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sigma

동적 시스템의 특이값 플롯

구문

sigma(sys)

sigma(sys1,sys2,...,sysN)

sigma(sys1,LineSpec1,...,sysN,LineSpecN)

sigma(___,w)

sigma(___,type)

[sv,wout] = sigma(sys)

[sv,wout] = sigma(sys,w)

설명

sigma(sys)는 동적 시스템 모델 sys의 주파수 응답의 특이값을 플로팅합니다. sigma는 시스템 동특성을 기반으로 플로팅할 주파수를 자동으로 결정합니다.

sys가 SISO(단일 입력 단일 출력) 모델인 경우 특이값 플롯은 보드 크기 응답과 유사합니다.

sys가 Nu개의 입력과 Ny개의 출력이 있는 MIMO(다중 입력 다중 출력) 모델인 경우 특이값 플롯은 주파수 응답 행렬의 각 특이값에 대응하는 min(Nu,Ny)개의 선을 플롯에 표시합니다. MIMO 시스템의 경우 특이값 플롯은 보드 크기 응답을 확장하며 강인성 분석에 유용합니다.

sys가 복소 계수를 갖는 모델인 경우

• 로그 주파수 스케일에서, 플롯에는 양수 주파수에 대해 하나, 음수 주파수에 대해 하나, 이렇게 두 개의 분기가 표시됩니다. 또한 플롯에는 각 분기에 대한 주파수 값의 증가 방향을 나타내는 화살표도 표시됩니다. 복소 계수를 갖는 모델의 특이값 플롯 항목을 참조하십시오.

• 선형 주파수 스케일에서, 플롯에는 주파수 값 0을 중심으로 하는 대칭 주파수 범위를 갖는 하나의 분기가 표시됩니다.

sigma(sys1,sys2,...,sysN)은 여러 동적 시스템의 특이값 응답을 동일한 플롯에 플로팅합니다. 모든 시스템은 동일한 개수의 입력과 출력을 가져야 합니다.

sigma(sys1,LineSpec1,...,sysN,LineSpecN)은 플롯에 있는 각 시스템의 색, 선 스타일, 마커를 지정합니다.

sigma(___,w)는 w로 지정된 주파수에 대한 시스템 응답의 특이값을 플로팅합니다.

• w가 {wmin,wmax} 형식의 셀형 배열인 경우 sigma는 wmin과 wmax 사이의 주파수에서 응답을 플로팅합니다.

• w가 주파수로 구성된 벡터인 경우 sigma는 지정된 각 주파수에서의 응답을 플로팅합니다. 벡터 w에는 음수 주파수와 양수 주파수가 모두 포함될 수 있습니다.

w와 위에 열거된 구문에 나와 있는 입력 인수를 원하는 대로 조합하여 사용할 수 있습니다.

sigma(___,type)은 type 인수를 기반으로 수정된 특이값 응답을 플로팅합니다. type을 다음과 같이 지정하십시오.

• 1, 주파수 응답 H^-1의 특이값을 플로팅합니다. 여기서 H는 sys의 주파수 응답입니다.

• 2, 주파수 응답 I+H의 특이값을 플로팅합니다.

• 3, 주파수 응답 I+H^-1의 특이값을 플로팅합니다.

type 인수는 정사각 시스템, 즉 입력과 출력의 수가 같은 시스템에만 사용할 수 있습니다.

[sv,wout] = sigma(sys)는 벡터 wout의 각 주파수에서 응답의 특이값을 반환합니다. 출력 sv는 행렬이며, 값 sv(:,k)는 주파수 wout(k)에서의 특이값을 내림차순으로 제공합니다. 함수는 시스템 동특성을 기준으로 wout의 주파수를 자동으로 파악합니다. 이 구문은 플롯을 그리지 않습니다.

[sv,wout] = sigma(sys,w)는 w로 지정된 주파수에서의 특이값 sv를 반환합니다.

• w가 {wmin,wmax} 형식의 셀형 배열인 경우 wout은 wmin과 wmax 사이의 주파수를 포함합니다.

• w가 주파수로 구성된 벡터인 경우 wout = w입니다.

예제

동적 시스템의 특이값 플롯

다음 연속시간 SISO 동적 시스템의 특이값 플롯을 만듭니다.

$$\mathit{H}\left(\mathit{s}\right)=\frac{{\mathit{s}}^2+0.1\mathit{s}+7.5}{{\mathit{s}}^4+0.12{\mathit{s}}^3+9{\mathit{s}}^2}$$

H = tf([1 0.1 7.5],[1 0.12 9 0 0]);
sigma(H)

sigma는 시스템 동특성을 기반으로 플롯 범위를 자동으로 선택합니다.

