fminunc

비제약 조건 다변수 함수의 최솟값 구하기

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구문

x = fminunc(fun,x0)

x = fminunc(fun,x0,options)

x = fminunc(problem)

[x,fval] = fminunc(___)

[x,fval,exitflag,output] = fminunc(___)

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(___)

설명

비선형 계획법 솔버입니다.

다음으로 지정된 문제의 최솟값을 구합니다.

$\min_{x} f (x)$

여기서 f(x)는 스칼라를 반환하는 함수입니다.

x는 벡터 또는 행렬입니다. 행렬 인수 항목을 참조하십시오.

x = fminunc(fun,x0)은 점 x0에서 시작하여 fun에 정의된 함수의 국소 최솟값 x를 구하려고 시도합니다. 점 x0은 스칼라, 벡터 또는 행렬일 수 있습니다.

참고

추가 파라미터 전달하기에는 필요한 경우 추가 파라미터를 목적 함수와 비선형 제약 조건 함수에 전달하는 방법이 설명되어 있습니다.

fminunc는 제약 조건이 없는 비선형 문제에 사용할 수 있습니다. 문제에 제약 조건이 있는 경우, 일반적으로 fmincon을 사용하십시오. 최적화 의사 결정표 항목을 참조하십시오.

예제

x = fminunc(fun,x0,options)는 options에 지정된 최적화 옵션을 사용하여 fun을 최소화합니다. 이 옵션을 설정하려면 optimoptions를 사용하십시오.

예제

x = fminunc(problem)은 problem에 설명되어 있는 구조체인 problem의 최솟값을 구합니다.

예제

[x,fval] = fminunc(___)는 모든 구문에서 해 x에서의 목적 함수 fun의 값을 반환합니다.

예제

[x,fval,exitflag,output] = fminunc(___)는 fminunc의 종료 상황을 설명하는 값 exitflag와 최적화 과정에 대한 정보가 포함된 구조체 output을 추가로 반환합니다.

예제

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(___)는 추가로 다음을 반환합니다.

grad — 해 x에서의 fun의 기울기입니다.
hessian — 해 x에서의 fun의 헤세 행렬입니다. fminunc 헤세 행렬 항목을 참조하십시오.

예제

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다항식 최소화하기

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함수 $f (x) = 3 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} + 5 x_{2}$ 를 최소화합니다.

이를 위해 목적 함수를 계산하는 익명 함수 fun을 작성합니다.

fun = @(x)3*x(1)^2 + 2*x(1)*x(2) + x(2)^2 - 4*x(1) + 5*x(2);

fminunc를 호출하여 [1,1] 근방에서 fun의 최솟값을 구합니다.

x0 = [1,1];
[x,fval] = fminunc(fun,x0)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

x = 1×2

    2.2500   -4.7500

fval = 
-16.3750

기울기 제공하기

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fminunc는 사용자가 도함수를 제공하는 경우 더 빠르고 더 안정적일 수 있습니다.

기울기는 물론, 함수 값도 반환하는 목적 함수를 작성합니다. 기울기와 헤세 행렬 포함시키기에 설명되어 있는 조건화된 형식을 사용합니다. 목적 함수는 다음과 같은 로젠브록 함수(Rosenbrock Function)이며,

$f (x) = 100 {(x_{2} - x_{1}^{2})}^{2} + (1 - x_{1})^{2},$

기울기는 다음과 같습니다.

$\nabla f (x) = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} - 400 (x_{2} - x_{1}^{2}) x_{1} - 2 (1 - x_{1}) \\ 200 (x_{2} - x_{1}^{2}) \end{array}]$ .

기울기가 있는 목적 함수의 코드는 이 예제의 마지막 부분에 나와 있습니다.

목적 함수의 기울기를 사용하도록 옵션을 만듭니다. 또한, 알고리즘을 'trust-region'으로 설정합니다.

options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','SpecifyObjectiveGradient',true);

초기점을 [-1,2]로 설정합니다. 그런 다음, fminunc를 호출합니다.

x0 = [-1,2];
fun = @rosenbrockwithgrad;
x = fminunc(fun,x0,options)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

x = 1×2

    1.0000    1.0000

다음 코드는 기울기를 두 번째 출력값으로 포함하는 rosenbrockwithgrad 함수를 생성합니다.

function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x)
% Calculate objective f
f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

if nargout > 1 % gradient required
    g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1) - 2*(1-x(1));
        200*(x(2)-x(1)^2)];
end
end

문제 구조체 사용하기

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개별 인수 대신 문제 구조체를 사용하여 기울기 제공하기에 나와 있는 것과 동일한 문제를 풉니다.

$f (x) = 100 {(x_{2} - x_{1}^{2})}^{2} + (1 - x_{1})^{2}$ ,

기울기는 다음과 같습니다.

$\nabla f (x) = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} - 400 (x_{2} - x_{1}^{2}) x_{1} - 2 (1 - x_{1}) \\ 200 (x_{2} - x_{1}^{2}) \end{array}]$ .

기울기가 있는 목적 함수의 코드는 이 예제의 마지막 부분에 나와 있습니다.

목적 함수의 기울기를 사용하도록 옵션을 만듭니다. 또한, 알고리즘을 'trust-region'으로 설정합니다.

options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','SpecifyObjectiveGradient',true);

초기점 x0 = [-1,2]를 포함하는 문제 구조체를 만듭니다. 이 구조체의 필수 필드는 problem 항목을 참조하십시오.

problem.options = options;
problem.x0 = [-1,2];
problem.objective = @rosenbrockwithgrad;
problem.solver = 'fminunc';

문제를 풉니다.

x = fminunc(problem)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

x = 1×2

    1.0000    1.0000

다음 코드는 기울기를 두 번째 출력값으로 포함하는 rosenbrockwithgrad 함수를 생성합니다.

function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x)
% Calculate objective f
f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

if nargout > 1 % gradient required
    g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1));
        200*(x(2)-x(1)^2)];
end
end

목적 함수 최적 값 구하기

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비선형 함수가 최소가 되는 위치와 그 위치에서의 함수 값을 모두 구합니다. 목적 함수는 다음과 같습니다.

