fourier

기호 표현식의 푸리에 변환

구문

FT = fourier(f)

FT = fourier(f,transVar)

FT = fourier(f,var,transVar)

설명

FT = fourier(f)는 f의 푸리에 변환을 계산합니다. 기본적으로 함수 symvar은 독립 변수를 결정하며 w는 변환 변수입니다.

FT = fourier(f,transVar)은 w 대신 transVar을 변환 변수로 사용합니다.

FT = fourier(f,var,transVar)은 symvar(f,1)와 w 대신 독립 변수 var과 변환 변수 transVar을 각각 사용합니다.

예제

흔히 쓰이는 입력값에 대한 푸리에 변환

흔히 쓰이는 입력값에 대한 푸리에 변환을 계산합니다. 기본적으로 이 변환은 w에 대한 식이 됩니다.

사각 펄스 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

syms a b t
f = rectangularPulse(a,b,t);
FT = fourier(f)

FT = 
$$-\frac{\sin \left(a\hspace{0.17em}w\right)+\cos \left(a\hspace{0.17em}w\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{w}+\frac{\sin \left(b\hspace{0.17em}w\right)+\cos \left(b\hspace{0.17em}w\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{w}$$

단위 임펄스(디랙 델타 함수)의 푸리에 변환을 구합니다.

f = dirac(t);
FT = fourier(f)

FT = $$1$$

절댓값 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

f = a*abs(t);
FT = fourier(f)

FT = 
$$-\frac{2\hspace{0.17em}a}{w^2}$$

계단 함수(헤비사이드 함수)의 푸리에 변환을 구합니다.

f = heaviside(t);
FT = fourier(f)

FT = 
$$\pi \hspace{0.17em}\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(w\right)-\frac{\mathrm{i}}{w}$$

상수의 푸리에 변환을 구합니다.

f = a;
FT = fourier(f)

FT = $$2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}}^{\prime }\left(w\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}$$

코사인 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

f = a*cos(b*t);
FT = fourier(f)

FT = $$\pi \hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(b+w\right)+\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(b-w\right)\right)$$

사인 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

f = a*sin(b*t);
FT = fourier(f)

FT = $$\pi \hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(b+w\right)-\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(b-w\right)\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}$$

부호 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

f = sign(t);
FT = fourier(f)

FT = 
$$-\frac{2\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{w}$$

아무런 가정 없이 우측 지수 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

f = exp(-t*abs(a))*heaviside(t);
FT = fourier(f)

FT = 
$$\frac{1}{\left|a\right|+w\hspace{0.17em}\mathrm{i}}-\left(\frac{\mathrm{sign}\left(\left|a\right|\right)}{2}-\frac{1}{2}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{fourier}\left({\mathrm{e}}^{-t\hspace{0.17em}\left|a\right|},t,w\right)$$

a > 0라고 가정하고 우측 지수 함수의 푸리에 변환을 구합니다. 푸리에 변환을 계산한 후 가정을 지웁니다.

assume(a > 0)
FTwithAssumption = fourier(f)

FTwithAssumption = 
$$\frac{1}{a+w\hspace{0.17em}\mathrm{i}}$$

assume(a,"clear")

a > 0라고 가정하고 양면 지수 함수의 푸리에 변환을 구합니다. 푸리에 변환을 계산한 후 가정을 지웁니다.

assume(a > 0)
f = exp(-a*t^2);
FTwithAssumption = fourier(f)

FTwithAssumption = 
$$\frac{\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{w^2}{4\hspace{0.17em}a}}}{\sqrt{a}}$$

assume(a,"clear")

b와 c가 실수라고 가정하고 가우스 함수의 푸리에 변환을 구합니다. 푸리에 변환을 계산한 후 결과를 단순화하고 가정을 지웁니다.

syms c
assume([b c],"real")
f = a*exp(-(t-b)^2/(2*c^2));
FT = fourier(f);
FTsimplified = simplify(FT)

FTsimplified = 
$$\sqrt{2}\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{w\hspace{0.17em}\left(w\hspace{0.17em}{c}^2+2\hspace{0.17em}b\hspace{0.17em}\mathrm{i}\right)}{2}}\hspace{0.17em}\left|c\right|$$

assume([b c],"clear")

nu = 1를 사용하여 제1종 베셀 함수의 푸리에 변환을 구합니다. 결과를 단순화합니다.

