int

정적분 및 부정적분

구문

F = int(expr)

F = int(expr,var)

F = int(expr,a,b)

F = int(expr,var,a,b)

F = int(___,Name=Value)

설명

F = int(expr)은 기호 표현식 expr의 적분을 계산합니다. 적분 범위를 지정하지 않으므로 이 구문은 부정적분을 계산합니다. int는 symvar(expr,1)로 결정되는 디폴트 적분 변수를 사용합니다. expr이 상수이면 x가 디폴트 적분 변수가 됩니다.

F = int(expr,var)은 기호 스칼라 변수 var에 대해 expr의 부정적분을 계산합니다.

F = int(expr,a,b)는 a부터 b까지 expr의 정적분을 계산합니다. int는 symvar(expr,1)로 정해지는 디폴트 적분 변수를 사용합니다. expr이 상수이면 x가 디폴트 적분 변수가 됩니다.

int(expr,[a b])는 int(expr,a,b)와 동일합니다.

F = int(expr,var,a,b)는 기호 스칼라 변수 var에 대해 a부터 b까지 expr의 정적분을 계산합니다.

int(expr,var,[a b])는 int(expr,var,a,b)와 동일합니다.

F = int(___,Name=Value)는 하나 이상의 Name=Value 인수를 사용하여 옵션을 추가로 지정합니다. 예를 들어, IgnoreAnalyticConstraints=true는 int가 피적분 함수에 추가로 단순화를 적용하도록 지정합니다.

참고

int 함수는 적분을 기호적으로 계산하며, 이는 MATLAB^®의 정수 데이터형과 관련이 없습니다. 정수에 대한 자세한 내용은 정수(Integer) 항목을 참조하십시오.

예제

일변량 표현식의 부정적분

일변량 표현식을 정의합니다.

syms x
expr = -2*x/(1+x^2)^2;

일변량 표현식의 부정적분을 구합니다.

F = int(expr)

F = 
$$\frac{1}{x^2+1}$$

다변량 함수의 부정적분

변수 x와 z를 갖는 다변량 함수를 정의합니다.

syms x z
f(x,z) = x/(1+z^2);

변수 x와 z에 대해 다변량 표현식의 부정적분을 구합니다.

Fx = int(f,x)

Fx(x, z) = 
$$\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\left(z^2+1\right)}$$

Fz = int(f,z)

Fz(x, z) = $$x\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(z\right)$$

적분 변수를 지정하지 않으면 int는 symvar에서 반환된 첫 번째 변수를 적분 변수로 사용합니다.

var = symvar(f,1)

var = $$x$$

F = int(f)

F(x, z) = 
$$\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\left(z^2+1\right)}$$

기호 표현식의 정적분

기호 표현식을 0부터 1까지 적분합니다.

syms x
expr = x*log(1+x);
F = int(expr,[0 1])

F = 
$$\frac{1}{4}$$

다른 표현식을 sin(t)부터 1까지 적분합니다.

syms t
F = int(2*x,[sin(t) 1])

F = $${\cos \left(t\right)}^2$$

int가 정적분의 값을 계산할 수 없는 경우 vpa를 사용하여 수치적으로 적분을 근사합니다.

syms x
f = cos(x)/sqrt(1 + x^2);
Fint = int(f,x,[0 10])

Fint = 
$${\int }_0^{10}\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

Fvpa = vpa(Fint)

Fvpa = $$0.37570628299079723478493405557162$$

적분의 근삿값을 직접 계산하려면 vpa 대신 vpaintegral을 사용하십시오. vpaintegral 함수는 값을 더 빠르게 계산하며 적분 허용오차를 제어할 수 있습니다.

Fvpaint = vpaintegral(f,x,[0 10])

Fvpaint = $$0.375706$$

행렬 요소의 적분

4개의 표현식을 요소로 포함하는 기호 행렬을 정의합니다.

syms a t
M = [exp(t) exp(a*t); sin(t) cos(t)]

M = 
$$\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& {\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}\\ \sin \left(t\right)& \cos \left(t\right)\end{array}\right)$$

행렬의 부정적분을 요소별로 구합니다.

F = int(M,t)

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& \frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}}{a}\\ -\cos \left(t\right)& \sin \left(t\right)\end{array}\right)$$

IgnoreAnalyticConstraints 적용하기

기호 함수를 정의하고 부정적분을 계산합니다.

syms f(x)
f(x) = acos(cos(x));
F = int(f,x)

F(x) = 
$$x\hspace{0.17em}\mathrm{acos}\left(\cos \left(x\right)\right)-\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\mathrm{sign}\left(\sin \left(x\right)\right)}$$

기본적으로 int는 엄격한 수학 규칙을 사용합니다. 이러한 규칙은 int가 acos(cos(x))를 x로 재작성하는 것을 허용하지 않습니다.

