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lsqnonlin

비선형 최소제곱(비선형 데이터 피팅) 문제 풀기

비선형 최소제곱 솔버

다음 형식의 비선형 최소제곱 곡선 피팅 문제를 풉니다.

$$\underset{x}{\min }{\Vert f(x)\Vert }_2^2=\underset{x}{\min }\left(f_1{(x)}^2+f_2{(x)}^2+\mathrm{...}+f_n{(x)}^2\right)$$

이 문제는 x 성분에 대한 선택 사항으로 하한 lb와 상한 ub를 가집니다.

x, lb, ub는 벡터 또는 행렬일 수 있습니다. 행렬 인수 항목을 참조하십시오.

값 $${\Vert f(x)\Vert }_2^2$$(제곱 합)을 계산하는 대신 lsqnonlin에서는 사용자 정의 함수가 다음과 같이 벡터 값을 갖는 함수를 계산해야 합니다.

$$f(x)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ f_2(x)\\ ⋮\\ f_n(x)\end{array}\right].$$

구문

x = lsqnonlin(fun,x0)

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)

x = lsqnonlin(problem)

[x,resnorm] = lsqnonlin(___)

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(___)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = lsqnonlin(___)

설명

x = lsqnonlin(fun,x0)은 점 x0에서 시작하여 fun에 정의된 함수의 제곱 합에 대한 최솟값을 구합니다. 함수 fun은 값의 제곱 합이 아니라 값으로 구성된 벡터(또는 배열)를 반환해야 합니다. 이 알고리즘은 fun(x)의 성분에 대한 제곱 합을 암묵적으로 계산합니다.

참고

추가 파라미터 전달하기에는 필요한 경우 추가 파라미터를 벡터 함수 fun(x)에 전달하는 방법이 설명되어 있습니다.

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)는 해가 항상 범위 lb ≤ x ≤ ub 내에 있도록 x의 설계 변수에 대한 하한 및 상한 집합을 정의합니다. lb(i) = ub(i)를 지정하여 해 성분 x(i)를 고정할 수 있습니다.

참고

문제에 대해 지정된 입력 범위에 모순이 있는 경우 출력값 x는 x0이고 출력값 resnorm 및 residual은 []입니다.

범위 lb ≤ x ≤ ub을 위반하는 x0의 성분은 그 범위로 정의된 상자의 내부로 재설정됩니다. 범위를 준수하는 성분은 변경되지 않습니다.

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)는 options에 지정된 최적화 옵션을 사용하여 최소화합니다. 이 옵션을 설정하려면 optimoptions를 사용하십시오. 범위가 존재하지 않을 경우 lb와 ub에 빈 행렬을 전달하십시오.

x = lsqnonlin(problem)은 problem의 최솟값을 구합니다. 여기서 problem은 구조체(입력 인수에 설명되어 있음)입니다. problem 구조체는 작업 내보내기에 설명된 대로 최적화 앱에서 문제를 내보내어 만들 수 있습니다.

[x,resnorm] = lsqnonlin(___)은 임의의 입력 인수에 대해 x에서 계산된 잔차에 대한 2-노름의 제곱 값(sum(fun(x).^2))을 반환합니다.

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(___)은 추가로 해 x에서의 잔차 fun(x)의 값을 반환하고, 종료 상황을 설명하는 값 exitflag와 최적화 과정에 대한 정보가 포함된 구조체 output을 반환합니다.

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = lsqnonlin(___)은 추가로 해 x에서의 라그랑주 승수가 필드에 포함된 구조체 lambda를 반환하고, 해 x에서의 fun의 야코비 행렬을 반환합니다.

예제

단순한 지수 피팅하기

단순한 지수 감쇠 곡선을 데이터에 피팅합니다.

잡음이 추가된 지수 감쇠 모델에서 데이터를 생성합니다. 모델은 다음과 같습니다.

의 범위는 0부터 3까지이며 은 평균이 0이고 표준편차가 0.05인 정규분포된 잡음입니다.

rng default % for reproducibility
d = linspace(0,3);
y = exp(-1.3*d) + 0.05*randn(size(d));

문제: 데이터(d, y)가 주어진 경우 데이터를 최적으로 피팅하는 지수 감쇠율을 구합니다.

지수 감쇠율 을 받고 이 감쇠율을 갖는 모델과 데이터 간의 차이로 구성된 벡터를 반환하는 익명 함수를 만듭니다.

fun = @(r)exp(-d*r)-y;

최적의 감쇠율 값을 구합니다. 초기 추측값 x0 = 4를 임의로 선택합니다.

x0 = 4;
x = lsqnonlin(fun,x0)

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the default value of the function tolerance.

x = 1.2645

데이터와 최적 피팅의 지수 곡선을 플로팅합니다.

plot(d,y,'ko',d,exp(-x*d),'b-')
legend('Data','Best fit')
xlabel('t')
ylabel('exp(-tx)')

범위 제약 조건이 있는 문제 피팅하기

피팅 파라미터 중 일부에 범위가 있을 때의 최적의 피팅 모델을 구합니다.