특정 주파수에서의 시그마 플롯

특정 주파수 범위에 대해 특이값 플롯을 만듭니다. 특정 주파수 범위의 동특성에 집중하려면 이 접근 방식을 사용하십시오.

H = tf([-0.1,-2.4,-181,-1950],[1,3.3,990,2600]);
sigma(H,{1,100})
grid on

셀형 배열 {1,100}은 플롯의 최소 주파수 값과 최대 주파수 값을 지정합니다. 이런 방식으로 주파수 범위를 제공하면 함수가 주파수 응답 데이터를 위한 중간 점을 선택합니다.

또는 주파수 응답을 계산하고 플로팅하기 위해 사용할, 주파수 점으로 구성된 벡터를 지정하는 방법도 있습니다.

w = [1 5 10 15 20 23 31 40 44 50 85 100];
sigma(H,w,'.-')
grid on

sigma는 지정된 주파수에서만 주파수 응답을 플로팅합니다.

여러 동적 시스템의 특이값 플롯 비교하기

연속시간 시스템의 주파수 응답을 같은 특이값 플롯에 있는 동급의 이산화된 시스템과 비교합니다.

연속시간 동적 시스템과 이산시간 동적 시스템을 만듭니다.

H = tf([1 0.1 7.5],[1 0.12 9 0 0]);
Hd = c2d(H,0.5,'zoh');

두 시스템을 모두 표시하는 플롯을 만듭니다.

sigma(H,Hd)
legend("Continuous","Discrete")

이산시간 시스템의 sigma 플롯에는 시스템의 나이퀴스트 주파수를 표시하는 세로선이 있습니다.

특정 선 특성을 갖는 특이값 플롯

LineSpec 입력 인수를 사용하여 sigma 플롯에 있는 각 시스템에 대해 선 스타일, 색 또는 마커를 지정합니다.

H = tf([1 0.1 7.5],[1 0.12 9 0 0]);
Hd = c2d(H,0.5,'zoh');
sigma(H,'r',Hd,'b--')

첫 번째 LineSpec 'r'은 H의 응답에 대해 빨간색 실선을 지정합니다. 두 번째 LineSpec 'b--'는 Hd의 응답에 대해 파란색 파선을 지정합니다.

특이값 데이터 구하기

SISO 시스템의 주파수 응답의 특이값을 계산합니다.

주파수를 지정하지 않으면 sigma는 시스템 동특성을 기반으로 주파수를 선택하고 이를 두 번째 출력 인수에 반환합니다.

H = tf([1 0.1 7.5],[1 0.12 9 0 0]);
[sv,wout] = sigma(H);

H는 SISO 모델이므로 sv의 첫 번째 차원은 1입니다. 두 번째 차원은 wout에 있는 주파수의 개수입니다.

size(sv)

ans = 1×2

     1    40

length(wout)

ans = 40

따라서 sv의 두 번째 차원의 각 요소는 대응하는 주파수에서의 응답의 특이값을 wout에 제공합니다.

MIMO 시스템의 특이값

이 예제에서는 2-출력 3-입력 시스템을 만듭니다.

rng(0,'twister'); % For reproducibility
H = rss(4,2,3);

이 시스템의 경우 sigma는 동일한 플롯에 주파수 응답 행렬의 특이값을 플로팅합니다.

sigma(H)

1라디안과 10라디안 사이의 20개 주파수에서 특이값을 계산합니다.

w = logspace(0,1,20);
sv = sigma(H,w);

sv는 행렬로, 행은 주파수 응답 행렬의 특이값에 해당하고, 열은 주파수 값입니다. 차원을 검토합니다.

size(sv)

ans = 1×2

     2    20

예를 들어 sv(:,10)은 w의 10번째 주파수에서 계산된 응답의 특이값입니다.

특이값 계산 및 플로팅하기

다음과 같은 2-입력 2-출력 동적 시스템이 있다고 가정하겠습니다.

$$H(s)=\left[\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{3s}{s^2+s+10}}\\ {\displaystyle \frac{s+1}{s+5}}& {\displaystyle \frac{2}{s+6}}\end{array}\right].$$

H(s) 및 I + H(s)의 특이값 응답을 계산합니다.

H = [0, tf([3 0],[1 1 10]) ; tf([1 1],[1 5]), tf(2,[1 6])];
[svH,wH] = sigma(H);
[svIH,wIH] = sigma(H,[],2);

마지막 명령에서 입력 2는 두 번째 응답 유형인 I + H(s)를 선택합니다. 벡터 svH 및 svIH에는 wH 및 wIH의 주파수에서의 특이값 응답 데이터가 포함됩니다.

