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fminsearch
비제약 조건 다변수 함수의 국소 최솟값을 도함수 없이 찾기
구문
설명
비선형 계획법 솔버입니다. 다음으로 지정된 문제의 국소 최솟값을 찾습니다.
f(x)는 스칼라를 반환하는 함수이고, x는 벡터나 배열입니다.
자세한 내용은 국소 최솟값과 전역 최솟값 비교 항목을 참조하십시오.
예제
로젠브록 함수를 최소화해 보겠습니다. 이 함수는 여러 알고리즘이 풀기 어려워하는 유명한 최적화 문제입니다.
이 함수는 점 x = [1,1]에서 최솟값 0을 가집니다.
시작점을 x0 = [-1.2,1]로 설정하고 fminsearch를 사용하여 로젠브록 함수를 최소화합니다.
fun = @(x)100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2; x0 = [-1.2,1]; x = fminsearch(fun,x0)
x = 1×2
1.0000 1.0000
fminsearch가 최솟값을 구하려고 시도하는 과정을 모니터링하도록 옵션을 설정합니다.
매 반복 시 목적 함수를 플로팅하도록 옵션을 설정합니다.
options = optimset('PlotFcns',@optimplotfval);목적 함수를 다음 로젠브록 함수로 설정합니다.
이 함수는 점 x = [1,1]에서 최솟값 0을 가집니다.
시작점을 x0 = [-1.2,1]로 설정하고 fminsearch를 사용하여 로젠브록 함수를 최소화합니다.
fun = @(x)100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2; x0 = [-1.2,1]; x = fminsearch(fun,x0,options)
x = 1×2
1.0000 1.0000
파일 실행으로 값이 주어지는 목적 함수를 최소화합니다. 함수 파일은 실수형 벡터 x를 받고 목적 함수의 값인 실수형 스칼라를 반환해야 합니다.
다음 코드를 복사한 후 MATLAB® 경로에 objectivefcn1.m이라는 파일로 포함시킵니다.
function f = objectivefcn1(x) f = 0; for k = -10:10 f = f + exp(-(x(1)-x(2))^2 - 2*x(1)^2)*cos(x(2))*sin(2*x(2)); end
x0 = [0.25,-0.25]에서 시작하여 objectivefcn의 최솟값을 찾습니다.
x0 = [0.25,-0.25]; x = fminsearch(@objectivefcn1,x0)
x = -0.1696 -0.5086
때때로 목적 함수는 추가 파라미터를 가집니다. 이러한 파라미터는 최적화할 변수가 아니며, 최적화하는 동안 고정될 값입니다. 예를 들어, 다음과 같이 로젠브록 유형의 함수에 파라미터 a가 있다고 가정하겠습니다.
이 함수는 , 에서 최솟값 0을 가집니다. 예를 들어, 인 경우 익명 함수를 만들어서 목적 함수에 이 파라미터를 포함할 수 있습니다.
추가 파라미터를 추가 인수로 지정하여 목적 함수를 만듭니다.
f = @(x,a)100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (a-x(1))^2;
이 파라미터를 MATLAB® 작업 공간에 넣습니다.
a = 3;
파라미터의 작업 공간 값을 포함하는 x 단독의 익명 함수를 만듭니다.
fun = @(x)f(x,a);
x0 = [-1,1.9]에서 시작하여 문제를 풉니다.
x0 = [-1,1.9]; x = fminsearch(fun,x0)
x = 1×2
3.0000 9.0000
목적 함수에 추가 파라미터를 사용하는 방법에 대한 자세한 내용은 함수를 파라미터화하기 항목을 참조하십시오.
fminsearch를 사용하여 목적 함수의 최솟값 위치와 그 최솟값을 모두 구합니다.
변수가 3개인 문제를 위한 익명 목적 함수를 작성합니다.
x0 = [1,2,3]; fun = @(x)-norm(x+x0)^2*exp(-norm(x-x0)^2 + sum(x));
x0에서 시작하여 fun의 최솟값을 갖는 위치를 구합니다. 최솟값도 구합니다.
[x,fval] = fminsearch(fun,x0)
x = 1×3
1.5359 2.5645 3.5932
fval = -5.9565e+04
최적화가 실행 중일 때와 마친 후에 모두 최적화의 결과를 검사합니다.
반복을 표시하도록 옵션을 설정합니다. 이렇게 하면 솔버 실행에 따른 최적화 정보를 제공받게 됩니다. 또한, 솔버 실행 시 목적 함수 값을 표시하도록 플롯 함수를 설정합니다.
options = optimset('Display','iter','PlotFcns',@optimplotfval);
목적 함수와 시작점을 설정합니다.
function f = objectivefcn1(x) f = 0; for k = -10:10 f = f + exp(-(x(1)-x(2))^2 - 2*x(1)^2)*cos(x(2))*sin(2*x(2)); end
objectivefcn1에 대한 코드를 MATLAB® 경로에 파일로 포함시킵니다.
x0 = [0.25,-0.25]; fun = @objectivefcn1;
모든 솔버 출력값을 가져옵니다. 솔버가 동작을 마친 후 이러한 출력값을 사용하여 결과를 검사합니다.