$f (x) = x (1) e^{- {‖ x ‖}_{2}^{2}} + {‖ x ‖}_{2}^{2} / 20$ .

fun = @(x)x(1)*exp(-(x(1)^2 + x(2)^2)) + (x(1)^2 + x(2)^2)/20;

x0 = [1,2]에서 시작하여 최소점의 위치와 목적 함수 값을 구합니다.

x0 = [1,2];
[x,fval] = fminunc(fun,x0)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

x = 1×2

   -0.6691    0.0000

fval = 
-0.4052

풀이 과정 검토하기

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풀이 과정을 검토하려면 fminunc 옵션과 출력값을 선택해야 합니다.

반복 과정을 표시하고 'quasi-newton' 알고리즘을 사용하도록 옵션을 설정합니다.

options = optimoptions(@fminunc,'Display','iter','Algorithm','quasi-newton');

목적 함수는 다음과 같습니다.

$f (x) = x (1) e^{- {‖ x ‖}_{2}^{2}} + {‖ x ‖}_{2}^{2} / 20 .$

fun = @(x)x(1)*exp(-(x(1)^2 + x(2)^2)) + (x(1)^2 + x(2)^2)/20;

x0 = [1,2]에서 최소화를 시작하고 해의 품질과 풀이 과정을 검토할 수 있는 출력값을 얻습니다.

x0 = [1,2];
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(fun,x0,options)

                                                        First-order 
 Iteration  Func-count       f(x)        Step-size       optimality
     0           3         0.256738                         0.173
     1           6         0.222149              1          0.131  
     2           9          0.15717              1          0.158  
     3          18        -0.227902       0.438133          0.386  
     4          21        -0.299271              1           0.46  
     5          30        -0.404028       0.102071         0.0458  
     6          33        -0.404868              1         0.0296  
     7          36        -0.405236              1        0.00119  
     8          39        -0.405237              1       0.000252  
     9          42        -0.405237              1       7.97e-07  

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

x = 1×2

   -0.6691    0.0000

fval = 
-0.4052

exitflag = 
1

output = struct with fields:
       iterations: 9
        funcCount: 42
         stepsize: 2.9343e-04
     lssteplength: 1
    firstorderopt: 7.9721e-07
        algorithm: 'quasi-newton'
          message: 'Local minimum found.↵↵Optimization completed because the size of the gradient is less than↵the value of the optimality tolerance.↵↵<stopping criteria details>↵↵Optimization completed: The first-order optimality measure, 6.796073e-07, is less ↵than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06.'

종료 플래그 1은 해가 국소 최적해임을 보여줍니다.
output 구조체는 반복 횟수와 함수 실행 횟수, 그리고 기타 정보를 표시합니다.
반복 횟수와 함수 실행 횟수도 반복 과정에 표시됩니다.

대규모 문제에 `"lbfgs"` 헤세 행렬 근사 사용하기

문제에 변수가 많은 경우 HessianApproximation의 디폴트 값을 사용하면 fminunc가 대용량의 메모리를 사용하고 느리게 실행될 수 있습니다. 메모리를 더 적게 사용하고 실행 속도를 높이려면 HessianApproximation="lbfgs"를 지정하십시오.

예를 들어, 디폴트 파라미터를 사용하여 1e5개의 변수를 갖는 multirosenbrock 함수(아래 나열됨)를 최소화하려고 하면 fminunc가 오류를 발생시킵니다.

N = 1e5;
x0 = -2*ones(N,1);
x0(2:2:N) = 2;
[x,fval] = fminunc(@multirosenbrock,x0)

Error using eye
Requested 100000x100000 (74.5GB) array exceeds maximum array size preference (63.9GB). This might cause MATLAB to become
unresponsive.

Error in optim.internal.fminunc.AbstractDenseHessianApproximation (line 21)
        this.Value = eye(nVars);

Error in optim.internal.fminunc.BFGSHessianApproximation (line 14)
        this = this@optim.internal.fminunc.AbstractDenseHessianApproximation(nVars);

Error in fminusub (line 73)
    HessApprox = optim.internal.fminunc.BFGSHessianApproximation(sizes.nVar);

Error in fminunc (line 488)
   [x,FVAL,GRAD,HESSIAN,EXITFLAG,OUTPUT] = fminusub(funfcn,x, ...

이 문제를 풀려면 HessianApproximation 옵션을 "lbfgs"로 설정하십시오. 풀이 속도를 높이려면 제공된 기울기를 사용하도록 옵션을 설정하십시오.