간단하고 실용적인 해를 구하려면 IgnoreAnalyticConstraints를 true로 설정하십시오.

F = int(f,x,IgnoreAnalyticConstraints=true)

F(x) = 
$$\frac{x^2}{2}$$

특수한 경우 무시하기

기호 표현식 ${\mathit{x}}^{\mathit{t}}$를 정의하고 변수 $$x$$에 대해 부정적분을 계산합니다.

syms x t
F = int(x^t,x)

F = 
$$\{\begin{array}{cl}\log \left(x\right)& \text{ if }t=-1\\ \frac{x^{t+1}}{t+1}& \text{ if }t\ne -1\end{array}$$

기본적으로 int는 다른 기호 파라미터 t의 모든 값에 대한 일반적인 결과를 반환합니다. 이 예제에서 int는 $$t=-1$$인 경우와 $$t\ne -1$$인 경우에 대한 2개의 적분 결과를 반환합니다.

파라미터 값이 특수한 경우를 무시하려면 IgnoreSpecialCases를 true로 설정하십시오. 이 옵션을 사용할 경우 int는 $$t=-1$$이라는 특수한 경우를 무시하고 $$t\ne -1$$에 대한 해를 반환합니다.

F = int(x^t,x,IgnoreSpecialCases=true)

F = 
$$\frac{x^{t+1}}{t+1}$$

코시 주요값 구하기

$$x=1$$에 극점이 있는 기호 함수 $$f(x)=1/(x-1)$$을 정의합니다.

syms x
f(x) = 1/(x-1)

f(x) = 
$$\frac{1}{x-1}$$

$$x=0$$부터 $$x=2$$까지 이 함수의 정적분을 계산합니다. 적분 구간에 극점이 포함되므로 결과가 정의되지 않습니다.

F = int(f,[0 2])

F = $$\mathrm{NaN}$$

그러나 적분의 코시 주요값은 존재합니다. 적분의 코시 주요값을 계산하려면 PrincipalValue를 true로 설정하십시오.

F = int(f,[0 2],PrincipalValue=true)

F = $$0$$

미평가 적분과 부분 적분

$\int \mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathit{dx}$의 적분을 구합니다.

Hold 옵션을 true로 설정하여 적분을 계산하지 않고 정의합니다.

syms x g(y)
F = int(x*exp(x),Hold=true)

F = 
$$\int x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

integrateByParts 함수를 사용하여 F에 부분 적분을 적용할 수 있습니다. exp(x)를 적분할 미분 식으로 사용합니다.

G = integrateByParts(F,exp(x))

G = 
$$x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

G에서 적분을 계산하기 위해 release 함수를 사용하여 Hold 옵션을 무시합니다.

Gcalc = release(G)

Gcalc = $$x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x$$

결과를 Hold 옵션을 설정하지 않은 상태로 int에서 반환된 적분 결과와 비교합니다.

Fcalc = int(x*exp(x))

Fcalc = $${\mathrm{e}}^x\hspace{0.17em}\left(x-1\right)$$

부정적분 근사화하기

int는 닫힌 형식의 적분을 계산할 수 없는 경우 계산되지 않은 적분을 반환합니다.

syms f(x)
f(x) = sin(sinh(x));
F = int(f,x)

F(x) = 
$$\int \sin \left(\sinh \left(x\right)\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

테일러 전개를 사용하여 피적분 함수 $$f(x)$$를 다항식으로 근사할 수 있습니다. taylor를 적용하여 피적분 함수 $$f(x)$$를 $$x=0$$을 중심으로 하는 다항식으로 전개합니다. 근사된 다항식의 적분을 계산합니다.

fTaylor = taylor(f,x,ExpansionPoint=0,Order=10)

fTaylor(x) = 
$$\frac{x^9}{5670}-\frac{x^7}{90}-\frac{x^5}{15}+x$$

Fapprox = int(fTaylor,x)

Fapprox(x) = 
$$\frac{x^{10}}{56700}-\frac{x^8}{720}-\frac{x^6}{90}+\frac{x^2}{2}$$

벡터장의 선적분 구하기

3차원 공간에서 벡터장을 정의합니다.

syms x y z
F(x,y,z) = [x^2*y*z; x*y; 2*y*z]

F(x, y, z) = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}^2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}z\\ x\hspace{0.17em}y\\ 2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}z\end{array}\right)$$

다음으로, 파라미터 곡선을 정의합니다.

