fsolve

비선형 연립방정식 풀기

구문

x = fsolve(fun,x0)

x = fsolve(fun,x0,options)

x = fsolve(problem)

[x,fval] = fsolve(___)

[x,fval,exitflag,output] = fsolve(___)

[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(___)

설명

비선형 시스템 솔버

다음으로 지정된 문제를 풉니다.

F(x) = 0

x에 대한 문제이며, 여기서 F(x)는 벡터 값을 반환하는 함수입니다.

x는 벡터 또는 행렬입니다. 행렬 인수 항목을 참조하십시오.

x = fsolve(fun,x0)은 x0에서 시작하여 0으로 구성된 배열인 방정식 fun(x) = 0을 풀려고 시도합니다.

참고

추가 파라미터 전달하기에는 필요한 경우 추가 파라미터를 벡터 함수 fun(x)에 전달하는 방법이 설명되어 있습니다. 파라미터화된 방정식 풀기 항목을 참조하십시오.

x = fsolve(fun,x0,options)는 options에 지정된 최적화 옵션을 사용하여 방정식을 풉니다. 이 옵션을 설정하려면 optimoptions를 사용하십시오.

x = fsolve(problem)은 problem에 설명되어 있는 구조체인 problem을 풉니다.

[x,fval] = fsolve(___)는 모든 구문에서 해 x에서의 목적 함수 fun의 값을 반환합니다.

[x,fval,exitflag,output] = fsolve(___)는 fsolve의 종료 상황을 설명하는 값 exitflag와 최적화 과정에 대한 정보가 포함된 구조체 output을 추가로 반환합니다.

[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(___)는 해 x에서의 fun의 야코비 행렬을 반환합니다.

예제

2차원 비선형 시스템 풀이

이 예제에서는 두 변수로 구성된 두 비선형 방정식을 푸는 방법을 보여줍니다. 방정식은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c}{e}^{-e^{-(x_1+x_2)}}=x_2\left(1+x_1^2\right)\\ x_1\cos \left(x_2\right)+x_2\sin \left(x_1\right)=\frac{1}{2}.\end{array}$$

이 방정식을 $$F(x)=0$$ 형식으로 변환합니다.

$$\begin{array}{c}{e}^{-e^{-(x_1+x_2)}}-x_2\left(1+x_1^2\right)=0\\ x_1\cos \left(x_2\right)+x_2\sin \left(x_1\right)-\frac{1}{2}=0.\end{array}$$

이 예제를 실행할 때 제공되는 root2d.m 함수가 값을 계산합니다.

type root2d.m

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

점 [0,0]에서 시작하여 연립방정식을 풉니다.

fun = @root2d;
x0 = [0,0];
x = fsolve(fun,x0)

Equation solved.

fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.

<stopping criteria details>

x = 1×2

    0.3532    0.6061

디폴트가 아닌 옵션을 사용한 풀이

비선형 시스템의 풀이 과정을 검토합니다.

계산 과정은 표시하지 않되, 알고리즘이 반복됨에 따라 0으로 수렴되는 1차 최적성을 표시하는 플롯 함수는 포함하도록 옵션을 설정합니다.

options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);

비선형 시스템의 방정식은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c}{e}^{-e^{-(x_1+x_2)}}=x_2\left(1+x_1^2\right)\\ x_1\cos \left(x_2\right)+x_2\sin \left(x_1\right)=\frac{1}{2}.\end{array}$$

이 방정식을 $$F(x)=0$$ 형식으로 변환합니다.

$$\begin{array}{c}{e}^{-e^{-(x_1+x_2)}}-x_2\left(1+x_1^2\right)=0\\ x_1\cos \left(x_2\right)+x_2\sin \left(x_1\right)-\frac{1}{2}=0.\end{array}$$

root2d 함수는 이 두 방정식의 좌변을 계산합니다.

type root2d.m

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

점 [0,0]에서 시작하여 비선형 시스템을 푼 다음 풀이 과정을 살펴봅니다.

fun = @root2d;
x0 = [0,0];
x = fsolve(fun,x0,options)

x = 1×2

    0.3532    0.6061

파라미터화된 방정식 풀기

추가 파라미터 전달하기 항목에 설명한 대로 방정식을 파라미터화할 수 있습니다. 예를 들어, 이 예제 마지막 부분에 있는 헬퍼 함수 paramfun은 $$c$$로 파라미터화된 다음의 연립방정식을 만듭니다.

$$\begin{array}{c}2x_1+x_2=\exp (c{x}_1)\\ -x_1+2x_2=\exp (c{x}_2).\end{array}$$

특정 값에 대한 연립방정식을 풀려면(이 경우 $$c=-1$$), 작업 공간에 $$c$$를 설정하고 paramfun으로부터 x의 익명 함수를 만듭니다.

c = -1;
fun = @(x)paramfun(x,c);

점 x0 = [0 1]에서 시작하여 연립방정식을 풉니다.

x0 = [0 1];
x = fsolve(fun,x0)

Equation solved.

fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.

<stopping criteria details>

x = 1×2

    0.1976    0.4255

$$c$$의 다른 값을 구하려면, 작업 공간에 $$c$$를 입력하고 fun 함수를 다시 생성하십시오. 그러면 함수는 새로운 $$c$$ 값을 갖게 됩니다.

c = -2;
fun = @(x)paramfun(x,c); % fun now has the new c value
x = fsolve(fun,x0)

Equation solved.

fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.