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(fun,x0,options)
Iteration Func-count f(x) Procedure
0 1 -6.70447
1 3 -6.89837 initial simplex
2 5 -7.34101 expand
3 7 -7.91894 expand
4 9 -9.07939 expand
5 11 -10.5047 expand
6 13 -12.4957 expand
7 15 -12.6957 reflect
8 17 -12.8052 contract outside
9 19 -12.8052 contract inside
10 21 -13.0189 expand
11 23 -13.0189 contract inside
12 25 -13.0374 reflect
13 27 -13.122 reflect
14 28 -13.122 reflect
15 29 -13.122 reflect
16 31 -13.122 contract outside
17 33 -13.1279 contract inside
18 35 -13.1279 contract inside
19 37 -13.1296 contract inside
20 39 -13.1301 contract inside
21 41 -13.1305 reflect
22 43 -13.1306 contract inside
23 45 -13.1309 contract inside
24 47 -13.1309 contract inside
25 49 -13.131 reflect
26 51 -13.131 contract inside
27 53 -13.131 contract inside
28 55 -13.131 contract inside
29 57 -13.131 contract outside
30 59 -13.131 contract inside
31 61 -13.131 contract inside
32 63 -13.131 contract inside
33 65 -13.131 contract outside
34 67 -13.131 contract inside
35 69 -13.131 contract inside
Optimization terminated:
the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04
and F(X) satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-04
x =
-0.1696 -0.5086
fval =
-13.1310
exitflag =
1
output =
struct with fields:
iterations: 35
funcCount: 69
algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'
message: 'Optimization terminated:↵ the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04 ↵ and F(X) satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-04 ↵'
exitflag 값이 1이며, 이는 fminsearch가 국소 최솟값으로 수렴될 가능성이 있다는 의미입니다.
output 구조체는 반복 횟수를 표시합니다. 반복 표시와 플롯도 이 정보를 표시합니다. output 구조체는 반복 표시가 보여주는 함수 실행 횟수도 표시하지만, 선택한 플롯 함수는 이를 표시하지 않습니다.
입력 인수
출력 인수
세부 정보
일반적으로 최적화 솔버는 국소 최솟값(또는 최적값)을 반환합니다. 결과는 전역 최솟값(또는 최적값)일 수 있지만 그렇지 않을 수도 있습니다.
함수의 국소 최솟값은 함수 값이 인근 점에서의 값보다 작지만 멀리 있는 점에서의 값보다는 클 수 있는 점입니다.
전역 최솟값은 함수 값이 다른 모든 실현가능점에서의 값보다 작은 점입니다.
MATLAB 및 Optimization Toolbox™ 최적화 솔버는 일반적으로 국소 최솟값을 반환합니다. Global Optimization Toolbox 솔버는 전역 최솟값을 탐색할 수 있지만 해가 전역해라는 것을 보장하지는 않습니다. 전역 탐색에 대한 예제를 보려면 Find Global or Multiple Local Minima (Global Optimization Toolbox) 항목을 참조하십시오.
팁
fminsearch는 실수에 대해서만 최소화합니다. 즉, 벡터 또는 배열 x는 실수로만 구성되어야 하고 f(x)는 실수만 반환해야 합니다. x가 복소수 값을 갖는 경우 x를 실수부와 허수부로 분할하십시오.fminsearch를 사용하여 미분 불가능한 문제나 불연속이 있는 문제를 푸십시오. 특히 해 근처에서 불연속이 발생하지 않는 경우 권장됩니다.
알고리즘
fminsearch는 Lagarias 등 [1]의 단체(Simplex) 탐색 메서드를 사용합니다. 이는 fminunc (Optimization Toolbox)에서처럼 수치 또는 분석 기울기를 사용하지 않는 직접 탐색 메서드입니다. 이 알고리즘에 대한 자세한 내용은 fminsearch 알고리즘 항목을 참조하십시오. 이 알고리즘이 국소 최솟값으로 수렴할 것이라는 보장은 없습니다.
대체 기능
앱
최적화 라이브 편집기 작업은 fminsearch에 대한 시각적 인터페이스를 제공합니다.
참고 문헌
[1] Lagarias, J. C., J. A. Reeds, M. H. Wright, and P. E. Wright. “Convergence Properties of the Nelder-Mead Simplex Method in Low Dimensions.” SIAM Journal of Optimization. Vol. 9, Number 1, 1998, pp. 112–147.
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