N = 1e5;
x0 = -2*ones(N,1);
x0(2:2:N) = 2;
options = optimoptions("fminunc",HessianApproximation="lbfgs",...
    SpecifyObjectiveGradient=true);
[x,fval] = fminunc(@multirosenbrock,x0,options);

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

모든 i에 대해 이론적인 해는 x(i) = 1입니다. 반환된 해의 정확도를 확인합니다.

max(abs(x-1))

ans =

   1.3795e-04

다음 코드는 multirosenbrock 함수를 생성합니다.

function [f,g] = multirosenbrock(x)
% Get the problem size
n = length(x);  
if n == 0, error('Input vector, x, is empty.'); end
if mod(n,2) ~= 0
   error('Input vector, x ,must have an even number of components.');
end
% Evaluate the vector function
odds  = 1:2:n;
evens = 2:2:n;
F = zeros(n,1);
F(odds,1)  = 1-x(odds);
F(evens,1) = 10.*(x(evens)-x(odds).^2); 
f = sum(F.^2);
if nargout >= 2 % Calculate gradient
    g = zeros(n,1);
    g(evens) = 200*(x(evens)-x(odds).^2);
    g(odds) = -2*(1 - x(odds)) - 400*(x(evens)-x(odds).^2).*x(odds);
end
end

입력 인수

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`fun` — 최소화할 함수
함수 핸들 | 함수 이름

최소화할 함수로, 함수 핸들이나 함수 이름으로 지정됩니다. fun은 벡터 또는 배열 x를 받고 실수형 스칼라 f를 반환하는 함수입니다. 즉, x에서 계산되는 목적 함수입니다.

fminunc 함수는 x를 x0 인수 형태로 목적 함수에 전달합니다. 예를 들어, x0이 5×3 배열이면 fminunc 함수는 x를 5×3 배열로 fun에 전달합니다.

다음과 같이 fun을 파일에 대한 함수 핸들로 지정합니다.

x = fminunc(@myfun,x0)

여기서 myfun은 다음과 같은 MATLAB^® 함수입니다.

function f = myfun(x)
f = ...            % Compute function value at x

다음과 같이 fun을 익명 함수에 대한 함수 핸들로 지정할 수도 있습니다.

x = fminunc(@(x)norm(x)^2,x0);

fun의 기울기를 계산할 수 있고 다음 설정처럼 SpecifyObjectiveGradient 옵션이 true로 설정된 경우

options = optimoptions('fminunc','SpecifyObjectiveGradient',true)

fun은 두 번째 출력 인수에 기울기 벡터 g(x)를 반환해야 합니다.

헤세 행렬도 계산할 수 있고 options = optimoptions('fminunc','HessianFcn','objective')를 통해 HessianFcn 옵션이 'objective'로 설정되어 있고 Algorithm 옵션이 'trust-region'으로 설정된 경우, fun은 세 번째 출력 인수로 대칭 행렬인 헤세 행렬 값 H(x)를 반환해야 합니다. fun은 희소 헤세 행렬을 제공할 수 있습니다. 자세한 내용은 fminunc의 trust-region 알고리즘 또는 fmincon의 trust-region-reflective 알고리즘에 대한 헤세 행렬 항목을 참조하십시오.

trust-region 알고리즘에서는 사용자가 헤세 행렬의 곱셈 함수를 제공할 수 있습니다. 이 함수는 헤세 행렬을 직접 계산하지 않고 헤세 행렬과 벡터의 곱에 대한 결과를 제공합니다. 따라서 메모리를 절약할 수 있습니다. 헤세 행렬의 곱셈 함수 항목을 참조하십시오.

예: fun = @(x)sin(x(1))*cos(x(2))

데이터형: char | function_handle | string

`x0` — 초기점
실수형 벡터 | 실수형 배열

초기점으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. 솔버는 x0의 요소 개수와 x0의 크기를 사용하여 fun이 받는 변수의 개수와 크기를 확인합니다.

예: x0 = [1,2,3,4]

데이터형: double

`options` — 최적화 옵션
`optimoptions`의 출력값 | `optimset` 등이 반환하는 구조체

최적화 옵션으로, optimoptions의 출력값 또는 optimset 등이 반환하는 구조체로 지정됩니다.

옵션에 따라 모든 알고리즘에 적용되는 옵션이 있고 특정 알고리즘에만 유효한 옵션이 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 참조 항목을 참조하십시오.

일부 옵션은 optimoptions 표시에 나타나지 않습니다. 이러한 옵션은 다음 표에서 기울임꼴로 표시되어 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 보기 항목을 참조하십시오.

