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diff

기호 표현식 또는 기호 함수 미분

구문

Df = diff(f)

Df = diff(f,n)

Df = diff(f,var)

Df = diff(f,var,n)

Df = diff(f,var1,...,varN)

Df = diff(f,mvar)

설명

Df = diff(f)는 symvar(f,1)에 의해 결정된 기호 스칼라 변수에 대해 f를 미분합니다.

Df = diff(f,n)은 symvar에 의해 결정된 기호 스칼라 변수에 대해 f의 n번째 도함수를 계산합니다.

Df = diff(f,var)은 미분 파라미터 var에 대해 f를 미분합니다. var은 기호 스칼라 변수(예: x), 기호 함수(예: f(x)) 또는 도함수(예: diff(f(t),t))일 수 있습니다.

Df = diff(f,var,n)은 var에 대해 f의 n번째 도함수를 계산합니다.

Df = diff(f,var1,...,varN)은 파라미터 var1,...,varN에 대해 f를 미분합니다.

Df = diff(f,mvar)은 유형이 symmatrix인 기호 행렬 변수 mvar에 대해 f를 미분합니다.

예제

함수 미분하기

함수 sin(x^2)의 도함수를 구합니다.

syms f(x)
f(x) = sin(x^2);
Df = diff(f,x)

Df(x) = $$2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(x^2\right)$$

x = 2의 도함수 값을 구합니다. 값을 double로 변환합니다.

Df2 = Df(2)

Df2 = $$4\hspace{0.17em}\cos \left(4\right)$$

double(Df2)

ans = -2.6146

특정 변수에 대해 미분하기

다음 표현식의 1계 도함수를 구합니다.

syms x t
Df = diff(sin(x*t^2))

Df = $$t^2\hspace{0.17em}\cos \left(t^2\hspace{0.17em}x\right)$$

미분 변수를 지정하지 않았기 때문에 diff는 symvar에 의해 정의된 디폴트 변수를 사용합니다. 이 표현식에서 디폴트 변수는 x입니다.

var = symvar(sin(x*t^2),1)

var = $$x$$

이제 변수 t에 대해 이 표현식의 도함수를 구합니다.

Df = diff(sin(x*t^2),t)

Df = $$2\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(t^2\hspace{0.17em}x\right)$$

일변량 표현식의 고계 도함수

$$t^6$$의 4계, 5계, 6계 도함수를 구합니다.

syms t
D4 = diff(t^6,4)

D4 = $$360\hspace{0.17em}{t}^2$$

D5 = diff(t^6,5)

D5 = $$720\hspace{0.17em}t$$

D6 = diff(t^6,6)

D6 = $$720$$

특정 변수에 대한 다변량 표현식의 고계 도함수

변수 y에 대해 다음 표현식의 2계 도함수를 구합니다.

syms x y
Df = diff(x*cos(x*y), y, 2)

Df = $$-x^3\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

디폴트 변수에 대한 다변량 표현식의 고계 도함수

표현식 x*y의 2계 도함수를 계산합니다. 미분 변수를 지정하지 않으면 diff에서 symvar에 의해 결정된 변수를 사용합니다. 이 표현식에서 symvar(x*y,1)은 x를 반환합니다. 따라서 diff는 x에 대해 x*y의 2계 도함수를 계산합니다.

syms x y
Df = diff(x*y,2)

Df = $$0$$

중첩 diff 호출을 사용할 때 미분 변수를 지정하지 않으면 diff가 각 호출의 미분 변수를 결정합니다. 예를 들어, diff 함수를 두 번 호출하여 표현식 x*y를 미분해 보십시오.

Df = diff(diff(x*y))

Df = $$1$$

첫 번째 호출에서 diff는 x에 대해 x*y를 미분하고 y를 반환합니다. 두 번째 호출에서 diff는 y에 대해 y를 미분하고 1을 반환합니다.

따라서 diff(x*y,2)는 diff(x*y,x,x)와 동등하고, diff(diff(x*y))는 diff(x*y,x,y)와 동등합니다.

혼합 도함수

변수 x 및 y에 대해 다음 표현식을 미분합니다.

syms x y
Df = diff(x*sin(x*y),x,y)

Df = $$2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)-x^2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

모든 미분 변수를 제공하여 혼합 고계 도함수를 계산할 수도 있습니다.

syms x y
Df = diff(x*sin(x*y),x,x,x,y)

Df = $$x^2\hspace{0.17em}{y}^3\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)-6\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{y}^2\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)-6\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

함수와 도함수에 대해 미분하기

$$f(x)$$에 대해 함수 $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$의 도함수를 구합니다.

syms f(x) y
y = f(x)^2*diff(f(x),x);
Dy = diff(y,f(x))

Dy = 
$$2\hspace{0.17em}f\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }f\left(x\right)$$

$$f(x)$$에 대해 함수 $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$의 2계 도함수를 구합니다.