다음 함수를 최적으로 피팅하는 중심화 와 스케일링 를 구합니다.

이때 피팅 대상은 다음과 같은 표준 정규 밀도입니다.

데이터 점으로 구성된 벡터 t와 이러한 점에 대응하는 정규 밀도를 만듭니다.

t = linspace(-4,4);
y = 1/sqrt(2*pi)*exp(-t.^2/2);

x(1)을 스케일링 로 사용하고 x(2)를 중심화 로 사용하여 정규분포 y와 정규화된 함수 사이의 차이를 계산하는 함수를 만듭니다.

fun = @(x)x(1)*exp(-t).*exp(-exp(-(t-x(2)))) - y;

x0 = [1/2,0]에서 시작하고 1/2과 3/2 사이의 스케일링 를 사용하고 -1과 3 사이의 중심화 를 사용하여 최적의 피팅을 구합니다.

lb = [1/2,-1];
ub = [3/2,3];
x0 = [1/2,0];
x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the default value of the function tolerance.

x = 1×2

    0.8231   -0.2444

두 함수를 플로팅하여 피팅의 품질을 확인합니다.

plot(t,y,'r-',t,fun(x)+y,'b-')
xlabel('t')
legend('Normal density','Fitted function')

디폴트가 아닌 옵션을 사용한 비선형 최소제곱

데이터 피팅 문제에서 다른 lsqnonlin 알고리즘을 사용할 때의 결과를 비교합니다.

관측 시간 데이터 xdata와 관측된 응답 변수 데이터 ydata가 있고 파라미터 및 를 찾아 다음 형식의 모델을 피팅하기를 원한다고 가정하겠습니다.

관측 시간과 응답 변수를 입력합니다.

xdata = ...
 [0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];
ydata = ...
 [455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];

단순한 지수 감쇠 모델을 만듭니다. 이 모델은 예측값과 관측값 사이의 차이로 구성된 벡터를 계산합니다.

fun = @(x)x(1)*exp(x(2)*xdata)-ydata;

시작점 x0 = [100,-1]을 사용하여 모델을 피팅합니다. 먼저, 디폴트 'trust-region-reflective' 알고리즘을 사용합니다.

x0 = [100,-1];
options = optimoptions(@lsqnonlin,'Algorithm','trust-region-reflective');
x = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options)

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the default value of the function tolerance.

x = 1×2

  498.8309   -0.1013

'levenberg-marquardt 알고리즘을 사용하여 차이가 있는지 확인합니다.

options.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
x = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options)

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the relative size of the current step is less than
the default value of the step size tolerance.

x = 1×2

  498.8309   -0.1013

두 알고리즘이 모두 같은 해를 찾았습니다. 해와 데이터를 플로팅합니다.

plot(xdata,ydata,'ko')
hold on
tlist = linspace(xdata(1),xdata(end));
plot(tlist,x(1)*exp(x(2)*tlist),'b-')
xlabel xdata
ylabel ydata
title('Exponential Fit to Data')
legend('Data','Exponential Fit')
hold off

비선형 최소제곱 해와 잔차 노름

다음을 최소화하는 x를 구하고

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}{\left(2+2k-e^{k{x}_1}-e^{k{x}_2}\right)}^2},$$

최소 제곱 합의 값을 구합니다.

lsqnonlin은 제곱 합이 사용자 정의 함수에서 명시적으로 구성되지 않는다고 가정하기 때문에 lsqnonlin에 전달되는 함수는 대신 다음과 같은 벡터 값을 갖는 함수를 계산해야 합니다.

$$F_k(x)=2+2k-e^{k{x}_1}-e^{k{x}_2},$$

여기서 k = 1 to 10입니다(즉, F는 10개의 성분을 가져야 함).

먼저, 10개의 성분으로 구성된 벡터 F를 계산하는 파일을 작성합니다.

function F = myfun(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));

점 x0 = [0.3,0.4]에서 시작하여 최솟점과 최솟값을 구합니다.

x0 = [0.3,0.4];
[x,resnorm] = lsqnonlin(@myfun,x0);

약 24회의 함수 실행 후 이 예제는 다음 해를 제공합니다.

x,resnorm

x = 
     0.2578   0.2578

resnorm = 
     124.3622

풀이 과정 검토하기

수행 당시(Display 옵션을 'iter'로 설정함)와 그 이후(output 구조체를 검토함) 모두에 대해 풀이 과정을 검토합니다.