모든 알고리즘
`Algorithm`	`fminunc` 알고리즘을 선택합니다. `'quasi-newton'`(디폴트 값) 또는 `'trust-region'`을 선택할 수 있습니다. `'trust-region'` 알고리즘을 사용하는 경우 기울기를 제공해야 하며(`fun`의 설명 참조), 그렇지 않을 경우 `fminunc`는 `'quasi-newton'` 알고리즘을 사용합니다. 알고리즘을 선택하는 방법에 대한 자세한 내용은 알고리즘 선택하기 항목을 참조하십시오.
CheckGradients	사용자 제공 도함수(목적 함수의 기울기)를 유한 차분 도함수와 비교합니다. `false`(디폴트 값) 또는 `true`를 선택할 수 있습니다. `optimset`의 경우, 이 이름은 `DerivativeCheck`이고 값은 `'on'` 또는 `'off'`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오. `CheckGradients` 옵션은 향후 릴리스에서 제거될 예정입니다. 도함수를 검사하려면 `checkGradients` 함수를 사용하십시오.
Diagnostics	최소화하거나 풀려는 함수에 대한 진단 정보를 표시합니다. `'off'`(디폴트 값) 또는 `'on'`을 선택할 수 있습니다.
DiffMaxChange	유한 차분 기울기에 대한 변수의 최대 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 `Inf`입니다.
DiffMinChange	유한 차분 기울기에 대한 변수의 최소 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 `0`입니다.
`Display`	표시 수준입니다(반복 과정 표시 참조): `'off'` 또는 `'none'`은 출력값을 표시하지 않습니다. `'iter'`는 각 반복마다 출력값을 표시하고 디폴트 종료 메시지를 제공합니다. `'iter-detailed'`는 각 반복마다 출력값을 표시하고 기술적인 종료 메시지를 제공합니다. `'notify'`는 함수가 수렴하지 않는 경우에만 출력값을 표시하고 디폴트 종료 메시지를 제공합니다. `'notify-detailed'`는 함수가 수렴하지 않는 경우에만 출력값을 표시하고 기술적인 종료 메시지를 제공합니다. `'final'`(디폴트 값)은 최종 출력값만 표시하고 디폴트 종료 메시지를 제공합니다. `'final-detailed'`는 최종 출력값만 표시하고 기술적인 종료 메시지를 제공합니다.
`FiniteDifferenceStepSize`	유한 차분에 대한 스칼라 또는 벡터 스텝 크기 인자입니다. `FiniteDifferenceStepSize`를 벡터 `v`로 설정하는 경우 전향 유한 차분 `delta`는 다음과 같습니다. `delta = v.sign′(x).max(abs(x),TypicalX);` 여기서 `sign′(x) = sign(x)`입니다(단, `sign′(0) = 1`임). 중심 유한 차분은 다음과 같습니다. `delta = v.*max(abs(x),TypicalX);` 스칼라 `FiniteDifferenceStepSize`는 벡터로 확장됩니다. 디폴트 값은 전향 유한 차분의 경우 `sqrt(eps)`이고 중심 유한 차분의 경우 `eps^(1/3)`입니다. trust-region 알고리즘은 `CheckGradients`가 `true`로 설정된 경우에만 `FiniteDifferenceStepSize`를 사용합니다. `optimset`의 경우, 이 이름은 `FinDiffRelStep`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`FiniteDifferenceType`	기울기를 추정하는 데 사용되는 유한 차분으로, `'forward'`(디폴트 값) 또는 `'central'`(중심화됨)입니다. `'central'`은 함수 실행 횟수가 2배 더 많지만 더 정확합니다. trust-region 알고리즘은 `CheckGradients`가 `true`로 설정된 경우에만 `FiniteDifferenceType`을 사용합니다. `optimset`의 경우, 이 이름은 `FinDiffType`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
FunValCheck	목적 함수 값이 유효한지 여부를 확인합니다. 디폴트 설정 `'off'`는 검사를 수행하지 않습니다. `'on'` 설정은 목적 함수가 `complex`, `Inf` 또는 `NaN` 값을 반환하는 경우에 오류를 표시합니다.
`MaxFunctionEvaluations`	허용되는 함수 실행의 최대 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은 `100*numberOfVariables`입니다. 허용오차와 중지 기준 항목과 반복 횟수와 함수 실행 횟수 항목을 참조하십시오. `optimset`의 경우, 이 이름은 `MaxFunEvals`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`MaxIterations`	허용되는 최대 반복 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은 `400`입니다. 허용오차와 중지 기준 항목과 반복 횟수와 함수 실행 횟수 항목을 참조하십시오. `optimset`의 경우, 이 이름은 `MaxIter`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`OptimalityTolerance`	1차 최적성에 대한 종료 허용오차(음이 아닌 스칼라)입니다. 디폴트 값은 `1e-6`입니다. 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오. `optimset`의 경우, 이 이름은 `TolFun`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`OutputFcn`	각 반복마다 최적화 함수가 호출하는 하나 이상의 사용자 정의 함수를 지정합니다. 함수 핸들 또는 함수 핸들 셀형 배열을 전달합니다. 디폴트 값은 없음(`[]`)입니다. Output Function and Plot Function Syntax 항목을 참조하십시오.
`PlotFcn`	알고리즘이 실행되는 동안 다양한 진행률 측정값을 플로팅합니다. 미리 정의된 플롯에서 선택하거나 사용자가 직접 작성할 수 있습니다. 내장 플롯 함수 이름, 함수 핸들 또는 내장 플롯 함수 이름이나 함수 핸들로 구성된 셀형 배열을 전달하십시오. 사용자 지정 플롯 함수의 경우, 함수 핸들을 전달하십시오. 디폴트 값은 없음(`[]`)입니다. `'optimplotx'`는 현재 점을 플로팅합니다. `'optimplotfunccount'`는 함수 실행 횟수를 플로팅합니다. `'optimplotfval'`은 함수 값을 플로팅합니다. `'optimplotstepsize'`는 스텝 크기를 플로팅합니다. `'optimplotfirstorderopt'`는 1차 최적성 측정값을 플로팅합니다. 사용자 지정 플롯 함수는 출력 함수와 동일한 구문을 사용합니다. Optimization Toolbox의 출력 함수 항목과 Output Function and Plot Function Syntax 항목을 참조하십시오. `optimset`의 경우, 이 이름은 `PlotFcns`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`SpecifyObjectiveGradient`	사용자가 정의하는 목적 함수의 기울기입니다. `fun`에 기울기를 정의하는 방법을 보려면 `fun`에 대한 설명을 참조하십시오. `fminunc`가 목적 함수에 대한 사용자 정의 기울기를 사용하도록 하려면 `true`로 설정하십시오. 