Dy2 = diff(y,f(x),2)

Dy2 = 
$$2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }f\left(x\right)$$

$$f(x)$$와 $$\frac{df}{dx}$$에 대해 함수 $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$의 혼합 도함수를 구합니다.

Dy3 = diff(y,f(x),diff(f(x)))

Dy3 = $$2\hspace{0.17em}f\left(x\right)$$

오일러-라그랑주 방정식

질량-용수철 시스템의 운동을 설명하는 오일러-라그랑주 방정식을 구합니다. 이 시스템의 운동 에너지와 위치 에너지를 정의합니다.

syms x(t) m k
T = m/2*diff(x(t),t)^2;
V = k/2*x(t)^2;

라그랑주를 정의합니다.

L = T - V

L = 
$$\frac{m\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)\right)}^2}{2}-\frac{k\hspace{0.17em}{x\left(t\right)}^2}{2}$$

오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 지정됩니다.

$$0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(t,x,\underset{}{\overset{\dot{}}{x}})}{\partial \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}}-\frac{\partial L(t,x,\underset{}{\overset{\dot{}}{x}})}{\partial x}$$

항 $$\partial L/\partial \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}$$를 계산합니다.

D1 = diff(L,diff(x(t),t))

D1 = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)$$

두 번째 항 $$\partial L/\partial x$$를 계산합니다.

D2 = diff(L,x)

D2(t) = $$-k\hspace{0.17em}x\left(t\right)$$

질량-용수철 시스템의 운동에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 구합니다.

diff(D1,t) - D2 == 0

ans(t) = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }x\left(t\right)+k\hspace{0.17em}x\left(t\right)=0$$

벡터에 대해 미분하기

벡터에 대한 도함수를 계산하려면 기호 행렬 변수를 사용하면 됩니다. 예를 들어 표현식 $$\alpha =y^{T}Ax$$에 대한 도함수 $$\partial \alpha /\partial x$$와 $$\partial \alpha /\partial y$$를 구합니다. 여기서 $$y$$는 3×1 벡터, $$A$$는 3×4 행렬, $$x$$는 4×1 벡터입니다.

적절한 크기의 기호 행렬 변수 3개 x, y 및 A를 만들고 이를 사용하여 alpha를 정의합니다.

syms x [4 1] matrix
syms y [3 1] matrix
syms A [3 4] matrix
alpha = y.'*A*x

alpha = $$y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x$$

벡터 $$x$$와 $$y$$에 대해 alpha의 도함수를 구합니다.

Dx = diff(alpha,x)

Dx = $$y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A$$

Dy = diff(alpha,y)

Dy = $$x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}{A}^{\mathrm{T}}$$

행렬에 대해 미분하기

행렬에 대한 도함수를 계산하려면 기호 행렬 변수를 사용하면 됩니다. 예를 들어 표현식 $$Y=X^{T}AX$$에 대한 도함수 $$\partial Y/\partial A$$를 구합니다. 여기서 $$X$$는 3×1 벡터이고 $$A$$는 3×3 행렬입니다. $$Y$$는 벡터 $$X$$와 행렬 $$A$$의 함수인 스칼라입니다.

$$X$$와 $$A$$를 나타내는 기호 행렬 변수 2개를 만듭니다. $$Y$$를 정의합니다.

syms X [3 1] matrix
syms A [3 3] matrix
Y = X.'*A*X

Y = $$X^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}X$$

행렬 $$A$$에 대해 $$Y$$의 도함수를 구합니다.

D = diff(Y,A)

D = $$X^{\mathrm{T}}\otimes X$$

결과는 $$X^T$$와 $$X$$ 사이의 크로네커 텐서 곱이며, 이는 3×3 행렬입니다.

size(D)

ans = 1×2

     3     3

기호 행렬 함수 미분하기

기호 행렬 함수를 행렬 인수에 대해 미분합니다.

함수 $\mathit{t}\left(\mathit{X}\right)=\mathit{A}\cdot \sin \left(\mathit{B}\cdot \mathit{X}\right)$의 도함수를 구합니다. 여기서 $\mathit{A}$는 1×3 행렬이고 $\mathit{B}$는 3×2 행렬이고 $\mathit{X}$는 2×1 행렬입니다. $\mathit{A}$, $\mathit{B}$, $\mathit{X}$는 기호 행렬 변수로 만들고, $\mathit{t}\left(\mathit{X}\right)$는 기호 행렬 함수로 만듭니다.

syms A [1 3] matrix
syms B [3 2] matrix
syms X [2 1] matrix
syms t(X) [1 1] matrix keepargs
t(X) = A*sin(B*X)

t(X) = $$A\hspace{0.17em}\sin \left(B\hspace{0.17em}X\right)$$

diff를 사용하여 $\mathit{X}$에 대해 함수를 미분합니다.

