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laplace

라플라스 변환

구문

F = laplace(f)

F = laplace(f,transVar)

F = laplace(f,var,transVar)

설명

F = laplace(f)는 f의 라플라스 변환을 반환합니다. 기본적으로 t가 독립 변수이고 s가 변환 변수입니다.

F = laplace(f,transVar)은 s 대신 transVar을 변환 변수로 사용합니다.

F = laplace(f,var,transVar)은 t와 s 대신 독립 변수 var과 변환 변수 transVar을 각각 사용합니다.

예제

기호 표현식의 라플라스 변환

1/sqrt(x)의 라플라스 변환을 계산합니다. 기본적으로 이 변환은 s에 대한 식이 됩니다.

syms x y
f = 1/sqrt(x);
F = laplace(f)

F = 
$$\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{s}}$$

독립 변수와 변환 변수 지정하기

exp(-a*t)의 라플라스 변환을 계산합니다. 기본적으로 t가 독립 변수이고 s가 변환 변수입니다.

syms a t y
f = exp(-a*t);
F = laplace(f)

F = 
$$\frac{1}{a+s}$$

변환 변수를 y로 지정합니다. 변수를 하나만 지정하면 그 변수가 변환 변수가 됩니다. 독립 변수는 여전히 t입니다.

F = laplace(f,y)

F = 
$$\frac{1}{a+y}$$

독립 변수와 변환 변수를 두 번째 인수와 세 번째 인수에서 각각 a와 y로 지정합니다.

F = laplace(f,a,y)

F = 
$$\frac{1}{t+y}$$

디랙 함수와 헤비사이드 함수의 라플라스 변환

디랙 함수와 헤비사이드 함수의 라플라스 변환을 계산합니다.

syms t s
syms a positive
F = laplace(dirac(t-a),t,s)

F = $${\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}s}$$

F = laplace(heaviside(t-a),t,s)

F = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}s}}{s}$$

함수와 해당 도함수의 라플라스 변환 간의 관계

함수의 도함수에 대한 라플라스 변환이 함수 자체의 라플라스 변환으로 표현된다는 것을 보여줍니다.

syms f(t) s
Df = diff(f(t),t);
F = laplace(Df,t,s)

F = $$s\hspace{0.17em}\mathrm{laplace}\left(f\left(t\right),t,s\right)-f\left(0\right)$$

배열 입력값의 라플라스 변환

행렬 M의 라플라스 변환을 구합니다. 동일한 크기의 행렬을 사용하여 각 행렬 요소에 대한 독립 변수와 변환 변수를 지정합니다. 인수가 스칼라가 아닌 경우, laplace는 해당 인수에 대해 요소별로 작동합니다.

syms a b c d w x y z
M = [exp(x) 1; sin(y) 1i*z];
vars = [w x; y z];
transVars = [a b; c d];
F = laplace(M,vars,transVars)

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{e}}^x}{a}& \frac{1}{b}\\ \frac{1}{c^2+1}& \frac{\mathrm{i}}{d^2}\end{array}\right)$$

laplace가 스칼라 및 비 스칼라 인수와 함께 호출된 경우 이 함수는 비 스칼라와 일치하도록 스칼라를 확장합니다. 비 스칼라 인수는 크기가 동일해야 합니다.

F = laplace(x,vars,transVars)

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{x}{a}& \frac{1}{b^2}\\ \frac{x}{c}& \frac{x}{d}\end{array}\right)$$

기호 함수의 라플라스 변환

기호 함수의 라플라스 변환을 계산합니다. 첫 번째 인수에 기호 함수가 포함된 경우 두 번째 인수는 스칼라여야 합니다.

syms f1(x) f2(x) a b
f1(x) = exp(x);
f2(x) = x;
F = laplace([f1 f2],x,[a b])

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a-1}& \frac{1}{b^2}\end{array}\right)$$

라플라스 변환을 구할 수 없는 경우

laplace는 입력값을 변환할 수 없는 경우 실행되지 않은 호출을 그대로 반환합니다.

syms f(t) s
f(t) = 1/t;
F(s) = laplace(f,t,s)

F(s) = 
$$\mathrm{laplace}\left(\frac{1}{t},t,s\right)$$

ilaplace를 사용하면 원래의 표현식이 반환됩니다.

f(t) = ilaplace(F,s,t)

f(t) = 
$$\frac{1}{t}$$

입력 인수

f — 입력값

기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬

입력값으로, 기호 표현식, 기호 함수, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다.

var — 독립 변수

t (디폴트 값) | 기호 변수

독립 변수로, 기호 변수로 지정됩니다. 이 변수를 흔히 "시간 변수" 또는 "공간 변수"라고 합니다. 변수를 지정하지 않으면 laplace는 기본적으로 t를 사용합니다. f에 t가 포함되지 않은 경우 laplace는 함수 symvar을 사용하여 독립 변수를 결정합니다.

transVar — 변환 변수

s (디폴트 값) | z | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 벡터 | 기호 행렬

변환 변수로, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다. 이 변수를 종종 "복소 주파수 변수"라고도 합니다. 변수를 지정하지 않으면 laplace는 기본적으로 s를 사용합니다. s가 f의 독립 변수인 경우 laplace는 z를 사용합니다.

세부 정보

라플라스 변환

점 s에서 변수 t에 대한 표현식 f = f(t)의 라플라스 변환 F = F(s)는 다음과 같습니다.

$$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{0^{–}}{\overset{\infty }{\int }}f\left(t\right)}{e}^{-st}dt.$$

팁

• 인수가 배열인 경우 laplace는 배열의 모든 요소에 대해 각각 동작을 수행합니다.

• 첫 번째 인수에 기호 함수가 포함된 경우 두 번째 인수는 스칼라여야 합니다.

• 라플라스 역변환을 계산하려면 ilaplace를 사용하십시오.

알고리즘

라플라스 변환은 단방향 또는 단측 변환으로 정의됩니다. 이 정의에서는 신호 f(t)가 모든 실수 t ≥ 0에 대해서만 정의되었으며, t < 0에 대해서는 f(t) = 0이라고 가정합니다. 따라서 t < 0에 대해 f(t) ≠ 0인 일반화된 신호의 경우 f(t)의 라플라스 변환은 f(t)를 헤비사이드 계단 함수와 곱하는 것과 같은 결과를 제공합니다.

예를 들어, 다음 두 코드 블록은

syms t;
laplace(sin(t))

및

syms t;
laplace(sin(t)*heaviside(t))

모두 1/(s^2 + 1)을 반환합니다.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

fourier | ifourier | ilaplace | iztrans | ztrans

도움말 항목

• 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기

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