디폴트 값 `false`를 사용하면 `fminunc`가 유한 차분을 사용하여 기울기를 추정합니다. trust-region 알고리즘을 사용하려면 기울기를 제공하고 `SpecifyObjectiveGradient`를 `true`로 설정해야 합니다. quasi-Newton 알고리즘에는 이 옵션이 필요하지 않습니다. `optimset`의 경우, 이 이름은 `GradObj`이고 값은 `'on'` 또는 `'off'`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`StepTolerance`	`x`에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은 `1e-6`입니다. 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오. `optimset`의 경우, 이 이름은 `TolX`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`TypicalX`	일반적인 `x` 값입니다. `TypicalX`의 요소 개수는 시작점 `x0`의 요소 개수와 같습니다. 디폴트 값은 `ones(numberofvariables,1)`입니다. `fminunc`는 기울기 추정을 위해 유한 차분을 스케일링하는 데 `TypicalX`를 사용합니다. `trust-region` 알고리즘은 `CheckGradients` 옵션에 대해서만 `TypicalX`를 사용합니다.
`trust-region` 알고리즘
`FunctionTolerance`	함수 값에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은 `1e-6`입니다. 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오. `optimset`의 경우, 이 이름은 `TolFun`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`HessianFcn`	`[]`(디폴트 값)로 설정된 경우, `fminunc`는 유한 차분을 사용하여 헤세 행렬의 근삿값을 계산합니다. `'objective'`로 설정된 경우, `fminunc`는 목적 함수에 대해 사용자 정의 헤세 행렬을 사용합니다. 헤세 행렬은 목적 함수의 세 번째 출력값입니다(`fun` 참조). `optimset`의 경우, 이 이름은 `HessFcn`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
`HessianMultiplyFcn`	헤세 행렬의 곱셈 함수로, 함수 핸들로 지정됩니다. 특정 구조를 가진 대규모 문제의 경우, 이 함수는 `H`를 실제로 구성하지 않고 헤세 행렬 곱 `HY`를 계산합니다. 이 함수의 형식은 다음과 같습니다. W = hmfun(Hinfo,Y) 여기서 `Hinfo`는 `HY`를 계산하는 데 사용되는 행렬을 포함합니다. 첫 번째 인수는 목적 함수 `fun`이 반환하는 세 번째 인수와 같습니다. 예를 들어 다음과 같습니다. [f,g,Hinfo] = fun(x) `Y`는 문제의 차원과 동일한 개수의 행을 갖는 행렬입니다. 행렬 `W = H*Y`입니다. 단, `H`가 명시적으로 구성되지는 않습니다. `fminunc`는 `Hinfo`를 사용하여 선조건자를 계산합니다. `hmfun`에 필요한 추가 파라미터의 값을 제공하는 방법에 대한 자세한 내용은 추가 파라미터 전달하기 항목을 참조하십시오. 참고 `HessianMultiplyFcn` 옵션을 사용하려면 `HessianFcn`이 `[]`로 설정되어야 합니다. 예제는 Minimization with Dense Structured Hessian, Linear Equalities 항목을 참조하십시오. `optimset`의 경우, 이 이름은 `HessMult`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
HessPattern	유한 차분에 대한 헤세 행렬의 희소성 패턴입니다. ∂²`fun`/∂`x(i)`∂`x(j)` ≠ 0이 성립하는 경우 `HessPattern(i,j) = 1`을 설정합니다. 그렇지 않은 경우 `HessPattern(i,j) = 0`을 설정합니다. `HessPattern`은 `fun`의 헤세 행렬 `H`를 계산하는 것이 번거롭고 `fun`의 기울기의 `i`번째 성분이 `x(j)`에 종속된다는 사실은 (조사를 통해) 확인할 수 있는 경우에 사용합니다. `H`의 희소성 구조를 `HessPattern`의 값으로 제공하는 경우 `fminunc`는 (기울기의) 희소 유한 차분을 통해 `H`의 근삿값을 계산할 수 있습니다. 다시 말해서 0이 아닌 성분의 위치를 제공합니다. 구조를 알 수 없는 경우 `HessPattern`을 설정하지 마십시오. 이 경우 기본적으로 `HessPattern`이 1로 구성된 조밀 행렬인 것처럼 동작합니다. 그러면 `fminunc`가 각 반복마다 비희소 유한 차분 근삿값을 계산합니다. 이 계산 과정은 대규모 문제의 경우 시간이 오래 걸릴 수 있으므로 희소성 구조를 확인하는 것이 일반적으로 더 좋습니다.
MaxPCGIter	최대 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 반복 횟수로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 `max(1,floor(numberOfVariables/2))`입니다. 자세한 내용은 신뢰 영역 알고리즘 항목을 참조하십시오.
PrecondBandWidth	PCG에 대한 선조건자의 상부 대역폭으로, 음이 아닌 정수입니다. 기본적으로, `fminunc`는 대각 선조건 지정을 사용합니다(상부 대역폭: 0). 일부 문제에서는 대역폭을 늘리면 PCG 반복 횟수가 줄어듭니다. `PrecondBandWidth`를 `Inf`로 설정하면 켤레 기울기(CG)가 아닌 직접 분해(촐레스키)가 사용됩니다. 직접 분해는 CG보다 계산량이 더 많지만 해에 다가가는 데 있어 더 나은 품질의 스텝을 생성합니다.
`SubproblemAlgorithm`	반복 스텝이 계산되는 방식을 결정합니다. 디폴트 값 `'cg'`는 `'factorization'`보다 더 빠르지만 정확도가 떨어지는 스텝을 실행합니다. fminunc의 trust-region 알고리즘 항목을 참조하십시오.
TolPCG	PCG 반복에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 `0.1`입니다.
`quasi-newton` 알고리즘
`HessianApproximation`	`fminunc` 함수가 헤세 행렬을 계산하는 방법을 지정합니다. 선택 가능한 설정은 다음과 같습니다. `"bfgs"`(디폴트 값) `"lbfgs"` `{"lbfgs",Positive Integer}` 설정 `"lbfgs"`는 `{"lbfgs",10}`과 동일합니다. 즉, 디폴트 `"lbfgs"` 메모리 값이 `10`입니다. 많은 변수를 갖는 문제에는 `"lbfgs"`를 사용하십시오. Solve Nonlinear Problem with Many Variables 항목을 참조하십시오. `optimset`의 경우, 이 옵션 이름은 HessUpdate이고 값은 `"bfgs"`, `"lbfgs"`, `{"lbfgs",Positive Integer}`, `"dfp"` 및 `"steepdesc"`입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오. 참고 일반적으로, `"dfp"`와 `"steepdesc"` 값은 잘 동작하지 않습니다. 이들 값은 교육용으로 제공되는 것입니다. 바나나 함수 최소화 항목을 참조하십시오.
`ObjectiveLimit`	허용오차(중지 기준)로, 스칼라입니다. 반복에서 계산된 목적 함수 값이 `ObjectiveLimit`보다 작거나 같으면 반복이 중단됩니다. 문제가 비유계이기 때문일 수 있습니다. 디폴트 값은 `-1e20`입니다.
`UseParallel`	`true`인 경우 `fminunc`는 기울기를 병렬로 추정합니다. 디폴트 값 `false`로 설정하면 비활성화됩니다. `trust-region`에서는 목적 함수에 기울기를 제공해야 하므로, `UseParallel`이 적용되지 않습니다. 병렬 연산 항목을 참조하십시오.