syms x
f = besselj(1,x);
FT = fourier(f);
FTsimplified = simplify(FT)

FTsimplified = 
$$-\frac{2\hspace{0.17em}w\hspace{0.17em}\mathrm{rectangularPulse}\left(-1,1,-w\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{\sqrt{1-w^2}}$$

독립 변수 및 변환 변수 지정하기

exp(-t^2-x^2)의 푸리에 변환을 구합니다. 기본적으로 symvar은 독립 변수를 결정하고 w는 변환 변수입니다. 여기서 symvar은 x를 선택합니다.

syms t x
f = exp(-t^2-x^2);
FT = fourier(f)

FT = 
$$\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-t^2-\frac{w^2}{4}}$$

변환 변수를 y로 지정합니다. 변수를 하나만 지정한 경우 해당 변수는 변환 변수가 됩니다. symvar이 계속 독립 변수를 결정합니다.

syms y
FT = fourier(f,y)

FT = 
$$\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-t^2-\frac{y^2}{4}}$$

독립 변수와 변환 변수를 각각 t와 y로 지정합니다.

FT = fourier(f,t,y)

FT = 
$$\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-x^2-\frac{y^2}{4}}$$

사각 펄스와 해당 푸리에 변환 플로팅하기

시작점이 -1/2이고 끝점이 1/2인 사각 펄스를 생성합니다.

syms t
f1 = rectangularPulse(-1/2,1/2,t);

푸리에 변환을 구합니다. 결과를 단순화합니다. 여기서 푸리에 변환은 실수 부분만 포함합니다.

FT1 = fourier(f1);
FT1 = simplify(FT1)

FT1 = 
$$\frac{2\hspace{0.17em}\sin \left(\frac{w}{2}\right)}{w}$$

fplot를 사용하여 2x2 타일 차트 레이아웃에 사각 펄스를 플로팅합니다. 푸리에 변환의 실수부와 허수부를 플로팅합니다.

tiledlayout(2,2)

nexttile
fplot(f1)
xlabel("$t$",Interpreter="latex")
ylabel("$f(t)$",Interpreter="latex")
title("Rectangular Pulse")

nexttile
fplot(real(FT1),[-50 50])
hold on
fplot(imag(FT1),[-50 50])
xlabel("$w$",Interpreter="latex")
ylabel("FT($w$)",Interpreter="latex")
title("Fourier Transform")
legend("Re(FT)","Im(FT)",Location="northeastoutside")

다음으로, 시작점이 0이고 끝점이 1인 또 다른 사각 펄스를 생성합니다.

f2 = rectangularPulse(0,1,t);

푸리에 변환을 구합니다. 여기서 푸리에 변환은 실수부와 허수부를 모두 포함합니다.

FT2 = fourier(f2)

FT2 = 
$$\frac{\sin \left(w\right)+\cos \left(w\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{w}-\frac{\mathrm{i}}{w}$$

사각 펄스를 플로팅합니다. 푸리에 변환의 실수부와 허수부를 플로팅합니다.

nexttile
fplot(f2)
xlabel("$t$",Interpreter="latex")
ylabel("$f(t)$",Interpreter="latex")

nexttile
fplot(real(FT2),[-50 50])
hold on
fplot(imag(FT2),[-50 50])
xlabel("$w$",Interpreter="latex")
ylabel("FT($w$)",Interpreter="latex")
legend("Re(FT)","Im(FT)",Location="northeastoutside")

디랙 함수 및 헤비사이드 함수와 관련된 푸리에 변환

t^3의 푸리에 변환을 구합니다. 결과는 디랙 델타 함수의 3계 도함수로 표현됩니다.

syms t w
FT = fourier(t^3,t,w)

FT = $$-2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}}^{\prime \prime \prime }\left(w\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}$$

t0에서 불연속을 갖는 헤비사이드 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

syms t0
FT = fourier(heaviside(t - t0),t,w)

FT = 
$${\mathrm{e}}^{-t_0\hspace{0.17em}w\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\left(\pi \hspace{0.17em}\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(w\right)-\frac{\mathrm{i}}{w}\right)$$

푸리에 변환 파라미터 지정하기

세부 정보 섹션에 설명된 대로 $$c$$와 $$s$$는 푸리에 변환의 파라미터입니다. 기본적으로 fourier 함수는 $$c=1$$과 $$s=-1$$을 사용합니다. 하지만 sympref를 사용하여 해당 파라미터 값을 변경할 수 있습니다.