Dt = diff(t,X)

Dt(X) = $$A\hspace{0.17em}\left(\cos \left(B\hspace{0.17em}X\right)\odot B\right)$$

입력 인수

f — 미분할 표현식 또는 함수

기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬 | 기호 행렬 변수 | 기호 행렬 함수

미분할 표현식 또는 함수로, 다음 값 중 하나로 지정됩니다.

• 기호 표현식

• 기호 함수

• 기호 벡터나 기호 행렬(기호 표현식이나 기호 함수로 구성된 벡터 또는 행렬)

• 기호 행렬 변수

• 기호 행렬 함수

f가 기호 벡터 또는 기호 행렬인 경우 diff는 f의 각 요소를 미분하고 f와 동일한 크기의 벡터 또는 행렬을 반환합니다.

데이터형: single | double | sym | symfun | symmatrix | symfunmatrix

n — 도함수의 계수

음이 아닌 정수

도함수의 계수로, 음이 아닌 정수로 지정됩니다.

var — 미분 파라미터

기호 스칼라 변수 | 기호 함수 | 도함수

미분 파라미터로, 기호 스칼라 변수, 기호 함수 또는 diff 함수를 사용하여 생성한 도함수로 지정됩니다.

기호 함수 var = f(x) 또는 도함수 var = diff(f(x),x)에 대해 미분을 지정하는 경우 첫 번째 인수 f는 다음 중 어느 것도 포함해서는 안 됩니다.

• 적분 변환(예: fourier, ifourier, laplace, ilaplace, htrans, ihtrans, ztrans, iztrans)

• limit 또는 int를 포함하는 미평가 기호 표현식

• 특정 점에서 평가된 기호 함수(예: f(3) 또는 g(0))

데이터형: single | double | sym | symfun

var1,...,varN — 미분 파라미터

기호 스칼라 변수 | 기호 함수 | 도함수

미분 파라미터로, 기호 스칼라 변수, 기호 함수 또는 diff 함수를 사용하여 생성한 도함수로 지정됩니다.

데이터형: single | double | sym | symfun

mvar — 미분 파라미터

기호 행렬 변수

미분 파라미터로, 기호 행렬 변수로 지정됩니다.

기호 행렬 변수를 미분 파라미터로 사용할 때 f는 미분 가능한 스칼라 함수여야 하며, 이때 mvar은 스칼라, 벡터 또는 행렬을 나타낼 수 있습니다. f의 도함수는 텐서이거나 텐서에 대한 행렬일 수 없습니다. 예제는 벡터에 대해 미분하기 항목과 행렬에 대해 미분하기 항목을 참조하십시오.

데이터형: symmatrix

제한 사항

• diff 함수는 기호 행렬 변수를 미분 파라미터로 사용할 경우 텐서 도함수를 지원하지 않습니다. 도함수가 텐서이거나 도함수가 텐서에 대한 행렬이면 diff 함수에서 오류가 발생합니다.

팁

• 둘 이상의 변수를 갖는 혼합 고계 도함수를 계산할 때는 n을 사용하여 도함수의 계수를 지정하지 마십시오. 대신 모든 미분 변수를 명시적으로 지정하십시오.

• 더 나은 성능을 위해 diff는 모든 혼합 도함수 간에는 교환 법칙이 성립한다고 가정합니다. 예를 들어, 다음과 같습니다.

  $$\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)$$

  대부분의 공학 및 과학 문제는 이 가정으로 충분합니다.

• 미분 변수를 지정하지 않고 다변량 표현식 또는 함수 f를 미분하면 diff 및 diff(f,n)에 대한 중첩 호출이 다른 결과를 반환할 수 있습니다. 중첩 호출에서는 각 미분 단계에서 자체적으로 미분 변수를 결정하고 사용하기 때문입니다. diff(f,n)과 같은 호출에서 미분 변수는 symvar(f,1)에 의해 한 번 결정되고 모든 미분 단계에 사용됩니다.

• abs 또는 sign을 포함하는 표현식이나 함수를 미분하려면 인수가 실수 값이어야 합니다. abs 및 sign의 인수가 복소수인 경우 diff 함수가 도함수를 형식적으로 계산하지만 이 결과는 일반적으로 유효하지 않습니다. 왜냐하면 abs 및 sign은 복소수 범위에서 미분 가능하지 않기 때문입니다.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2022a: 기호 행렬 함수 미분하기

diff 함수는 symfunmatrix 유형의 입력 인수를 받습니다. 예제는 기호 행렬 함수 미분하기 항목을 참조하십시오.

R2021a: diff 함수에 기호 행렬 변수 사용하기

이제 기호 행렬 변수를 미분하고 기호 행렬 변수에 대해 미분할 수 있습니다. 예제는 벡터에 대해 미분하기 항목과 행렬에 대해 미분하기 항목을 참조하십시오.

참고 항목

curl | divergence | functionalDerivative | gradient | hessian | int | jacobian | laplacian | symvar

도움말 항목

• 미분
• 점근선, 임계점, 변곡점 찾기

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