예: options = optimoptions('fminunc','SpecifyObjectiveGradient',true)

`problem` — 문제 구조체
구조체

문제 구조체로, 다음 필드를 가진 구조체로 지정됩니다.

필드 이름	항목
`objective`	목적 함수
`x0`	`x`의 초기점
`solver`	`'fminunc'`
`options`	`optimoptions`로 생성되는 옵션

데이터형: struct

출력 인수

모두 축소

`x` — 해(Solution)
실수형 벡터 | 실수형 배열

해로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 반환됩니다. x의 크기는 x0의 크기와 같습니다. 일반적으로 x는 exitflag가 양수인 경우 문제에 대한 국소해입니다. 해의 품질에 대한 자세한 내용은 솔버가 성공한 경우 항목을 참조하십시오.

`fval` — 해에서 계산된 목적 함수 값
실수

해에서 계산된 목적 함수 값으로, 실수로 반환됩니다. 일반적으로 fval = fun(x)입니다.

`exitflag` — `fminunc`가 중지된 이유
정수

fminunc가 중지된 이유로, 정수로 반환됩니다.

`1`	기울기 크기가 `OptimalityTolerance` 허용오차보다 작습니다.
`2`	`x`의 변화량이 `StepTolerance` 허용오차보다 작습니다.
`3`	목적 함수 값의 변화량이 `FunctionTolerance` 허용오차보다 작습니다.
`5`	목적 함수의 예측된 감소량이 `FunctionTolerance` 허용오차보다 작습니다.
`0`	반복 횟수가 `MaxIterations`를 초과하거나, 함수 실행 횟수가 `MaxFunctionEvaluations`를 초과했습니다.
`-1`	출력 함수에 의해 알고리즘이 종료되었습니다.
`-3`	현재 반복에서 목적 함수가 `ObjectiveLimit` 아래로 떨어졌습니다.

`output` — 최적화 과정에 대한 정보
구조체

최적화 과정에 대한 정보로, 다음 필드를 가진 구조체로 반환됩니다.

`iterations`	수행된 반복 횟수
`funcCount`	함수 실행 횟수
`firstorderopt`	1차 최적성에 대한 측정값
`algorithm`	사용된 최적화 알고리즘
`cgiterations`	총 PCG 반복 횟수(`'trust-region'` 알고리즘만 해당)
`lssteplength`	탐색 방향을 기준으로 한 직선 탐색 스텝의 크기(`'quasi-newton'` 알고리즘만 해당)
`stepsize`	`x`의 최종 변위
`message`	종료 메시지

`grad` — 해에서의 기울기
실수형 벡터

해에서의 기울기로, 실수 벡터로 반환됩니다. grad는 점 x(:)에서 fun의 기울기를 제공합니다.

`hessian` — 근사 헤세 행렬
실수 행렬

근사 헤세 행렬로, 실수 행렬로 반환됩니다. hessian의 의미는 헤세 행렬 출력값 항목을 참조하십시오.

HessianApproximation 옵션이 "lbfgs" 또는 {"lbfgs" n}인 경우 반환되는 hessian은 []입니다.

데이터형: double

세부 정보

모두 축소

향상된 종료 메시지

다음 몇 가지 항목은 fminunc에서 반환될 수 있는 향상된 종료 메시지를 나열한 것입니다. 향상된 종료 메시지에는 자세한 정보를 볼 수 있는 링크가 메시지의 첫 문장으로 제공됩니다.

국소 최솟값 찾음

1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance 허용오차보다 작으므로 솔버가 국소 최솟값으로 보이는 점을 찾았습니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 솔버가 성공한 경우 항목을 참조하십시오.

초기점이 국소 최솟값임

1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance 허용오차보다 작으므로 초기점이 국소 최솟값인 것으로 보입니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 최종점과 초기점이 동일함 항목을 참조하십시오.

국소 최솟값일 수 있음

솔버가 국소 최솟값에 도달했을 수 있지만, 1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance 허용오차보다 작지 않기 때문에 확실하지 않을 수 있습니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 국소 최솟값일 수 있음 항목을 참조하십시오.

솔버가 중도에 중지됨

솔버가 요청된 허용오차까지 목적 함수를 최소화하기 전에 반복 횟수나 함수 실행 횟수 제한에 도달했기 때문에 중지되었습니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 반복 횟수나 함수 실행 횟수가 너무 많음 항목을 참조하십시오.

문제가 비유계인 것처럼 보임

목적 함수 값이 ObjectiveLimit 허용오차보다 작거나 같은 실현가능점에 솔버가 도달했습니다. 문제가 비유계이거나 잘못 스케일링되었거나 ObjectiveLimit 옵션이 너무 높습니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 비유계 문제 항목을 참조하십시오.