푸리에 파라미터의 디폴트 값을 사용하여 t*exp(-t^2)의 푸리에 변환을 계산합니다.

syms t w
f = t*exp(-t^2);
FT = fourier(f,t,w)

FT = 
$$-\frac{w\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{w^2}{4}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}$$

sympref를 사용하여 푸리에 파라미터를 c = 1과 s = 1로 변경하고 변환을 다시 계산합니다. 결과가 다음과 같이 변경됩니다.

sympref("FourierParameters",[1 1]);
FT = fourier(f,t,w)

FT = 
$$\frac{w\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{w^2}{4}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}$$

푸리에 파라미터를 c = 1/(2*pi)와 s = 1로 변경하고 변환을 다시 계산합니다. 결과가 다음과 같이 변경됩니다.

sympref("FourierParameters",[1/(2*sym(pi)) 1]);
FT = fourier(f,t,w)

FT = 
$$\frac{w\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{w^2}{4}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }}$$

sympref를 사용하여 설정한 기호 설정은 현재 세션뿐만 아니라 이후의 MATLAB® 세션까지 계속 적용됩니다. FourierParameters를 "default"로 설정하여 c와 s의 디폴트 값을 복원합니다.

sympref("FourierParameters","default");

배열 입력값을 사용한 푸리에 변환

행렬 M의 푸리에 변환을 구합니다. 동일한 크기의 행렬을 사용하여 각 행렬 요소에 대한 독립 변수와 변환 변수를 지정합니다. 인수가 스칼라가 아닌 경우, fourier는 해당 인수에 대해 요소별로 작동합니다.

syms a b c d w x y z
M = [exp(x) 1; sin(y) 1i*z];
vars = [w x; y z];
transVars = [a b; c d];
FT = fourier(M,vars,transVars)

FT = 
$$\left(\begin{array}{cc}2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\hspace{0.17em}\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(a\right)& 2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(b\right)\\ -\pi \hspace{0.17em}\left(\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(c-1\right)-\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(c+1\right)\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}& -2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}}^{\prime }\left(d\right)\end{array}\right)$$

fourier를 스칼라 및 비 스칼라 인수와 함께 호출한 경우 이 함수는 비 스칼라 인수와 일치하도록 스칼라 인수를 확장합니다. 비 스칼라 인수는 크기가 동일해야 합니다.

FT = fourier(x,vars,transVars)

FT = 
$$\left(\begin{array}{cc}2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(a\right)& 2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}}^{\prime }\left(b\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ 2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(c\right)& 2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\delta \text{<a href="matlab:doc symbolic/dirac">dirac</a>}\left(d\right)\end{array}\right)$$

계산 불가능한 푸리에 변환

fourier는 입력값을 변환할 수 없는 경우, 실행되지 않은 호출을 그대로 반환합니다.

syms f(t) w
FT = fourier(f,t,w)

FT = $$\mathrm{fourier}\left(f\left(t\right),t,w\right)$$

ifourier를 사용하면 원래의 표현식이 반환됩니다.

f = ifourier(FT,w,t)

f = $$f\left(t\right)$$

2차원 푸리에 변환

각 독립 변수에 일련의 1차원 푸리에 변환을 독립적으로 적용하여 2차원 푸리에 변환을 구합니다.

이 예제에서는 2차원 푸리에 변환 공식이 다음과 같이 되도록 푸리에 파라미터를 $$c=1$$ 및 $$s=2\pi$$로 설정합니다.

$\mathit{F}\left(\mathit{u},\mathit{v}\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mathit{f}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){\mathit{e}}^{\mathit{i}\left(\mathit{2}\pi \mathrm{ux}+\mathit{2}\pi \mathrm{vy}\right)}\mathit{dx}\mathit{dy}$.

sympref를 사용하여 이러한 파라미터를 지정할 수 있습니다.

sympref("FourierParameters",[1 2*sym(pi)]);

원점에 위치하고 너비가 a, 높이가 b인 2차원 단위 직사각형의 2차원 푸리에 변환을 구합니다. 변수 $$x$$에 대한 1차원 푸리에 변환을 수행한 다음, 변수 $$y$$에 대한 변환을 수행합니다. 결과를 단순화합니다.

