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점근선, 임계점, 변곡점 찾기

이 예제에서는 간단한 함수를 분석하여 점근선, 최댓값, 최솟값 및 변곡점을 찾는 방법을 보여줍니다.

함수 정의하기

이 예제에서 사용할 함수는 다음과 같습니다.

$$\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=\frac{3{\mathit{x}}^2+6\mathit{x}-1}{{\mathit{x}}^2+\mathit{x}-3}.$$

먼저 함수를 만듭니다.

syms x
num = 3*x^2 + 6*x -1;
denom = x^2 + x - 3;
f = num/denom

f = 
$$\frac{3\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x-1}{x^2+x-3}$$

fplot을 사용하여 함수를 플로팅합니다. fplot 함수는 자동으로 수직 점근선을 보여줍니다.

fplot(f)

점근선 찾기

$$f$$의 수평 점근선을 수학적으로 찾으려면 $$x$$가 양의 무한대에 접근할 때의 $$f$$의 극한값을 구하십시오.

limit(f,Inf)

ans = $$3$$

$$x$$가 음의 무한대에 접근할 때의 극한값도 3입니다. 이 결과는 선 $$y=3$$이 $$f$$에 대한 수평 점근선임을 의미합니다.

$$f$$의 수직 점근선을 찾으려면 분모를 0으로 설정하고 푸십시오.

roots = solve(denom)

roots = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

roots는 수직 점근선이 각각 다음 두 선임을 나타냅니다.

$\mathit{x}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$

및

$\mathit{x}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$.

최댓값과 최솟값 찾기

그래프를 보면 $$f$$에 점 $$x=–2$$와 $$x=0$$ 사이에 국소 최댓값이 있음을 알 수 있습니다. $$x=–6$$과 $$x=–2$$ 사이에 국소 최솟값도 있습니다. 최댓값과 최솟값의 $$x$$ 좌표를 구하려면 먼저 $$f$$의 도함수를 구하십시오.

f1 = diff(f)

f1 = 
$$\frac{6\hspace{0.17em}x+6}{x^2+x-3}-\frac{\left(2\hspace{0.17em}x+1\right)\hspace{0.17em}\left(3\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x-1\right)}{{\left(x^2+x-3\right)}^2}$$

이 표현식을 단순화하려면 다음을 입력하십시오.

f1 = simplify(f1)

f1 = 
$$-\frac{3\hspace{0.17em}{x}^2+16\hspace{0.17em}x+17}{{\left(x^2+x-3\right)}^2}$$

다음으로, 도함수를 0으로 설정하고 임계점에 대해 풉니다.

crit_pts = solve(f1)

crit_pts = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{13}}{3}-\frac{8}{3}\\ \frac{\sqrt{13}}{3}-\frac{8}{3}\end{array}\right)$$

$$f$$의 그래프에서 볼 수 있듯이 이 함수는 다음 지점에서 국소 최솟값을 갖고

${\mathit{x}}_1=\frac{-8-\sqrt{13}}{3}$

다음 지점에서 국소 최댓값을 갖습니다.

${\mathit{x}}_1=\frac{-8+\sqrt{13}}{3}$.

f의 최댓값과 최솟값을 플로팅합니다.

fplot(f)
hold on
plot(double(crit_pts), double(subs(f,crit_pts)),'ro')
title('Maximum and Minimum of f')
text(-4.8,5.5,'Local minimum')
text(-2,4,'Local maximum')
hold off

변곡점 찾기

$$f$$의 변곡점을 찾으려면 2계 도함수를 0으로 설정하고 이 조건에 대해 풉니다.

f2 = diff(f1);
inflec_pt = solve(f2,'MaxDegree',3);
double(inflec_pt)

ans = 3×1 complex

  -5.2635 + 0.0000i
  -1.3682 - 0.8511i
  -1.3682 + 0.8511i

이 예제에서는 첫 번째 요소만 실수이므로 이것이 유일한 변곡점입니다. MATLAB®은 방정식의 근을 항상 동일한 순서로 반환하지는 않습니다.

inter_pt의 요소를 참조하여 실근을 선택하는 대신, 허수부의 값이 0인 근을 확인하여 실근을 식별하십시오.

idx = imag(double(inflec_pt)) == 0;
inflec_pt = inflec_pt(idx)

inflec_pt = 
$$-\frac{13}{9\hspace{0.17em}{\left(\frac{169}{54}-\frac{\sqrt{2197}}{18}\right)}^{1/3}}-{\left(\frac{169}{54}-\frac{\sqrt{2197}}{18}\right)}^{1/3}-\frac{8}{3}$$

변곡점을 플로팅합니다. fplot의 추가 인수 [-9 6]은 다음 Figure에 보이는 것처럼 변곡점을 더 명확하게 볼 수 있도록 플롯에서 $$x$$ 값의 범위를 확장합니다.

fplot(f,[-9 6])
hold on
plot(double(inflec_pt), double(subs(f,inflec_pt)),'ro')
title('Inflection Point of f')
text(-7,1,'Inflection point')
hold off