관측 시간 데이터 xdata와 관측된 응답 변수 데이터 ydata가 있고 파라미터 및 를 찾아 다음 형식의 모델을 피팅하기를 원한다고 가정하겠습니다.

관측 시간과 응답 변수를 입력합니다.

xdata = ...
 [0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];
ydata = ...
 [455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];

단순한 지수 감쇠 모델을 만듭니다. 이 모델은 예측값과 관측값 사이의 차이로 구성된 벡터를 계산합니다.

fun = @(x)x(1)*exp(x(2)*xdata)-ydata;

시작점 x0 = [100,-1]을 사용하여 모델을 피팅합니다. Display 옵션을 'iter'로 설정하여 풀이 과정을 검토합니다. 풀이 과정에 대한 자세한 정보를 얻기 위해 output 구조체를 가져옵니다.

x0 = [100,-1];
options = optimoptions('lsqnonlin','Display','iter');
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options);

                                         Norm of      First-order 
 Iteration  Func-count     f(x)          step          optimality
     0          3          359677                      2.88e+04
Objective function returned Inf; trying a new point...
     1          6          359677        11.6976       2.88e+04      
     2          9          321395            0.5       4.97e+04      
     3         12          321395              1       4.97e+04      
     4         15          292253           0.25       7.06e+04      
     5         18          292253            0.5       7.06e+04      
     6         21          270350          0.125       1.15e+05      
     7         24          270350           0.25       1.15e+05      
     8         27          252777         0.0625       1.63e+05      
     9         30          252777          0.125       1.63e+05      
    10         33          243877        0.03125       7.48e+04      
    11         36          243660         0.0625        8.7e+04      
    12         39          243276         0.0625          2e+04      
    13         42          243174         0.0625       1.14e+04      
    14         45          242999          0.125        5.1e+03      
    15         48          242661           0.25       2.04e+03      
    16         51          241987            0.5       1.91e+03      
    17         54          240643              1       1.04e+03      
    18         57          237971              2       3.36e+03      
    19         60          232686              4       6.04e+03      
    20         63          222354              8        1.2e+04      
    21         66          202592             16       2.25e+04      
    22         69          166443             32       4.05e+04      
    23         72          106320             64       6.68e+04      
    24         75         28704.7            128       8.31e+04      
    25         78         89.7947        140.674       2.22e+04      
    26         81         9.57381        2.02599            684      
    27         84         9.50489      0.0619927           2.27      
    28         87         9.50489    0.000462263         0.0114      

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the default value of the function tolerance.

output 구조체를 검토하여 풀이 과정에 대한 자세한 정보를 얻습니다.

output

output = struct with fields:
    firstorderopt: 0.0114
       iterations: 28
        funcCount: 87
     cgiterations: 0
        algorithm: 'trust-region-reflective'
         stepsize: 4.6226e-04
          message: 'Local minimum possible....'

비교를 위해, Algorithm 옵션을 'levenberg-marquardt'로 설정합니다.

options.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options);

                                        First-Order                    Norm of 
 Iteration  Func-count    Residual       optimality      Lambda           step
     0           3          359677        2.88e+04         0.01
Objective function returned Inf; trying a new point...
     1          13          340761        3.91e+04       100000       0.280777
     2          16          304661        5.97e+04        10000       0.373146
     3          21          297292        6.55e+04        1e+06      0.0589933
     4          24          288240        7.57e+04       100000      0.0645444
     5          28          275407        1.01e+05        1e+06      0.0741266
     6          31          249954        1.62e+05       100000       0.094571
     7          36          245896        1.35e+05        1e+07      0.0133606
     8          39          243846        7.26e+04        1e+06     0.00944311
     9          42          243568        5.66e+04       100000     0.00821621
    10          45          243424        1.61e+04        10000     0.00777935
    11          48          243322         8.8e+03         1000      0.0673933
    12          51          242408         5.1e+03          100       0.675209
    13          54          233628        1.05e+04           10        6.59804
    14          57          169089        8.51e+04            1        54.6992
    15          60         30814.7        1.54e+05          0.1        196.939
    16          63         147.496           8e+03         0.01        129.795
    17          66         9.51503             117        0.001        9.96069
    18          69         9.50489          0.0714       0.0001       0.080486
    19          72         9.50489        4.91e-05        1e-05    5.07033e-05

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the relative size of the current step is less than
the default value of the step size tolerance.

