법, 선조건 적용 켤레 기울기법(Preconditioned Conjugate Gradient Method) 항목을 참조하십시오.
대체 기능
앱
최적화 라이브 편집기 작업은 fminunc
에 대한 시각적 인터페이스를 제공합니다.
참고 문헌
[1] Broyden, C. G. “The Convergence of a Class of Double-Rank Minimization Algorithms.” Journal Inst. Math. Applic., Vol. 6, 1970, pp. 76–90.
[2] Coleman, T. F. and Y. Li. “An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, 1996, pp. 418–445.
[3] Coleman, T. F. and Y. Li. “On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, 1994, pp. 189–224.
[4] Davidon, W. C. “Variable Metric Method for Minimization.” A.E.C. Research and Development Report, ANL-5990, 1959.
[5] Fletcher, R. “A New Approach to Variable Metric Algorithms.” Computer Journal, Vol. 13, 1970, pp. 317–322.
[6] Fletcher, R. “Practical Methods of Optimization.” Vol. 1, Unconstrained Optimization, John Wiley and Sons, 1980.
[7] Fletcher, R. and M. J. D. Powell. “A Rapidly Convergent Descent Method for Minimization.” Computer Journal, Vol. 6, 1963, pp. 163–168.
[8] Goldfarb, D. “A Family of Variable Metric Updates Derived by Variational Means.” Mathematics of Computing, Vol. 24, 1970, pp. 23–26.
[9] Shanno, D. F. “Conditioning of Quasi-Newton Methods for Function Minimization.” Mathematics of Computing, Vol. 24, 1970, pp. 647–656.
확장 기능
자동 병렬 지원
Parallel Computing Toolbox™를 사용해 자동 병렬 계산을 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.
병렬로 실행하려면 'UseParallel'
옵션을 true
로 설정하십시오.
options = optimoptions('
solvername
','UseParallel',true)
자세한 내용은 Using Parallel Computing in Optimization Toolbox 항목을 참조하십시오.
버전 내역
R2006a 이전에 개발됨R2023b: CheckGradients
옵션은 제거될 예정임
CheckGradients
옵션은 향후 릴리스에서 제거될 예정입니다. 목적 함수 또는 비선형 제약 조건 함수의 1계 도함수를 검사하려면 checkGradients
함수를 사용하십시오.
MATLAB 명령
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명령을 실행하려면 MATLAB 명령 창에 입력하십시오. 웹 브라우저는 MATLAB 명령을 지원하지 않습니다.
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