다음 범함수를 가정해 보겠습니다.
이는 x 공간에서 a에서 b까지의 임의 경로를 취할 수 있습니다.
경로 y(x)의 작은 변분에 대해, 변동을 로 정의합니다. 여기서 ϕ(x)는 임의의 테스트 함수입니다. 범함수 S의 변동은 다음과 같습니다.
표현식 는 y에 대한 S의 범함수의 도함수입니다. 선형 범함수 DS[y]는 범함수 S의 첫 번째 변분 또는 가토 도함수라고도 합니다.
범함수의 도함수를 계산하는 한 가지 방법은 ε에 대한 표현식 S[y + εϕ]에 테일러 전개를 적용하는 것입니다. ε에서 1차 항을 유지하고, 부분 적분을 수행하고, 경계 조건 ϕ(a) = ϕ(b) = ϕ'(a) = ϕ'(b) = ... = 0을 선택하면 범함수의 도함수는 다음과 같이 됩니다.