syms x y a b real
f(x,y) = rectangularPulse(-a/2,a/2,x)*rectangularPulse(-b/2,b/2,y);
syms u v
FT = fourier(f,x,u);
FT = fourier(FT,y,v);
FT = simplify(FT)

FT = 
$$\frac{\sin \left(\pi \hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}u\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\pi \hspace{0.17em}b\hspace{0.17em}v\right)}{u\hspace{0.17em}v\hspace{0.17em}{\pi }^2}$$

표준편차가 $$\sigma$$이고 $$x$$ 및 $$y$$ 방향 모두에서 2차원 가우스 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

syms sigma real
f(x,y) = 1/2/sym(pi)/sigma^2*exp((-x^2-y^2)/2/sigma^2);
syms u v
FT = fourier(f,x,u);
FT = fourier(FT,y,v);
FT = simplify(FT)

FT = $${\mathrm{e}}^{-2\hspace{0.17em}{\sigma }^2\hspace{0.17em}{\pi }^2\hspace{0.17em}\left(u^2+v^2\right)}$$

$$(x,y)=(0,a)$$와 $$(x,y)=(0,-a)$$에 위치한 두 점 소스의 푸리에 변환을 구합니다.

f(x,y) = 1/2*dirac(x)*(dirac(y-a)+dirac(y+a));
FT = fourier(f,x,u);
FT = fourier(FT,y,v);
FT = simplify(FT)

FT = $$\cos \left(2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}v\right)$$

단위원형 개구의 푸리에 변환을 구합니다. heaviside 함수를 사용하여 단위원 을 정의합니다.

f(x,y) = heaviside(x^2+y^2-1);
FT = fourier(f,x,u);
FT = fourier(FT,y,v)

FT = $$\mathrm{fourier}\left(\mathrm{fourier}\left(\mathrm{heaviside}\left(x^2+y^2-1\right),x,u\right),y,v\right)$$

여기서 fourier 함수는 입력 함수를 변환할 수 없고 실행되지 않은 호출을 그대로 반환합니다. 대안으로, fft2 함수를 사용하여 2차원 푸리에 변환을 수치적으로 구할 수 있습니다. 원형 개구의 2차원 푸리에 변환을 구하는 방법에 대한 예제는 2차원 푸리에 변환 항목을 참조하십시오.

sympref를 사용하여 설정한 기호 설정은 현재 세션뿐만 아니라 이후의 MATLAB 세션까지 계속 적용됩니다. 디폴트 설정을 복원합니다.

sympref("default");

입력 인수

f — 입력값

기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬

입력값으로, 기호 표현식, 기호 함수, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다.

transVar — 변환 변수

w (디폴트 값) | v | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 벡터 | 기호 행렬

변환 변수로, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다. 이 변수는 종종 "빈도 변수"라고 불립니다. 기본적으로 fourier는 w를 사용합니다. w가 f의 독립 변수인 경우 fourier는 v를 사용합니다.

var — 독립 변수

symvar / f (디폴트 값) | 기호 변수 | 기호 벡터 | 기호 행렬

독립 변수로, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다. 이 변수를 흔히 "시간 변수" 또는 "공간 변수"라고 합니다. 변수를 지정하지 않으면 fourier는 함수 symvar(f,1)을 사용하여 독립 변수를 결정합니다.

세부 정보

푸리에 변환

점 w에서 변수 x에 대한 표현식 f = f(x)의 푸리에 변환은 다음과 같습니다.

$$F\left(w\right)=c{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(x\right)e^{iswx}dx},$$

여기서 c와 s는 푸리에 변환의 파라미터입니다. fourier 함수는 c = 1, s = –1을 사용합니다.

팁

• 인수가 배열인 경우 fourier는 배열의 모든 요소에 대해 각각 동작을 수행합니다.

• 첫 번째 인수에 기호 함수가 포함된 경우 두 번째 인수는 스칼라여야 합니다.

• 푸리에 역변환을 계산하려면 ifourier를 사용하십시오.

• fourier는 piecewise를 변환하지 않습니다. 대신 함수 heaviside, rectangularPulse 또는 triangularPulse를 사용하여 piecewise를 재작성해 보십시오.

참고 문헌

[1] Oberhettinger, Fritz. Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1990.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

함수

• ifourier | laplace | ilaplace | ztrans | iztrans | sympref | symvar

도움말 항목

• 푸리에 변환과 푸리에 역변환

외부 웹사이트

• Fourier Analysis(MathWorks Teaching Resources)