<stopping criteria details>

x = 1×2

    0.1788    0.3418

헬퍼 함수

다음 코드는 paramfun 헬퍼 함수를 생성합니다.

function F = paramfun(x,c)
F = [ 2*x(1) + x(2) - exp(c*x(1))
      -x(1) + 2*x(2) - exp(c*x(2))];
end

문제 구조체 풀기

fsolve에 대한 문제 구조체를 만들고 문제를 풉니다.

디폴트가 아닌 옵션을 사용한 풀이에 나온 것과 동일한 문제를 풀되, 문제 구조체를 사용하여 문제를 정식화합니다.

계산 과정은 표시하지 않되, 알고리즘이 반복됨에 따라 0으로 수렴되는 1차 최적성을 표시하는 플롯 함수는 포함하도록 문제의 옵션을 설정합니다.

problem.options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);

비선형 시스템의 방정식은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c}{e}^{-e^{-(x_1+x_2)}}=x_2\left(1+x_1^2\right)\\ x_1\cos \left(x_2\right)+x_2\sin \left(x_1\right)=\frac{1}{2}.\end{array}$$

이 방정식을 $$F(x)=0$$ 형식으로 변환합니다.

$$\begin{array}{c}{e}^{-e^{-(x_1+x_2)}}-x_2\left(1+x_1^2\right)=0\\ x_1\cos \left(x_2\right)+x_2\sin \left(x_1\right)-\frac{1}{2}=0.\end{array}$$

root2d 함수는 이 두 방정식의 좌변을 계산합니다.

type root2d

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

문제 구조체의 나머지 필드를 만듭니다.

problem.objective = @root2d;
problem.x0 = [0,0];
problem.solver = 'fsolve';

문제를 풉니다.

x = fsolve(problem)

x = 1×2

    0.3532    0.6061

비선형 시스템의 풀이 과정

이 예제에서는 다음과 같이 두 개의 방정식과 두 개의 미지수로 구성된 시스템에 대한 풀이의 반복 과정을 표시합니다.

$$\begin{array}{c}2x_1-x_2=e^{-x_1}\\ -x_1+2x_2=e^{-x_2}.\end{array}$$

이 방정식을 $$F(x)=0$$ 형식으로 다시 작성합니다.

$$\begin{array}{c}2x_1-x_2-e^{-x_1}=0\\ -x_1+2x_2-e^{-x_2}=0.\end{array}$$

x0 = [-5 -5]에서 해 탐색을 시작합니다.

먼저, x에서 방정식 값 F를 계산하는 함수를 작성합니다.

F = @(x) [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
         -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];

초기점 x0을 만듭니다.

x0 = [-5;-5];

반복 과정을 표시하도록 옵션을 설정합니다.

options = optimoptions('fsolve','Display','iter');

방정식을 풉니다.

[x,fval] = fsolve(F,x0,options)

                                             Norm of      First-order   Trust-region
 Iteration  Func-count     ||f(x)||^2           step       optimality         radius
     0          3             47071.2                        2.29e+04              1
     1          6             12003.4              1         5.75e+03              1
     2          9             3147.02              1         1.47e+03              1
     3         12             854.452              1              388              1
     4         15             239.527              1              107              1
     5         18             67.0412              1             30.8              1
     6         21             16.7042              1             9.05              1
     7         24             2.42788              1             2.26              1
     8         27            0.032658       0.759511            0.206            2.5
     9         30         7.03149e-06       0.111927          0.00294            2.5
    10         33         3.29525e-13     0.00169132         6.36e-07            2.5

Equation solved.

fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.

<stopping criteria details>

x = 2×1

    0.5671
    0.5671

fval = 2×1
10-6 ×

   -0.4059
   -0.4059

반복 과정에서 함수 F(x)의 노름에 대한 제곱인 f(x)가 표시됩니다. 이 값은 반복이 진행될 때마다 0에 가깝게 감소합니다. 마찬가지로 1차 최적성 측정값도 반복이 진행될 때마다 0에 가깝게 감소합니다. 이러한 요소가 해에 대한 반복 수렴을 나타냅니다. 다른 요소에 대한 의미는 반복 과정 표시 항목을 참조하십시오.

fval 출력값은 함수 값 F(x)를 제공하고, 이 값은 해(FunctionTolerance 허용오차 내에서)에서 0이어야 합니다.

행렬 방정식 해 검토하기

다음을 충족하는 행렬 $$X$$를 구합니다.

$$X*X*X=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$,

점 x0 = [1,1;1,1]에서 시작합니다. 행렬 방정식을 계산하는 익명 함수를 만들고 점 x0을 생성합니다.

fun = @(x)x*x*x - [1,2;3,4];
x0 = ones(2);

계산 과정을 표시하지 않도록 옵션을 설정합니다.

options = optimoptions('fsolve','Display','off');

fsolve 출력값을 검토하여 해의 품질과 풀이 과정을 확인합니다.

[x,fval,exitflag,output] = fsolve(fun,x0,options)

x = 2×2

   -0.1291    0.8602
    1.2903    1.1612

fval = 2×2
10-9 ×

   -0.2742    0.1258
    0.1876   -0.0864

exitflag = 
1

output = struct with fields:
       iterations: 11
        funcCount: 52
        algorithm: 'trust-region-dogleg'
    firstorderopt: 4.0197e-10
          message: 'Equation solved.↵↵fsolve completed because the vector of function values is near zero↵as measured by the value of the function tolerance, and↵the problem appears regular as measured by the gradient.↵↵<stopping criteria details>↵↵Equation solved. The sum of squared function values, r = 1.336702e-19, is less than↵sqrt(options.FunctionTolerance) = 1.000000e-03. The relative norm of the gradient of r,↵4.019681e-10, is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06.'

