제약 조건이 있는 비선형 시스템

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부등식 제약 조건이 있는 방정식 풀기
여러 다른 시작점 사용하기
다른 여러 알고리즘 사용하기
lsqnonlin 사용(범위 있음)
방정식과 부등식을 fmincon 제약 조건으로 설정하기

부등식 제약 조건이 있는 방정식 풀기

fsolve는 비선형 연립방정식을 풉니다. 하지만, 이 함수를 사용하는 경우 범위 제약 조건을 포함하여 어떠한 제약 조건도 포함시킬 수 없습니다. 그렇다면 제약 조건이 있을 때는 비선형 연립방정식을 어떻게 풀 수 있을까요?

간단히 말하면, 제약 조건을 충족하는 해가 존재한다고 보장할 수 없습니다. 즉, 제약 조건을 충족하지 않는 해를 포함해 어떠한 해도 존재하지 않을 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 제약 조건을 충족하는 해를 찾는 데 도움이 될 수 있는 기법이 있습니다.

다음 방정식을 푸는 방법을 통해 이 기법을 살펴보겠습니다.

\begin{matrix} F_{1} (x) = (x_{1} + 1) (10 - x_{1}) \frac{1 + x_{2}^{2}}{1 + x_{2}^{2} + x_{2}} \\ F_{2} (x) = (x_{2} + 2) (20 - x_{2}) \frac{1 + x_{1}^{2}}{1 + x_{1}^{2} + x_{1}}, \end{matrix}

(1)

여기서 x의 성분은 음수가 아니어야 합니다. 확실히, 이 방정식에는 네 개의 해가 있습니다.

x = (–1,–2)
x = (10,–2),
x = (–1,20),
x = (10,20).

그중 제약 조건을 충족하는 해는 하나뿐입니다(즉, x = (10,20).).

방정식을 수치적으로 풀기 위해 먼저 F(x)를 계산하는 코드를 입력합니다.

function F = fbnd(x)

F(1) = (x(1)+1)*(10-x(1))*(1+x(2)^2)/(1+x(2)^2+x(2));
F(2) = (x(2)+2)*(20-x(2))*(1+x(1)^2)/(1+x(1)^2+x(1));

이 코드를 MATLAB^® 경로에 fbnd.m이라는 파일로 저장합니다.

여러 다른 시작점 사용하기

일반적으로, N개 변수의 N개의 방정식으로 구성된 시스템에는 고립된(Isolated) 해가 있습니다. 이는 각 해의 근방에는 그 또한 해가 되는 인근 이웃이 없다는 것을 의미합니다. 따라서 제약 조건을 충족하는 해를 찾는 한 가지 방법은 여러 초기점 x0을 생성하고 각 x0에서 시작하여 fsolve를 실행하는 것입니다.

이 예제에서는 수식 1의 해를 찾기 위해 평균이 0이고 표준 편차가 100인 정규분포를 갖는 임의의 점 10개를 사용합니다.

rng default % for reproducibility
N = 10; % try 10 random start points
pts = 100*randn(N,2); % initial points are rows in pts
soln = zeros(N,2); % allocate solution
opts = optimoptions('fsolve','Display','off');
for k = 1:N
    soln(k,:) = fsolve(@fbnd,pts(k,:),opts); % find solutions
end

soln에서 해를 검토합니다. 그러면 제약 조건을 충족하는 여러 해를 찾을 수 있을 것입니다.

다른 여러 알고리즘 사용하기

fsolve 알고리즘은 세 가지가 있습니다. 각각 다른 해를 생성할 수 있습니다.

이 예제에서는 x0 = [1,9]를 사용하여 각 알고리즘이 반환하는 해를 검토합니다.

x0 = [1,9];
opts = optimoptions(@fsolve,'Display','off',...
    'Algorithm','trust-region-dogleg');
x1 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x1 =

   -1.0000   -2.0000

opts.Algorithm = 'trust-region';
x2 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x2 =

   -1.0000   20.0000

opts.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
x3 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x3 =

    0.9523    8.9941

여기서는 세 가지 알고리즘 모두 동일한 초기점에 대해 각기 다른 해를 구합니다. 실제로, x3은 해가 아니라 단순히 국소 정상점(stationary point)입니다.

lsqnonlin 사용(범위 있음)

lsqnonlin은 벡터 함수 F(x)의 성분에 대한 제곱 합을 최소화하려고 합니다. 따라서, 방정식 F(x) = 0을 풀려고 시도합니다. 또한, lsqnonlin은 범위 제약 조건을 받습니다.

lsqnonlin의 예제 문제를 정식화한 후 풀어봅니다.

lb = [0,0];
rng default
x0 = 100*randn(2,1);
[x,res] = lsqnonlin(@fbnd,x0,lb)

x =

   10.0000
   20.0000


res =

   2.4783e-25

Global Optimization Toolbox의 MultiStart 솔버와 함께 lsqnonlin을 사용하면 많은 초기점에서 자동으로 탐색을 수행할 수 있습니다. MultiStart Using lsqcurvefit or lsqnonlin (Global Optimization Toolbox) 항목을 참조하십시오.

방정식과 부등식을 fmincon 제약 조건으로 설정하기

다음과 같이 문제를 다시 정식화하고 fmincon을 사용할 수 있습니다.

각 x에 대해 0으로 평가되는 @(x)0과 같은 상수 목적 함수를 제공합니다.
fsolve 목적 함수를 fmincon에서 비선형 등식 제약 조건으로 설정합니다.
일반적인 fmincon 구문에 그 밖의 다른 제약 조건을 제공합니다.

이 예제에서는 비선형 부등식 제약 조건에 대한 함수 파일을 작성합니다.

function [c,ceq] = fminconstr(x)

c = []; % no nonlinear inequality
ceq = fbnd(x); % the fsolve objective is fmincon constraints

이 코드를 MATLAB 경로에 fminconstr.m이라는 파일로 저장합니다.

제약 조건이 있는 문제를 풉니다.

lb = [0,0]; % lower bound constraint
rng default % reproducible initial point
x0 = 100*randn(2,1);
opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','interior-point','Display','off');
x = fmincon(@(x)0,x0,[],[],[],[],lb,[],@fminconstr,opts)