제약 조건이 있는 비선형 시스템

부등식 제약 조건이 있는 방정식 풀기

fsolve는 비선형 연립방정식을 풉니다. 하지만, 이 함수를 사용하는 경우 범위 제약 조건을 포함하여 어떠한 제약 조건도 포함시킬 수 없습니다. 그렇다면 제약 조건이 있을 때는 비선형 연립방정식을 어떻게 풀 수 있을까요?

제약 조건을 충족하는 해가 존재한다는 보장은 없습니다. 사실 이 문제는 어떠한 해도 가지지 않을 수 있으며 제약 조건을 충족하지 않는 해조차 없을 수도 있습니다. 그럼에도 불구하고 제약 조건을 충족하는 해를 찾는 데 도움이 될 수 있는 기법이 있습니다.

다음 방정식을 푸는 방법을 통해 이 기법을 살펴보겠습니다.

$\begin{array}{c} F_{1} (x) = (x_{1} + 1) (10 - x_{1}) \frac{1 + x_{2}^{2}}{1 + x_{2}^{2} + x_{2}} \\ F_{2} (x) = (x_{2} + 2) (20 - x_{2}) \frac{1 + x_{1}^{2}}{1 + x_{1}^{2} + x_{1}}, \end{array}$

여기서 $x$ 의 성분은 음수가 아니어야 합니다. 이 방정식에는 다음과 같은 네 개의 해가 있습니다.

$\begin{array}{l} x = (- 1, - 2) \\ x = (10, - 2) \\ x = (- 1, 20) \\ x = (10, 20) . \end{array}$

이 중에서 제약 조건을 충족하는 해는 $x = (10, 20)$ 하나뿐입니다.

이 예제의 마지막 부분에 있는 fbnd 헬퍼 함수가 $F (x)$ 를 수치적으로 계산합니다.

여러 다른 시작점 사용하기

일반적으로, $N$ 개 변수의 $N$ 개의 연립방정식에는 고립된(Isolated) 해가 있습니다. 이는 각 해의 근방에는 그 또한 해가 되는 인근 이웃이 없다는 것을 의미합니다. 따라서 제약 조건을 충족하는 해를 찾는 한 가지 방법은 여러 초기점 x0을 생성하고 각 x0에서 시작하여 fsolve를 실행하는 것입니다.

이 예제에서는 연립방정식 $F (x) = 0$ 의 해를 찾기 위해 평균이 0이고 표준편차가 100인 정규분포를 갖는 임의의 점 10개를 사용합니다.

rng default % For reproducibility
N = 10; % Try 10 random start points
pts = 100*randn(N,2); % Initial points are rows in pts
soln = zeros(N,2); % Allocate solution
opts = optimoptions('fsolve','Display','off');
for k = 1:N
    soln(k,:) = fsolve(@fbnd,pts(k,:),opts); % Find solutions
end

제약 조건을 충족하는 해를 나열합니다.

idx = soln(:,1) >= 0 & soln(:,2) >= 0;
disp(soln(idx,:))

   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000

다른 여러 알고리즘 사용하기

fsolve에는 3가지 알고리즘이 있습니다. 알고리즘마다 서로 다른 해를 도출할 수 있습니다.

이 예제에서는 x0 = [1,9]를 사용하여 각 알고리즘이 반환하는 해를 검토합니다.

x0 = [1,9];
opts = optimoptions(@fsolve,'Display','off',...
    'Algorithm','trust-region-dogleg');
x1 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x1 = 1×2

   -1.0000   -2.0000

opts.Algorithm = 'trust-region';
x2 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x2 = 1×2

   -1.0000   20.0000

opts.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
x3 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x3 = 1×2

    0.9523    8.9941

여기서는 세 가지 알고리즘 모두 동일한 초기점에 대해 각기 다른 해를 구합니다. 어떤 해도 제약 조건을 충족하지 않습니다. 보고된 "해" x3은 해가 아니라 국소 정상점(stationary point)일 뿐입니다.

범위가 있는 `lsqnonlin` 사용하기

lsqnonlin은 벡터 함수 $F (x)$ 의 성분에 대한 제곱합을 최소화하려고 합니다. 따라서, 방정식 $F (x) = 0$ 을 풀려고 시도합니다. 또한, lsqnonlin은 범위 제약 조건을 받습니다.

lsqnonlin의 예제 문제를 정식화한 후 풀어봅니다.

lb = [0,0];
rng default
x0 = 100*randn(2,1);
[x,res] = lsqnonlin(@fbnd,x0,lb)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

res = 2.4783e-25

이 경우, lsqnonlin은 제약 조건을 충족하는 해로 수렴됩니다. Global Optimization Toolbox의 MultiStart 솔버와 함께 lsqnonlin을 사용하면 많은 초기점에서 자동으로 탐색을 수행할 수 있습니다. MultiStart Using lsqcurvefit or lsqnonlin (Global Optimization Toolbox) 항목을 참조하십시오.

방정식과 부등식을 `fmincon` 제약 조건으로 설정하기

다음과 같이 문제를 다시 정식화하고 fmincon을 사용할 수 있습니다.

각 x에 대해 @(x)0처럼 0으로 계산되는 상수 목적 함수를 제공합니다.
fsolve 목적 함수를 fmincon에서 비선형 등식 제약 조건으로 설정합니다.
일반적인 fmincon 구문에 그 밖의 다른 제약 조건을 제공합니다.

이 예제의 마지막 부분에 있는 fminconstr 헬퍼 함수는 비선형 제약 조건을 구현합니다. 제약 조건이 있는 문제를 풉니다.

lb = [0,0]; % Lower bound constraint
rng default % Reproducible initial point
x0 = 100*randn(2,1);
opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','interior-point','Display','off');
x = fmincon(@(x)0,x0,[],[],[],[],lb,[],@fminconstr,opts)

이 경우, fmincon은 시작점에서 문제를 풉니다.

헬퍼 함수

다음 코드는 fbnd 헬퍼 함수를 생성합니다.

function F = fbnd(x)

F(1) = (x(1)+1)*(10-x(1))*(1+x(2)^2)/(1+x(2)^2+x(2));
F(2) = (x(2)+2)*(20-x(2))*(1+x(1)^2)/(1+x(1)^2+x(1));
end

다음 코드는 fminconstr 헬퍼 함수를 생성합니다.

function [c,ceq] = fminconstr(x)

c = []; % No nonlinear inequality
ceq = fbnd(x); % fsolve objective is fmincon nonlinear equality constraints
end

참고 항목

fsolve | lsqnonlin | fmincon