두 시스템의 특이값 응답을 플로팅합니다.

subplot(211)
sigma(H)
subplot(212)
sigma(H,[],2)

복소 계수를 갖는 모델의 특이값 플롯

동일한 플롯에 복소 계수를 갖는 모델과 실수 계수를 갖는 모델의 특이값 플롯을 만듭니다.

rng(0)
A = [-3.50,-1.25-0.25i;2,0];
B = [1;0];
C = [-0.75-0.5i,0.625-0.125i];
D = 0.5;
Gc = ss(A,B,C,D);
Gr = rss(4);
sigma(Gc,Gr)
legend('Complex-coefficient model','Real-coefficient model')

로그 주파수 스케일에서 플롯에는 복소 계수를 갖는 모델에 대해 두 개의 분기가 표시되는데, 하나는 오른쪽을 가리키는 화살표가 있는 양수 주파수에 대한 것이고 다른 하나는 왼쪽을 가리키는 화살표가 있는 음수 주파수에 대한 것입니다. 두 분기에서 화살표는 주파수가 증가하는 방향을 나타냅니다. 실수 계수가 있는 모델의 플롯에는 항상 화살표가 없는 단일 분기가 포함됩니다.

플롯을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 속성을 선택하여 플롯의 주파수 스케일을 변경할 수 있습니다. 속성 편집기 대화 상자의 단위 탭에서 주파수 스케일을 linear scale로 설정합니다. 또는 sigmaplot 함수를 sigmaoptions 객체와 함께 사용하여 사용자 지정된 플롯을 만들 수 있습니다.

opt = sigmaoptions;
opt.FreqScale = 'Linear';

사용자 지정된 옵션을 사용하여 플롯을 만듭니다.

sigmaplot(Gc,Gr,opt)
legend('Complex-coefficient model','Real-coefficient model')

선형 주파수 스케일에서, 플롯에는 주파수 값 0을 중심으로 하는 대칭 주파수 범위를 갖는 단일 분기가 표시됩니다. 또한 복소 계수가 있는 모델과 함께 응답을 플로팅할 때 플롯에는 실수 계수가 있는 모델의 음수 주파수 응답도 표시됩니다.

입력 인수

sys — 동적 시스템

동적 시스템 모델 | 모델 배열

동적 시스템으로, SISO 또는 MIMO 동적 시스템 모델로 지정되거나 동적 시스템 모델로 구성된 배열로 지정됩니다. 사용 가능한 동적 시스템에는 다음이 포함됩니다.

• 연속시간 또는 이산시간 수치적 LTI 모델(예: tf, zpk, ss 모델).

• 일반화된 모델 또는 불확실 LTI 모델(예: genss, uss (Robust Control Toolbox) 모델). (불확실 모델을 사용하려면 Robust Control Toolbox™가 필요합니다.)

  • 조정 가능한 제어 설계 블록의 경우, 이 함수는 주파수 응답 데이터를 플로팅할 때 및 반환할 때 모두 현재 값에서 모델을 실행합니다.

  • 불확실한 제어 설계 블록의 경우, 이 함수는 모델의 공칭 값과 임의 샘플을 플로팅합니다. 출력 인수를 사용할 경우, 이 함수는 공칭 모델에 대해서만 주파수 응답 데이터를 반환합니다.

• 주파수 응답 데이터 모델(예: frd 모델). 이러한 모델의 경우, 이 함수는 모델에서 정의된 주파수에서 응답을 플로팅합니다.

• 식별된 LTI 모델(예: idtf (System Identification Toolbox), idss (System Identification Toolbox), idproc (System Identification Toolbox) 모델). 식별된 모델을 사용하려면 System Identification Toolbox™가 필요합니다.

sys가 모델로 구성된 배열인 경우 함수는 배열의 모든 모델의 주파수 응답을 동일한 좌표축에 플로팅합니다.

LineSpec — 선 스타일, 마커, 색

문자형 벡터 | string형

선 스타일, 마커 및 색으로, string형이나 1개, 2개 또는 3개의 문자로 구성된 벡터로 지정됩니다. 문자는 어떤 순서로 지정해도 좋습니다. 세 가지 특성(선 스타일, 마커, 색)을 모두 지정할 필요는 없습니다. 예를 들어 선 스타일을 생략하고 마커를 지정하면 플롯은 마커만 표시하고 선은 표시하지 않습니다. 이 인수를 구성하는 방법에 대한 자세한 내용은 plot 함수의 LineSpec 입력 인수를 참조하십시오.