종료 플래그 값 1은 해를 신뢰할 수 있음을 나타냅니다. 잔차(fval의 제곱합)를 계산하여 0에 얼마나 가까운지 살펴봄으로써 이를 수동으로 확인할 수 있습니다.

sum(sum(fval.*fval))

ans = 
1.3367e-19

이렇게 잔차가 작을 경우 x가 해라는 것을 확인할 수 있습니다.

output 구조체에서 해를 구하기 위해 fsolve가 수행한 반복 횟수와 함수 실행 횟수를 확인할 수 있습니다.

입력 인수

fun — 풀려는 비선형 방정식

함수 핸들 | 함수 이름

풀려는 비선형 방정식으로, 함수 핸들 또는 함수 이름으로 지정됩니다. fun은 벡터 x를 받고 x에서 계산된 비선형 방정식 값인 벡터 F를 반환하는 함수입니다. 풀려는 방정식은 F의 모든 성분에서 F = 0입니다. 함수 fun은 다음과 같이 파일에 대한 함수 핸들로 지정할 수 있습니다.

x = fsolve(@myfun,x0)

여기서 myfun은 다음과 같은 MATLAB^® 함수입니다.

function F = myfun(x)
F = ...            % Compute function values at x

fun을 익명 함수에 대한 함수 핸들로 지정할 수도 있습니다.

x = fsolve(@(x)sin(x.*x),x0);

fsolve 함수는 x를 x0 인수 형태로 목적 함수에 전달합니다. 예를 들어, x0이 5×3 배열이면 fsolve 함수는 x를 5×3 배열로 fun에 전달합니다.

야코비 행렬도 계산할 수 있고 'SpecifyObjectiveGradient' 옵션이 다음 설정처럼 true인 경우

options = optimoptions('fsolve','SpecifyObjectiveGradient',true)

함수 fun은 두 번째 출력 인수로 x에서 계산된 행렬 값인 야코비 행렬 값 J를 반환해야 합니다.

fun이 m개의 성분으로 구성된 벡터(행렬)을 반환하고 x의 길이가 n이면(여기서 n은 x0의 길이임), 야코비 행렬 J는 m×n 행렬입니다. 여기서 J(i,j)는 x(j)에 대한 F(i)의 편도함수입니다. 야코비 행렬 J는 F의 기울기의 전치입니다.

예: fun = @(x)x*x*x-[1,2;3,4]

데이터형: char | function_handle | string

x0 — 초기점

실수형 벡터 | 실수형 배열

초기점으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. fsolve는 x0의 크기와 요소 개수를 사용하여 fun이 받는 변수의 크기와 개수를 확인합니다.

예: x0 = [1,2,3,4]

데이터형: double

options — 최적화 옵션

optimoptions의 출력값 | optimset이 반환하는 구조체

최적화 옵션으로, optimoptions의 출력값 또는 optimset 등이 반환하는 구조체로 지정됩니다.

옵션에 따라 모든 알고리즘에 적용되는 옵션이 있고 특정 알고리즘에만 유효한 옵션이 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 참조 항목을 참조하십시오.

일부 옵션은 optimoptions 표시에 나타나지 않습니다. 이러한 옵션은 다음 표에서 기울임꼴로 표시되어 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 보기 항목을 참조하십시오.