충돌

'trust-region' 알고리즘을 사용하는 경우에는 목적 함수의 기울기를 제공하고 SpecifyObjectiveGradient 옵션을 true로 설정해야 합니다.

계속하려면 다음 작업 중 하나를 수행하십시오.

Algorithm 옵션을 'quasi-newton'으로 설정합니다.
목적 함수는 기울기를 제공하고 SpecifyObjectiveGradient 옵션은 true로 설정되어야 합니다. 기울기와 헤세 행렬 포함시키기 항목을 참조하십시오.

종료 메시지에 대한 정의

다음 몇 가지 항목은 fminunc 종료 메시지에 나오는 용어에 대한 정의를 포함합니다.

허용오차

일반적으로, 허용오차는 이 값을 넘는 경우 솔버의 반복이 중지되는 임계값입니다. 허용오차에 대한 자세한 내용은 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오.

국소 최솟값

함수의 국소 최솟값이란 함수 값이 인근 점에서보다는 더 작지만 멀리 있는 점에서보다는 더 클 수 있는 점을 말합니다.

전역 최솟값이란 함수 값이 다른 모든 실현가능점에서보다 작은 점을 말합니다.

Local vs. global minimum

솔버는 국소 최솟값을 구하려고 합니다. 그 결과는 전역 최솟값일 수 있습니다. 자세한 내용은 국소 최적해와 전역 최적해 항목을 참조하십시오.

1차 최적성 측정값

1차 최적성 측정값은 기울기 벡터 성분의 절댓값의 최댓값입니다(기울기의 무한대 노름이라고도 함). 이 값은 최소화 점에서 0이어야 합니다.

자세한 내용은 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오.

기울기 크기

기울기의 크기는 기울기 벡터 성분의 절댓값의 최댓값입니다(무한대 노름이라고도 함). 이 값은 최소화 점에서 0이어야 합니다.

자세한 내용은 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오.

`OptimalityTolerance`

OptimalityTolerance라고 하는 허용오차는 1차 최적성 측정값과 관련이 있습니다. 1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance보다 작은 경우 반복이 종료됩니다.

제약 조건이 없는 문제의 1차 최적성 측정값은 기울기 벡터 성분의 절댓값의 최댓값입니다(기울기의 무한대 노름이라고도 함). 이 값은 최소화 점에서 0이어야 합니다.

자세한 내용은 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오.

`FunctionTolerance`

FunctionTolerance는 목적 함수 값의 최근 변화량의 크기에 대한 허용오차입니다.

`StepTolerance`

StepTolerance는 마지막 스텝의 크기에 대한 허용오차로, 목적 함수가 실행된 위치에서의 변화량 크기입니다.

현재 스텝의 노름

현재 스텝의 노름은 목적 함수가 실행된 위치에서의 변화량 크기입니다.

자세한 내용은 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오.

목적 함수 제한

진행 방법에 대한 제안 사항은 비유계 문제 항목을 참조하십시오.

직선 탐색 구간

직선 탐색 구간은 솔버가 목적 함수를 최소화하려고 시도하는 탐색 방향을 따르는 선분입니다. 이 구간이 너무 작으면 솔버가 종료됩니다. 솔버는 제약 조건이 없는 비선형 최적화 알고리즘에 설명된 다양한 알고리즘에 따라 이 구간의 탐색 방향 및 크기를 계산합니다.

출력 함수 또는 플롯 함수

출력 함수(또는 플롯 함수)는 솔버의 각 반복마다 한 번 실행됩니다. 이 함수는 솔버의 진행 과정 동안 여러 최적화 수량을 보고할 수 있으며, 솔버를 중단할 수 있습니다.

자세한 내용은 Optimization Toolbox의 출력 함수 또는 플롯 함수 항목을 참조하십시오.

`MaxIterations`

MaxIterations는 솔버가 수행한 반복 횟수에 대한 허용오차입니다. 솔버가 MaxIterations번 반복을 수행한 경우 반복이 종료됩니다.

자세한 내용은 반복 횟수와 함수 실행 횟수 또는 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오.

`s`

MaxFunctionEvaluations는 솔버가 목적 함수 및/또는 제약 조건 함수를 실행하는 점의 개수에 대한 허용오차입니다. 솔버가 MaxFunctionEvaluations개의 점에서 함수를 실행한 경우 반복이 종료됩니다.

자세한 내용은 반복 횟수와 함수 실행 횟수 또는 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오.

탐색 방향

탐색 방향은 솔버가 개선점을 찾는 현재 점에서의 벡터입니다. Optimization Toolbox™ 솔버는 제약 조건이 없는 비선형 최적화 알고리즘에 설명된 다양한 알고리즘을 통해 탐색 방향을 계산합니다.

알고리즘

모두 축소

Quasi-Newton 알고리즘

기본적으로 quasi-newton 알고리즘은 3차 직선 탐색 절차와 함께 BFGS 준뉴턴(Quasi-Newton) 방법을 사용합니다. 이 준뉴턴 방법은 헤세 행렬의 근삿값을 업데이트하는 데 BFGS([1],[5],[8], [9]) 식을 사용합니다. HessianApproximation 옵션으로 low-memory BFGS 알고리즘("lbfgs")을 지정할 수도 있습니다. 권장되지는 않지만, 이 옵션을 'dfp'로 설정하여 역헤세 행렬의 근사를 구하는 DFP([4], [6], [7]) 식을 지정할 수 있습니다. 이 옵션을 'steepdesc'로 설정하여 최속강하법을 지정할 수 있습니다. 하지만 이 설정은 일반적으로 비효율적입니다. fminunc의 quasi-newton 알고리즘 항목을 참조하십시오.