syms t real
rx(t) = sin(t);
ry(t) = cos(t);
rz(t) = t;
r(t) = [rx; ry; rz]

r(t) = 
$$\left(\begin{array}{c}\sin \left(t\right)\\ \cos \left(t\right)\\ t\end{array}\right)$$

$\mathit{r}\left(t\right)$로 파라미터화된 곡선 $\mathit{C}$를 따라 벡터장 $\mathit{F}$의 선적분은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\int }_{\mathit{C}}^{}\mathit{F}\cdot \mathit{d}\mathit{r}={\int }_{\mathit{a}}^{\mathit{b}}\mathit{F}\left(\mathit{r}\left(\mathit{t}\right)\right)\cdot \frac{\mathit{d}\mathit{r}\left(\mathit{t}\right)}{\mathit{dt}}\mathit{dt},$$

여기서 연산자 $\cdot$는 스칼라 곱을 나타냅니다.

이 정의를 사용하여 파라미터화된 곡선 $\mathit{r}\left(t\right)$를 따라 $t=-5$에서 $t=5$까지의 벡터장의 선적분을 계산합니다.

drdt = diff(r(t),t);
integrand = dot(F(rx,ry,rz),drdt);
W = int(integrand,t,[-5,5])

W = 
$$-\frac{2\hspace{0.17em}{\sin \left(5\right)}^3}{3}$$

입력 인수

expr — 피적분 함수

기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬 | 기호 숫자

피적분 함수로, 기호 표현식, 기호 함수, 기호 벡터, 기호 행렬 또는 기호 숫자로 지정됩니다.

var — 적분 변수

기호 변수

적분 변수로, 기호 변수로 지정됩니다. 이 변수를 지정하지 않으면 int는 symvar(expr,1)이 결정하는 디폴트 변수를 사용합니다. expr이 상수이면 x가 디폴트 변수가 됩니다.

a — 하한

숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수

하한으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식 또는 기호 함수(무한대가 있는 표현식 및 함수 포함)로 지정됩니다.

b — 상한

숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수

상한으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식 또는 기호 함수(무한대가 있는 표현식 및 함수 포함)로 지정됩니다.

이름-값 인수

선택적 인수 쌍을 Name1=Value1,...,NameN=ValueN으로 지정합니다. 여기서 Name은 인수 이름이고 Value는 대응값입니다. 이름-값 인수는 다른 인수 뒤에 와야 하지만, 인수 쌍의 순서는 상관없습니다.

예: IgnoreAnalyticConstraints=true는 int가 피적분 함수에 순수 대수적 단순화를 적용하도록 지정합니다.

R2021a 이전 릴리스에서는 쉼표를 사용하여 각 이름과 값을 구분하고 Name을 따옴표로 묶으십시오.

IgnoreAnalyticConstraints — 피적분 함수에 순수 대수적 단순화를 적용할지 여부를 나타내는 표시자

false (디폴트 값) | true

피적분 함수에 순수 대수적 단순화를 적용할지 여부를 나타내는 표시자로, true 또는 false로 지정됩니다. 값이 true이면 피적분 함수에 순수 대수적 단순화를 적용합니다. 직접 적분할 경우 복잡한 결과가 반환되는 표현식에 이 옵션을 사용하면 더 간단한 결과를 얻을 수 있습니다. 경우에 따라, int가 다른 방법으로 계산할 수 없는 적분을 이 옵션을 사용해 계산할 수도 있습니다.

이 옵션을 사용하면 일반적으로 유효하지 않은 결과가 나올 수 있습니다. 이 옵션은 편의적인 수학적 항등식을 적용하지만 그 결과가 변수의 모든 값에 대해 항상 성립하지는 않습니다. 자세한 내용은 알고리즘 항목을 참조하십시오.

IgnoreSpecialCases — 특수한 경우를 무시할지 여부를 나타내는 표시자

false (디폴트 값) | true

특수한 경우를 무시할지 여부를 나타내는 표시자로, true 또는 false로 지정됩니다. 이는 한 개 이상의 파라미터가 원소 개수가 고정된 유한 집합이나 어떤 정수 집합과 같이 비교적 작은 집합의 요소가 되어야 하는 경우를 무시합니다.

PrincipalValue — 주요값(principal value)을 반환할지 여부를 나타내는 표시자

false (디폴트 값) | true

주요값을 반환할지 여부를 나타내는 표시자로, true 또는 false로 지정됩니다. 값이 true이면 int는 적분의 코시 주요값을 계산합니다. 라이브 스크립트에서 미평가 적분의 코시 주요값은 기호로 나타납니다.