모든 알고리즘
Algorithm	'trust-region-dogleg'(디폴트 값), 'trust-region', 'levenberg-marquardt' 중에서 선택합니다. Algorithm 옵션은 사용할 알고리즘에 대한 기본 설정을 지정합니다. 이는 단지 기본적인 설정에 불과합니다. trust-region 알고리즘이라면 비선형 연립방정식이 부족 결정 시스템이어서는 안 됩니다. 다시 말해 방정식 개수(fun이 반환하는 F의 요소 개수)가 x의 길이보다 크거나 같아야 합니다. 마찬가지로 trust-region-dogleg 알고리즘이라면 방정식 개수가 x의 길이와 같아야 합니다. fsolve는 선택한 알고리즘을 사용할 수 없는 경우 Levenberg-Marquardt 알고리즘을 사용합니다. 알고리즘을 선택하는 방법에 대한 자세한 내용은 알고리즘 선택하기 항목을 참조하십시오. optimoptions 대신 optimset을 사용하여 알고리즘 옵션을 설정하려면 다음과 같이 하십시오 Algorithm — 알고리즘을 'trust-region' 대신 'trust-region-reflective'로 설정합니다. InitDamping — Algorithm을 셀형 배열(예: {'levenberg-marquardt',.005})로 설정하여 초기 Levenberg-Marquardt 파라미터 λ를 설정합니다.
CheckGradients	사용자 제공 도함수(목적 함수 또는 제약 조건의 기울기)를 유한 차분 도함수와 비교합니다. true 또는 false(디폴트 값)를 선택할 수 있습니다. optimset의 경우, 이 이름은 DerivativeCheck이고 값은 'on' 또는 'off'입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오. CheckGradients 옵션은 향후 릴리스에서 제거될 예정입니다. 도함수를 검사하려면 checkGradients 함수를 사용하십시오.
Diagnostics	최소화하거나 풀려는 함수에 대한 진단 정보를 표시합니다. 'on' 또는 'off'(디폴트 값)를 선택할 수 있습니다.
DiffMaxChange	유한 차분 기울기에 대한 변수의 최대 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 Inf입니다.
DiffMinChange	유한 차분 기울기에 대한 변수의 최소 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 0입니다.
Display	표시 수준입니다(반복 과정 표시 참조): 'off' 또는 'none'은 출력값을 표시하지 않습니다. 'iter'는 각 반복마다 출력값을 표시하고 디폴트 종료 메시지를 제공합니다. 'iter-detailed'는 각 반복마다 출력값을 표시하고 기술적인 종료 메시지를 제공합니다. 'final'(디폴트 값)은 최종 출력값만 표시하고 디폴트 종료 메시지를 제공합니다. 'final-detailed'는 최종 출력값만 표시하고 기술적인 종료 메시지를 제공합니다.
FiniteDifferenceStepSize	유한 차분에 대한 스칼라 또는 벡터 스텝 크기 인자입니다. FiniteDifferenceStepSize를 벡터 v로 설정하는 경우 전향 유한 차분 delta는 다음과 같습니다. delta = v.*sign′(x).*max(abs(x),TypicalX); 여기서 sign′(x) = sign(x)입니다(단, sign′(0) = 1임). 중심 유한 차분은 다음과 같습니다. delta = v.*max(abs(x),TypicalX); 스칼라 FiniteDifferenceStepSize는 벡터로 확장됩니다. 디폴트 값은 전향 유한 차분의 경우 sqrt(eps)이고 중심 유한 차분의 경우 eps^(1/3)입니다. optimset의 경우, 이 이름은 FinDiffRelStep입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
FiniteDifferenceType	기울기를 추정하는 데 사용되는 유한 차분으로, 'forward'(디폴트 값) 또는 'central'(중심화됨)입니다. 'central'은 함수 실행 횟수가 2배 더 많지만 더 정확합니다. 알고리즘은 두 유형의 유한 차분을 모두 추정하는 경우 범위를 준수하려고 노력합니다. 예를 들어, 범위 외부에 있는 점에서 실행되는 것을 방지하기 위해 전향 차분이 아니라 후향 차분을 사용할 수 있습니다. optimset의 경우, 이 이름은 FinDiffType입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
FunctionTolerance	함수 값에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-6입니다. 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 TolFun입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
FunValCheck	목적 함수 값이 유효한지 여부를 확인합니다. 'on'은 목적 함수가 complex, Inf 또는 NaN 값을 반환하는 경우에 오류를 표시합니다. 디폴트 값인 'off'는 오류를 표시하지 않습니다.
MaxFunctionEvaluations	허용되는 함수 실행의 최대 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은 'trust-region-dogleg' 알고리즘과 'trust-region' 알고리즘의 경우 100*numberOfVariables이고, 'levenberg-marquardt' 알고리즘의 경우 200*numberOfVariables입니다. 허용오차와 중지 기준 항목과 반복 횟수와 함수 실행 횟수 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 MaxFunEvals입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
MaxIterations	허용되는 최대 반복 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은 400입니다. 허용오차와 중지 기준 항목과 반복 횟수와 함수 실행 횟수 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 MaxIter입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
OptimalityTolerance	1차 최적성에 대한 종료 허용오차(음이 아닌 스칼라)입니다. 디폴트 값은 1e-6입니다. 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오. 내부적으로, 'levenberg-marquardt' 알고리즘은 최적성 허용오차(중지 기준) 1e-4와 FunctionTolerance를 곱한 값을 사용하고 OptimalityTolerance는 사용하지 않습니다.
OutputFcn	각 반복마다 최적화 함수가 호출하는 하나 이상의 사용자 정의 함수를 지정합니다. 함수 핸들 또는 함수 핸들 셀형 배열을 전달합니다. 디폴트 값은 없음([])입니다. Output Function and Plot Function Syntax 항목을 참조하십시오.