신뢰 영역 알고리즘

trust-region 알고리즘을 사용하는 경우 fun에 기울기를 제공하고 optimoptions를 사용하여 SpecifyObjectiveGradient를 true로 설정해야 합니다. 이 알고리즘은 부분공간 trust-region 방법이며 interior-reflective 뉴턴 방법([2] 및 [3]에 설명되어 있음)을 기반으로 합니다. 각 반복에는 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 방법을 사용한 대규모 선형 시스템의 근사해 풀이 작업이 포함됩니다. fminunc의 trust-region 알고리즘, 비선형 최소화를 위한 Trust-Region 방법, 선조건 적용 켤레 기울기법(Preconditioned Conjugate Gradient Method) 항목을 참조하십시오.

대체 기능

앱

최적화 라이브 편집기 작업은 fminunc에 대한 시각적 인터페이스를 제공합니다.

참고 문헌

[1] Broyden, C. G. “The Convergence of a Class of Double-Rank Minimization Algorithms.” Journal Inst. Math. Applic., Vol. 6, 1970, pp. 76–90.

[2] Coleman, T. F. and Y. Li. “An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, 1996, pp. 418–445.

[3] Coleman, T. F. and Y. Li. “On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, 1994, pp. 189–224.

[4] Davidon, W. C. “Variable Metric Method for Minimization.” A.E.C. Research and Development Report, ANL-5990, 1959.

[5] Fletcher, R. “A New Approach to Variable Metric Algorithms.” Computer Journal, Vol. 13, 1970, pp. 317–322.

[6] Fletcher, R. “Practical Methods of Optimization.” Vol. 1, Unconstrained Optimization, John Wiley and Sons, 1980.

[7] Fletcher, R. and M. J. D. Powell. “A Rapidly Convergent Descent Method for Minimization.” Computer Journal, Vol. 6, 1963, pp. 163–168.

[8] Goldfarb, D. “A Family of Variable Metric Updates Derived by Variational Means.” Mathematics of Computing, Vol. 24, 1970, pp. 23–26.

[9] Shanno, D. F. “Conditioning of Quasi-Newton Methods for Function Minimization.” Mathematics of Computing, Vol. 24, 1970, pp. 647–656.

확장 기능

모두 확장

자동 병렬 지원
Parallel Computing Toolbox™를 사용해 자동 병렬 계산을 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

병렬로 실행하려면 'UseParallel' 옵션을 true로 설정하십시오.

options = optimoptions('solvername','UseParallel',true)

자세한 내용은 Using Parallel Computing in Optimization Toolbox 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

모두 확장

R2023b: `CheckGradients` 옵션은 제거될 예정임

CheckGradients 옵션은 향후 릴리스에서 제거될 예정입니다. 목적 함수 또는 비선형 제약 조건 함수의 1계 도함수를 검사하려면 checkGradients 함수를 사용하십시오.

참고 항목

fmincon | fminsearch | optimoptions | 최적화

fminunc

구문

설명

예제

다항식 최소화하기

기울기 제공하기

문제 구조체 사용하기

목적 함수 최적 값 구하기

풀이 과정 검토하기

대규모 문제에 "lbfgs" 헤세 행렬 근사 사용하기

입력 인수

fun — 최소화할 함수 함수 핸들 | 함수 이름

x0 — 초기점 실수형 벡터 | 실수형 배열

options — 최적화 옵션 optimoptions의 출력값 | optimset 등이 반환하는 구조체

problem — 문제 구조체 구조체

출력 인수

x — 해(Solution) 실수형 벡터 | 실수형 배열

fval — 해에서 계산된 목적 함수 값 실수

exitflag — fminunc가 중지된 이유 정수

output — 최적화 과정에 대한 정보 구조체

grad — 해에서의 기울기 실수형 벡터

hessian — 근사 헤세 행렬 실수 행렬

세부 정보

향상된 종료 메시지

국소 최솟값 찾음

초기점이 국소 최솟값임

국소 최솟값일 수 있음

솔버가 중도에 중지됨

문제가 비유계인 것처럼 보임

충돌

종료 메시지에 대한 정의

허용오차

국소 최솟값

1차 최적성 측정값

기울기 크기

OptimalityTolerance

FunctionTolerance

StepTolerance

현재 스텝의 노름

목적 함수 제한

직선 탐색 구간

출력 함수 또는 플롯 함수

MaxIterations

s

탐색 방향

알고리즘

Quasi-Newton 알고리즘

신뢰 영역 알고리즘

대체 기능

앱

참고 문헌

확장 기능

자동 병렬 지원 Parallel Computing Toolbox™를 사용해 자동 병렬 계산을 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

버전 내역

R2023b: CheckGradients 옵션은 제거될 예정임

참고 항목

도움말 항목

대규모 문제에 `"lbfgs"` 헤세 행렬 근사 사용하기

`fun` — 최소화할 함수
함수 핸들 | 함수 이름

`x0` — 초기점
실수형 벡터 | 실수형 배열

`options` — 최적화 옵션
`optimoptions`의 출력값 | `optimset` 등이 반환하는 구조체

`problem` — 문제 구조체
구조체

`x` — 해(Solution)
실수형 벡터 | 실수형 배열

`fval` — 해에서 계산된 목적 함수 값
실수

`exitflag` — `fminunc`가 중지된 이유
정수

`output` — 최적화 과정에 대한 정보
구조체

`grad` — 해에서의 기울기
실수형 벡터

`hessian` — 근사 헤세 행렬
실수 행렬

`OptimalityTolerance`

`FunctionTolerance`

`StepTolerance`

`MaxIterations`

`s`

자동 병렬 지원
Parallel Computing Toolbox™를 사용해 자동 병렬 계산을 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

R2023b: `CheckGradients` 옵션은 제거될 예정임