Hold — 미평가 적분에 대한 표시자

false (디폴트 값) | true

미평가 적분에 대한 표시자로, true 또는 false로 지정됩니다. 값이 true이면 int는 적분을 계산하지 않고 반환합니다.

팁

• 미분과 달리 기호 적분은 더 복잡합니다. int가 표현식의 적분을 계산할 수 없는 경우, 다음 원인을 확인하십시오.

  • 역도함수가 닫힌 형식으로 존재하지 않습니다.

  • 역도함수가 존재하지만, int가 이를 구할 수 없습니다.

  int가 닫힌 형식의 적분을 계산할 수 없는 경우 계산되지 않은 적분을 반환합니다.

  닫힌 형식의 해가 있는 일부 적분의 경우(이러한 해는 복잡하며 int는 계산되지 않은 적분을 반환함), simplify를 사용하여 닫힌 형식의 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어 다음 코드는 f(x)의 적분에 대한 닫힌 형식의 해를 구합니다.

  syms x
  f(x) = x*log(x/2+sqrt(x^2+1));
  F = int(f,x)
  simplify(F,Steps=10)

  그 외에는 다음 방법 중 하나를 사용하여 계산되지 않은 적분의 근삿값을 구해 볼 수 있습니다.

  • 부정적분의 경우 급수 전개를 사용합니다. 이 방법을 사용하여 변수의 특정 값을 중심으로 적분을 근사화합니다.

  • 정적분의 경우 수치 근사를 사용합니다.

• 부정적분의 경우 int는 결과에 적분 상수를 반환하지 않습니다. 수학적으로 동등한 표현식을 적분한 결과가 다를 수 있습니다. 예를 들어, syms x; int((x+1)^2)은 (x+1)^3/3을 반환하는 반면 syms x; int(x^2+2*x+1)은 (x*(x^2+3*x+3))/3을 반환하는데, 이는 첫 번째 결과와 1/3만큼 차이가 납니다.

• 부정적분의 경우 int는 묵시적으로 적분 변수 var이 실수라고 가정합니다. 정적분의 경우 int는 적분 변수 var을 지정된 적분 구간으로 제한합니다. 지정된 구간이 기존 가정과 충돌되는 경우에는 해당되지 않습니다. 적분 경계 a와 b 중 하나 또는 둘 모두 숫자형이 아닌 경우, 명시적으로 달리 지정하지 않는 한 int는 a <= b라고 가정합니다.

  예를 들어, 기본 가정 a <= b를 사용하면 이 코드는 (a,b)=(3,2)에서 정적분을 평가한 결과로 0을 반환합니다.

  syms x a b
  F(a,b) = int(heaviside(x-1)*heaviside(4-x),a,b);
  F(3,2)

  ans = 
  0

  가정 a > b를 명시적으로 지정하면 이 코드는 적분 결과로 -1을 반환합니다.

  assume(a > b)
  F(a,b) = int(heaviside(x-1)*heaviside(4-x),a,b);
  F(3,2)

  ans = 
  -1

알고리즘

IgnoreAnalyticConstraints를 사용하는 경우 int는 다음 규칙 중 일부를 적용합니다.

• a 및 b의 모든 값에 대해 log(a) + log(b) = log(a·b). 특히 다음 등식은 a, b 및 c의 모든 값에 대해 유효합니다.

  (a·b)^c = a^c·b^c.

• a 및 b의 모든 값에 대해 log(a^b) = b·log(a). 특히 다음 등식은 a, b 및 c의 모든 값에 대해 유효합니다.

  (a^b)^c = a^b·c.

• f 및 g가 표준 수학 함수이고 모든 작은 양수에 대해 f(g(x)) = x인 경우 f(g(x)) = x가 모든 복소수 값 x에 대해 유효한 것으로 간주됩니다. 구체적으로 살펴보면,

  • log(e^x) = x

  • asin(sin(x)) = x, acos(cos(x)) = x, atan(tan(x)) = x

  • asinh(sinh(x)) = x, acosh(cosh(x)) = x, atanh(tanh(x)) = x

  • 람베르트 W 함수의 모든 분지(branch) 인덱스 k에 대해 W_k(x·e^x) = x.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2019b: 미평가 적분 반환

int(___,'Hold',true)는 적분을 계산하지 않고 반환합니다. release를 사용하면 int 함수에서의 'Hold' 옵션이 무시되고 계산된 적분이 반환됩니다.

참고 항목

diff | dsolve | functionalDerivative | symvar | vpaintegral | integrateByParts | changeIntegrationVariable | release | rewrite

도움말 항목

• 적분

외부 웹사이트

• Calculus Integrals(MathWorks Teaching Resources)
• Beam Bending and Deflection(MathWorks Teaching Resources)