PlotFcn	알고리즘이 실행되는 동안 다양한 진행률 측정값을 플로팅합니다. 미리 정의된 플롯에서 선택하거나 사용자가 직접 작성할 수 있습니다. 내장 플롯 함수 이름, 함수 핸들 또는 내장 플롯 함수 이름이나 함수 핸들로 구성된 셀형 배열을 전달하십시오. 사용자 지정 플롯 함수의 경우, 함수 핸들을 전달하십시오. 디폴트 값은 없음([])입니다. 'optimplotx'는 현재 점을 플로팅합니다. 'optimplotfunccount'는 함수 실행 횟수를 플로팅합니다. 'optimplotfval'은 함수 값을 플로팅합니다. 'optimplotstepsize'는 스텝 크기를 플로팅합니다. 'optimplotfirstorderopt'는 1차 최적성 측정값을 플로팅합니다. 사용자 지정 플롯 함수는 출력 함수와 동일한 구문을 사용합니다. Optimization Toolbox의 출력 함수 항목과 Output Function and Plot Function Syntax 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 PlotFcns입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
SpecifyObjectiveGradient	true인 경우, fsolve는 목적 함수에 대해 사용자 정의 야코비 행렬(fun에서 정의됨) 또는 야코비 행렬 정보(JacobianMultiplyFcn을 사용하는 경우)를 사용합니다. false(디폴트 값)인 경우, fsolve는 유한 차분을 사용하여 야코비 행렬의 근삿값을 계산합니다. optimset의 경우, 이 이름은 Jacobian이고 값은 'on' 또는 'off'입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
StepTolerance	x에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-6입니다. 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 TolX입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
TypicalX	일반적인 x 값입니다. TypicalX의 요소 개수는 시작점 x0의 요소 개수와 같습니다. 디폴트 값은 ones(numberofvariables,1)입니다. fsolve는 기울기 추정을 위해 유한 차분을 스케일링하는 데 TypicalX를 사용합니다. trust-region-dogleg 알고리즘은 스케일링 행렬의 대각 항으로 TypicalX를 사용합니다.
UseParallel	true인 경우 fsolve는 기울기를 병렬로 추정합니다. 디폴트 값 false로 설정하면 비활성화됩니다. 병렬 연산 항목을 참조하십시오.
trust-region 알고리즘
JacobianMultiplyFcn	야코비 행렬의 곱셈 함수로, 함수 핸들로 지정됩니다. 특정 구조를 가진 대규모 문제의 경우, 이 함수는 J를 실제로 구성하지 않고 야코비 행렬 곱 J*Y, J'*Y 또는 J'*(J*Y)를 계산합니다. 이 함수의 형식은 다음과 같습니다. W = jmfun(Jinfo,Y,flag) 여기서 Jinfo는 J*Y(또는 J'*Y나 J'*(J*Y))를 계산하는 데 사용되는 데이터를 포함합니다. 첫 번째 인수 Jinfo는 목적 함수 fun이 반환하는 두 번째 인수입니다. 예를 들어 다음과 같습니다. [F,Jinfo] = fun(x) Y는 문제의 차원과 동일한 개수의 행을 갖는 행렬입니다. flag는 계산해야 하는 곱을 결정합니다. flag == 0이면 W = J'*(J*Y)입니다. flag > 0이면 W = J*Y입니다. flag < 0이면 W = J'*Y입니다. 어느 경우든 J가 명시적으로 구성되지는 않습니다. fsolve는 Jinfo를 사용하여 선조건자를 계산합니다. jmfun에 필요한 추가 파라미터의 값을 제공하는 방법에 대한 자세한 내용은 추가 파라미터 전달하기 항목을 참조하십시오. 참고 fsolve가 fun에서 jmfun으로 Jinfo를 전달하도록 하려면 'SpecifyObjectiveGradient'가 true로 설정되어야 합니다. 유사한 예제는 Minimization with Dense Structured Hessian, Linear Equalities 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 JacobMult입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
JacobPattern	유한 차분을 위한 야코비 행렬의 희소성 패턴입니다. fun(i)가 x(j)에 종속되는 경우 JacobPattern(i,j) = 1을 설정합니다. 그렇지 않은 경우 JacobPattern(i,j) = 0을 설정합니다. 다시 말해, ∂fun(i)/∂x(j) ≠ 0이 성립하는 경우 JacobPattern(i,j) = 1을 설정합니다. JacobPattern은 fun의 야코비 행렬 J를 계산하는 것이 번거롭고 fun(i)가 x(j)에 종속된다는 사실은 (조사를 통해) 확인할 수 있는 경우에 사용합니다. JacobPattern을 제공하는 경우 fsolve는 희소 유한 차분을 통해 J의 근삿값을 계산할 수 있습니다. 최악의 경우, 구조를 알 수 없다면 JacobPattern을 설정하지 마십시오. 이 경우 기본적으로 JacobPattern이 1로 구성된 조밀 행렬인 것처럼 동작합니다. 그러면 fsolve가 각 반복마다 비희소 유한 차분 근삿값을 계산합니다. 이 과정은 대규모 문제의 경우 시간이 아주 오래 걸릴 수 있으므로 희소성 구조를 확인하는 것이 일반적으로 더 좋습니다.
MaxPCGIter	최대 PCG(선조건 적용 켤레 기울기) 반복 횟수로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 max(1,floor(numberOfVariables/2))입니다. 자세한 내용은 방정식 풀이 알고리즘 항목을 참조하십시오.
PrecondBandWidth	PCG에 대한 선조건자의 상부 대역폭으로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값 PrecondBandWidth는 Inf이며, 이는 직접 분해(촐레스키)가 켤레 기울기(CG) 대신 사용된다는 것을 의미합니다. 직접 분해는 CG보다 계산량이 더 많지만 해에 다가가는 데 있어 더 나은 품질의 스텝을 생성합니다. 대각 선조건 지정에서는 PrecondBandWidth를 0으로 설정합니다(상부 대역폭: 0). 일부 문제의 경우, 중간 대역폭을 사용하면 PCG 반복 횟수가 줄어듭니다.
SubproblemAlgorithm	반복 스텝이 계산되는 방식을 결정합니다. 디폴트 값 'factorization'은 'cg'보다 더 느리지만 더 정확한 스텝을 실행합니다. Trust-Region 알고리즘 항목을 참조하십시오.
TolPCG	PCG 반복에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 0.1입니다.
Levenberg-Marquardt 알고리즘
InitDamping	Levenberg-Marquardt 파라미터의 초기값으로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-2입니다. 자세한 내용은 Levenberg-Marquardt 방법 항목을 참조하십시오.
ScaleProblem	'jacobian'을 사용하면 잘못 스케일링된 문제의 수렴이 향상될 수도 있습니다. 디폴트 값은 'none'입니다.