예: 'r--'은 빨간색 파선을 지정합니다.

예: '*b'는 파란색 별표 마커를 지정합니다.

예: 'y'는 노란색 선을 지정합니다.

w — 주파수

{wmin,wmax} | 벡터

주파수 응답을 계산하고 플로팅할 주파수로, 셀형 배열 {wmin,wmax} 또는 주파수 값으로 구성된 벡터로 지정됩니다.

• w가 {wmin,wmax} 형식의 셀형 배열인 경우 함수는 wmin과 wmax 사이의 주파수에서 응답을 계산합니다.

• w가 주파수로 구성된 벡터인 경우 함수는 지정된 각 주파수에서 응답을 계산합니다. 예를 들어, logspace를 사용하여 로그 간격의 주파수 값을 갖는 행 벡터를 생성할 수 있습니다. 벡터 w에는 양수 주파수와 음수 주파수가 모두 포함될 수 있습니다.

복소 계수를 갖는 모델인 경우, 플롯에 대해 주파수 범위 [w_min,w_max]를 지정하면

• 로그 주파수 스케일에서, 플롯 주파수 제한이 [w_min,w_max]로 설정되며 플롯에는 양수 주파수 [w_min,w_max]에 대해 하나, 음수 주파수 [–w_max,–w_min]에 대해 하나, 이렇게 두 개의 분기가 표시됩니다.

• 선형 주파수 스케일에서, 플롯 주파수 제한이 [–w_max,w_max]로 설정되며 플롯에는 주파수 값 0을 중심으로 하는 대칭 주파수 범위를 갖는 단일 분기가 표시됩니다.

주파수는 rad/TimeUnit 단위로 지정합니다. 여기서 TimeUnit은 모델의 TimeUnit 속성입니다.

type — 수정된 특이값을 플로팅하는 옵션

1 | 2 | 3

수정된 특이값을 플로팅하는 옵션으로, 다음 옵션 중 하나로 지정됩니다.

• 1, 주파수 응답 H^-1의 특이값을 플로팅합니다. 여기서 H는 sys의 주파수 응답입니다.

• 2, 주파수 응답 I+H의 특이값을 플로팅합니다.

• 3, 주파수 응답 I+H^-1의 특이값을 플로팅합니다.

type 인수는 정사각 시스템, 즉 입력과 출력의 수가 같은 시스템에만 사용할 수 있습니다.

출력 인수

sv — 주파수 응답의 특이값

행렬

절대 단위로 표현한 주파수 응답의 특이값으로, 행렬로 반환됩니다. sv는 제공된 경우 주파수 w 또는 제공되지 않은 경우 주파수 wout에서 계산된 특이값을 포함합니다. Nu개 입력과 Ny개 출력이 있는 시스템 sys의 경우 sv에는 min(Nu,Ny)개 행과 w 또는 wout에 있는 값만큼의 열이 있습니다.

wout — 주파수

벡터

함수가 시스템 응답을 반환하는 주파수로, 열 벡터로 반환됩니다. 함수는 사용자가 입력 인수 w를 사용하여 주파수를 지정하지 않은 이상 모델 동특성을 기준으로 주파수 값을 선택합니다.

또한 wout에는 복소 계수를 갖는 모델에 대한 음수 주파수 값도 포함되어 있습니다.

주파수 값의 단위는 TimeUnit당 라디안입니다. 여기서 TimeUnit은 sys의 TimeUnit 속성의 값입니다.

팁

• 플롯 사용자 지정 옵션이 추가로 필요하면 대신 sigmaplot을 사용하십시오.

알고리즘

sigma는 MATLAB^® 함수 svd를 사용하여 복소 주파수 응답의 특이값을 계산합니다.

• frd 모델의 경우 sigma는 주파수 sys.Frequency에서 sys.ResponseData의 특이값을 계산합니다.

• 전달 함수 H(s)를 갖는 연속시간 tf 모델, ss 모델 또는 zpk 모델의 경우 sigma는 H(jω)의 특이값을 주파수 ω의 함수로 계산합니다.

• 전달 함수 H(z) 및 샘플 시간 T_s를 갖는 이산시간 tf 모델, ss 모델 또는 zpk 모델의 경우 sigma는 다음의 특이값을 계산합니다.

  $$H\left(e^{j\omega T_s}\right)$$

  이때 주파수 ω는 0과 나이퀴스트 주파수 ω_N = π/T_s 사이에 있습니다.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

sigmaplot | freqresp | nyquist | bode

도움말 항목

• 주파수 영역 응답
• 동적 시스템 모델