예: options = optimoptions('fsolve','FiniteDifferenceType','central')

problem — 문제 구조체

구조체

문제 구조체로, 다음 필드를 가진 구조체로 지정됩니다.

필드 이름	항목
objective	목적 함수
x0	x의 초기점
solver	'fsolve'
options	optimoptions로 생성되는 옵션

데이터형: struct

출력 인수

x — 해(Solution)

실수형 벡터 | 실수형 배열

해로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 반환됩니다. x의 크기는 x0의 크기와 같습니다. 일반적으로 x는 exitflag가 양수인 경우 문제에 대한 국소해입니다. 해의 품질에 대한 자세한 내용은 솔버가 성공한 경우 항목을 참조하십시오.

fval — 해에서 계산된 목적 함수 값

실수형 벡터

해에서 계산된 목적 함수 값으로, 실수형 벡터로 반환됩니다. 일반적으로 fval = fun(x)입니다.

exitflag — fsolve가 중지된 이유

정수

fsolve가 중지된 이유로, 정수로 반환됩니다.

1	방정식을 풀었습니다. 1차 최적성이 작습니다.
2	방정식을 풀었습니다. x의 변화량이 지정된 허용오차보다 작거나, x에서 야코비 행렬이 정의되어 있지 않습니다.
3	방정식을 풀었습니다. 잔차의 변화량이 지정된 허용오차보다 작습니다.
4	방정식을 풀었습니다. 탐색 방향의 크기가 지정된 허용오차보다 작습니다.
0	반복 횟수가 options.MaxIterations를 초과하거나, 함수 실행 횟수가 options.MaxFunctionEvaluations를 초과했습니다.
-1	출력 함수 또는 플롯 함수가 알고리즘을 중지했습니다.
-2	방정식을 풀지 못했습니다. 종료 메시지에 추가 정보가 포함될 수 있습니다.
-3	방정식을 풀지 못했습니다. 신뢰 영역 반지름이 너무 작아졌습니다(trust-region-dogleg 알고리즘).

output — 최적화 과정에 대한 정보

구조체

최적화 과정에 대한 정보로, 다음 필드를 가진 구조체로 반환됩니다.

iterations	수행된 반복 횟수
funcCount	함수 실행 횟수
algorithm	사용된 최적화 알고리즘
cgiterations	총 PCG 반복 횟수('trust-region' 알고리즘만 해당)
stepsize	x의 최종 변위('trust-region-dogleg'에는 해당되지 않음)
firstorderopt	1차 최적성에 대한 측정값
message	종료 메시지

jacobian — 해에서 계산된 야코비 행렬

실수 행렬

해에서 계산된 야코비 행렬로, 실수형 행렬로 반환됩니다. jacobian(i,j)는 해 x에서 계산된 x(j)에 대한 fun(i)의 편도함수입니다.

해에서 활성 제약 조건이 있는 문제의 경우 jacobian은 신뢰구간을 추정하는 데 유용하지 않습니다.

제한 사항

• 풀려는 함수는 연속 함수여야 합니다.

• 성공할 경우 fsolve는 하나의 근만 제공합니다.

• 디폴트 값인 trust-region dogleg 방법은 연립방정식이 정사각 행렬인 경우(즉, 방정식 개수가 미지수 개수와 같음)에만 사용할 수 있습니다. Levenberg-Marquardt 방법을 사용하는 경우 연립방정식이 정사각 행렬일 필요가 없습니다.

세부 정보

향상된 종료 메시지

다음 몇 가지 항목은 fsolve에서 반환될 수 있는 향상된 종료 메시지를 나열한 것입니다. 향상된 종료 메시지에는 자세한 정보를 볼 수 있는 링크가 메시지의 첫 문장으로 제공됩니다.

방정식을 품

솔버가 함수 값의 제곱합이 FunctionTolerance 허용오차의 제곱근보다 작은 점을 찾았습니다. 제곱합의 기울기도 OptimalityTolerance(Levenberg-Marquardt 알고리즘의 경우 1e-4*OptimalityTolerance)보다 작습니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 솔버가 성공한 경우 항목을 참조하십시오.

초기점에서 방정식의 해를 구함

초기점이 방정식의 해인 것으로 보입니다. 함수 값의 제곱합이 FunctionTolerance 허용오차의 제곱근보다 작기 때문입니다. 제곱합의 기울기 크기도 OptimalityTolerance(Levenberg-Marquardt 알고리즘의 경우 1e-4*OptimalityTolerance)보다 작습니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 최종점과 초기점이 동일함 항목을 참조하십시오.

방정식을 풀었지만 솔버가 중단됨

솔버가 함수 값의 제곱합이 FunctionTolerance 허용오차의 제곱근보다 작은 점을 찾았습니다. 하지만 마지막 스텝이 StepTolerance 허용오차보다 작습니다. 이는 함수가 급격히 변할 수 있거나 함수가 최종점 근처에서 매끄럽지 않다는 것을 나타냅니다. 이것이 중단되었다는 말의 의미입니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 국소 최솟값일 수 있음 항목을 참조하십시오.

방정식을 풀었지만 정확하지 않을 가능성이 있음

솔버가 함수 값의 제곱합이 FunctionTolerance 허용오차의 제곱근보다 작은 점을 찾았습니다. 하지만 합의 기울기가 OptimalityTolerance(Levenberg-Marquardt 알고리즘의 경우 1e-4*OptimalityTolerance)보다 크더라도 마지막 스텝에서 제곱합은 거의 변경되지 않았습니다. 이는 보고된 점이 해에 가깝지 않다는 것을 의미할 수 있습니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 국소 최솟값일 수 있음 항목을 참조하십시오.

해를 찾지 못함

솔버가 함수 값의 제곱합을 더 줄일 수 없는데 이 제곱합이 FunctionTolerance 허용오차의 제곱근을 초과합니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 fsolve가 방정식을 풀 수 없음 항목을 참조하십시오.

종료 메시지에 대한 정의

다음 몇 가지 항목은 fsolve 종료 메시지에 나오는 용어에 대한 정의를 포함합니다.

풀이 방법

연립방정식 F(x) = 0을 풀기 위해 솔버는 일반적으로 함수 값의 제곱합 r = Σ(F_i(x))²을 최소화하려고 시도합니다. r과 ∇r 모두 해에서 0이어야 합니다.

허용오차

일반적으로, 허용오차는 이 값을 넘는 경우 솔버의 반복이 중지되는 임계값입니다. 허용오차에 대한 자세한 내용은 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오.

OptimalityTolerance

OptimalityTolerance라고 하는 허용오차는 1차 최적성 측정값과 관련이 있습니다. 1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance보다 작은 경우 반복이 종료됩니다.

1차 최적성 측정값은 함수 값의 제곱합의 기울기 크기입니다. 이 값은 매끄러운 함수의 근에서 0이어야 합니다.

FunctionTolerance

FunctionTolerance라고 하는 함수 허용오차는 함수 값의 제곱합의 최근 변화량 크기와 관련이 있습니다.

StepTolerance

StepTolerance는 마지막 스텝의 크기에 대한 허용오차로, fsolve가 실행된 위치에서의 변화량 크기입니다.

정칙 문제로 보임

문제가 정칙 문제로 보인다는 것은 함수 값의 제곱합의 기울기 크기가 OptimalityTolerance 허용오차(Levenberg-Marquardt 알고리즘의 경우 1e-4*OptimalityTolerance)보다 작다는 의미입니다.

마지막 단계가 무효임

솔버가 함수 값의 제곱합을 FunctionTolerance 허용오차의 제곱근 아래로 감소시키지 못했습니다. 마지막 반복에서 다음 단계를 시도할 만큼 충분히 제곱합이 감소하지 못했습니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 fsolve가 방정식을 풀 수 없음 항목을 참조하십시오.

국소적으로 특이성을 보임

신뢰 영역이 너무 작아서 계속할 수 없습니다. 이는 함수 값의 제곱합이 2차 모델에 가깝지 않기 때문일 수 있습니다. 자세한 내용은 Trust-Region-Dogleg 알고리즘 항목을 참조하십시오.

신뢰 영역 반지름

신뢰 영역이 너무 작아서 계속할 수 없습니다. 이는 함수 값의 제곱합이 2차 모델에 가깝지 않기 때문일 수 있습니다. 자세한 내용은 Trust-Region-Dogleg 알고리즘 항목을 참조하십시오.

정규화 파라미터

Levenberg-Marquardt 정규화 파라미터는 신뢰 영역 반지름에 대한 역수와 관련이 있습니다. 이 파라미터는 함수 값의 제곱합이 2차 모델에 가깝지 않을 때 커집니다. 자세한 내용은 Levenberg-Marquardt 방법 항목을 참조하십시오.

팁

• 변수가 수천 개 이상 있는 큰 문제의 경우, Algorithm 옵션을 'trust-region'으로 설정하고 SubproblemAlgorithm 옵션을 'cg'로 설정하면 메모리를 절약할 수 있으며 시간도 절약할 수 있습니다.

알고리즘

Levenberg-Marquardt 방법과 trust-region 방법은 lsqnonlin에도 사용된 비선형 최소제곱 알고리즘을 기반으로 합니다. 시스템이 0을 가지지 않을 가능성이 있는 경우 이 방법 중 하나를 사용하십시오. 알고리즘은 여전히 잔차가 작은 점을 반환합니다. 하지만, 시스템의 야코비 행렬이 특이 행렬인 경우 알고리즘이 연립방정식의 해가 아닌 점으로 수렴할 수 있습니다(제한 사항 참조).

• 기본적으로 fsolve는 trust-region dogleg 알고리즘을 선택합니다. 이 알고리즘은 파월(Powell)의 dogleg 방법([8]에 설명되어 있음)의 변형입니다. 이는 [7]에 구현된 알고리즘과 성격이 비슷합니다. Trust-Region-Dogleg 알고리즘 항목을 참조하십시오.

• trust-region 알고리즘은 부분공간 trust-region 방법이며 interior-reflective 뉴턴 방법([1] 및 [2]에 설명되어 있음)을 기반으로 합니다. 각 반복에는 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 방법을 사용한 대규모 선형 시스템의 근사해 풀이 작업이 포함됩니다. Trust-Region 알고리즘 항목을 참조하십시오.

• Levenberg-Marquardt 방법은 참고 문헌 [4], [5], [6]에 설명되어 있습니다. Levenberg-Marquardt 방법 항목을 참조하십시오.

대체 기능

앱

최적화 라이브 편집기 작업은 fsolve에 대한 시각적 인터페이스를 제공합니다.

참고 문헌

[1] Coleman, T.F. and Y. Li, “An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds,” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, pp. 418-445, 1996.

[2] Coleman, T.F. and Y. Li, “On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds,” Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, pp. 189-224, 1994.

[3] Dennis, J. E. Jr., “Nonlinear Least-Squares,” State of the Art in Numerical Analysis, ed. D. Jacobs, Academic Press, pp. 269-312.

[4] Levenberg, K., “A Method for the Solution of Certain Problems in Least-Squares,” Quarterly Applied Mathematics 2, pp. 164-168, 1944.

[5] Marquardt, D., “An Algorithm for Least-squares Estimation of Nonlinear Parameters,” SIAM Journal Applied Mathematics, Vol. 11, pp. 431-441, 1963.

[6] Moré, J. J., “The Levenberg-Marquardt Algorithm: Implementation and Theory,” Numerical Analysis, ed. G. A. Watson, Lecture Notes in Mathematics 630, Springer Verlag, pp. 105-116, 1977.

[7] Moré, J. J., B. S. Garbow, and K. E. Hillstrom, User Guide for MINPACK 1, Argonne National Laboratory, Rept. ANL-80-74, 1980.

[8] Powell, M. J. D., “A Fortran Subroutine for Solving Systems of Nonlinear Algebraic Equations,” Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Rabinowitz, ed., Ch.7, 1970.

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

• fsolve는 codegen (MATLAB Coder) 함수 또는 MATLAB Coder™ 앱을 사용한 코드 생성을 지원합니다. 코드를 생성하려면 MATLAB Coder 라이선스가 있어야 합니다.

• 타깃 하드웨어는 표준 배정밀도 부동소수점 계산을 지원해야 합니다. 단정밀도 또는 고정소수점 계산에 대해서는 코드를 생성할 수 없습니다.

• 코드 생성 대상은 MATLAB 솔버와 동일한 수학 커널 라이브러리를 사용하지 않습니다. 따라서 특히 조건이 나쁜 문제인 경우에 코드 생성의 해가 솔버의 해와 다를 수 있습니다.

• 생성을 위한 모든 코드는 MATLAB 코드여야 합니다. 구체적으로, 사용자 지정 블랙박스 함수는 fsolve에 대한 목적 함수로 사용할 수 없습니다. C 또는 C++에서 코딩된 사용자 지정 함수는 coder.ceval을 사용하여 실행할 수 있습니다. 단, 사용자 지정 함수를 MATLAB 함수 내부에서 호출해야 합니다.

• fsolve는 코드 생성 시 problem 인수를 지원하지 않습니다.

  [x,fval] = fsolve(problem) % Not supported

• 목적 함수를 지정할 때는 문자열이나 문자 이름이 아니라 함수 핸들을 사용해야 합니다.

  x = fsolve(@fun,x0,options) % Supported
  % Not supported: fsolve('fun',...) or fsolve("fun",...)

• 임베디드 프로세서가 사용되는 고급 코드 최적화의 경우에는 Embedded Coder^® 라이선스도 필요합니다.

• fsolve에 대한 옵션을 포함하고 optimoptions를 사용하여 옵션을 지정해야 합니다. 옵션에는 'levenberg-marquardt'로 설정된 Algorithm 옵션이 포함되어야 합니다.

  options = optimoptions('fsolve','Algorithm','levenberg-marquardt');
  [x,fval,exitflag] = fsolve(fun,x0,options);

• 코드 생성에 지원되는 옵션은 다음과 같습니다.

  • Algorithm — 'levenberg-marquardt'이어야 함

  • FiniteDifferenceStepSize

  • FiniteDifferenceType

  • FunctionTolerance

  • MaxFunctionEvaluations

  • MaxIterations

  • SpecifyObjectiveGradient

  • StepTolerance

  • TypicalX

• 생성된 코드는 옵션에 대해 제한적인 오류 검사를 수행합니다. 옵션을 업데이트할 때 권장하는 방법은 점 표기법이 아니라 optimoptions를 사용하는 것입니다.

  opts = optimoptions('fsolve','Algorithm','levenberg-marquardt');
  opts = optimoptions(opts,'MaxIterations',1e4); % Recommended
  opts.MaxIterations = 1e4; % Not recommended

• 파일에서 옵션을 불러오지 마십시오. 파일에서 불러오면 코드 생성이 실패할 수 있습니다. 대신 코드에서 옵션을 만드십시오.

• 일반적으로, 지원되지 않는 옵션을 지정하면 코드 생성 시에 해당 옵션이 별다른 표시 없이 무시됩니다. 그러나 점 표기법을 사용하여 플롯 함수 또는 출력 함수를 지정하면 코드 생성에서 오류가 발생할 수 있습니다. 안정적인 코드 생성을 위해 지원되는 옵션만 지정하십시오.

• 출력 함수와 플롯 함수는 지원되지 않으므로 솔버는 종료 플래그 –1을 반환하지 않습니다.

예제는 fsolve에 대한 코드 생성하기 항목을 참조하십시오.

자동 병렬 지원

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 자동 병렬 계산을 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

병렬로 실행하려면 'UseParallel' 옵션을 true로 설정하십시오.

options = optimoptions('solvername','UseParallel',true)

자세한 내용은 Using Parallel Computing in Optimization Toolbox 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2023b: JacobianMultiplyFcn이 모든 데이터형을 받음

JacobianMultiplyFcn 옵션에 대한 구문은 다음과 같습니다.

W = jmfun(Jinfo, Y, flag)

MATLAB이 함수 jmfun에 전달하는 Jinfo 데이터는 이제 어떤 데이터형도 될 수 있습니다. 예를 들어 이제 Jinfo는 구조체가 될 수 있습니다. 이전 릴리스에서는 Jinfo가 표준 double형 배열이어야 했습니다.

Jinfo 데이터는 목적 함수의 두 번째 출력값입니다.

[F,Jinfo] = myfun(x)

R2023b: CheckGradients 옵션은 제거될 예정임

CheckGradients 옵션은 향후 릴리스에서 제거될 예정입니다. 목적 함수 또는 비선형 제약 조건 함수의 1계 도함수를 검사하려면 checkGradients 함수를 사용하십시오.

참고 항목

fzero | lsqcurvefit | lsqnonlin | optimoptions | 최적화

도움말 항목

• 비선형 시스템을 야코비 행렬을 사용하지 않고 풀거나 사용하여 풀기
• Large Sparse System of Nonlinear Equations with Jacobian
• Large System of Nonlinear Equations with Jacobian Sparsity Pattern
• 제약 조건이 있는 비선형 시스템
• 솔버 기반 최적화 문제 설정
• 방정식 풀이 알고리즘