'levenberg-marquardt'는 반복 횟수는 더 적지만 함수 실행 횟수는 거의 같은 수준에서 수렴되었습니다.

output

output = struct with fields:
       iterations: 19
        funcCount: 72
         stepsize: 5.0703e-05
     cgiterations: []
    firstorderopt: 4.9122e-05
        algorithm: 'levenberg-marquardt'
          message: 'Local minimum possible....'

입력 인수

fun — 제곱 합이 최소화되는 함수

함수 핸들 | 함수의 이름

제곱 합이 최소화되는 함수로, 함수 핸들 또는 함수 이름으로 지정됩니다. fun은 배열 x를 받고 x에서 계산된 목적 함수인 배열 F를 반환하는 함수입니다. 함수 fun은 다음과 같이 파일에 대한 파일 핸들로 지정할 수 있습니다.

x = lsqnonlin(@myfun,x0)

여기서 myfun은 다음과 같은 MATLAB^® 함수입니다.

function F = myfun(x)
F = ...            % Compute function values at x

fun을 익명 함수에 대한 함수 핸들로 지정할 수도 있습니다.

x = lsqnonlin(@(x)sin(x.*x),x0);

x와 F의 사용자 정의 값이 배열인 경우, 이 값은 선형 인덱싱을 사용하여 벡터로 변환됩니다(배열 인덱싱 (MATLAB) 참조).

참고

제곱 합을 명시적으로 구성해서는 안 됩니다. 대신, 사용자의 함수가 함수 값으로 구성된 벡터를 반환해야 합니다. 예제 항목을 참조하십시오.

야코비 행렬도 계산할 수 있고 야코비 행렬 옵션이 다음 설정처럼 'on'인 경우

options = optimoptions('lsqnonlin','SpecifyObjectiveGradient',true)

함수 fun은 x에서 계산된 야코비 행렬 값 J(행렬)로 두 번째 출력 인수를 반환해야 합니다. 함수는 nargout의 값을 확인함으로써 fun이 하나의 출력 인수만 사용하여 호출되는 경우(이 경우 최적화 알고리즘에는 J가 아니라 F의 값만 필요함) J 계산을 피할 수 있습니다.

function [F,J] = myfun(x)
F = ...          % Objective function values at x
if nargout > 1   % Two output arguments
   J = ...   % Jacobian of the function evaluated at x
end

fun이 m개 성분으로 구성된 배열을 반환하고 x가 n개 요소를 가지는 경우(여기서 n은 x0의 요소 개수임), 야코비 행렬 J는 mxn 행렬입니다. 여기서 J(i,j)는 x(j)에 대한 F(i)의 편도함수입니다. 야코비 행렬 J는 F의 기울기의 전치입니다.

예: @(x)cos(x).*exp(-x)

데이터형: char | function_handle | string

x0 — 초기점

실수형 벡터 | 실수형 배열

초기점으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. 솔버는 x0의 요소 개수와 이 인수의 크기를 사용하여 fun이 받는 변수의 개수와 크기를 확인합니다.

예: x0 = [1,2,3,4]

데이터형: double

lb — 하한

실수형 벡터 | 실수형 배열

하한으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. x0의 요소 개수가 lb의 요소 개수와 같은 경우 lb는 다음을 지정합니다.

모든 i에 대해 x(i) >= lb(i).

numel(lb) < numel(x0)이면 lb는 다음을 지정합니다.

1 <= i <= numel(lb)에 대해 x(i) >= lb(i).

lb의 요소 개수가 x0의 요소 개수보다 적으면 솔버는 경고를 발생시킵니다.

예: 모든 x 성분이 양수가 되도록 지정하려면 lb = zeros(size(x0))을 사용하십시오.

데이터형: double

ub — 상한

실수형 벡터 | 실수형 배열

상한으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. x0의 요소 개수가 ub의 요소 개수와 같은 경우 ub는 다음을 지정합니다.

모든 i에 대해 x(i) <= ub(i).

numel(ub) < numel(x0)이면 ub는 다음을 지정합니다.

1 <= i <= numel(ub)에 대해 x(i) <= ub(i).

ub의 요소 개수가 x0의 요소 개수보다 적으면 솔버는 경고를 발생시킵니다.

예: 모든 x 성분이 1보다 작도록 지정하려면 ub = ones(size(x0))을 사용하십시오.

데이터형: double

options — 최적화 옵션

optimoptions의 출력값 | optimset이 반환하는 구조체

최적화 옵션으로, optimoptions의 출력값 또는 optimset 등이 반환하는 구조체로 지정됩니다.

옵션에 따라 모든 알고리즘에 적용되는 옵션이 있고 특정 알고리즘에만 유효한 옵션이 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 참조 항목을 참조하십시오.

일부 옵션은 optimoptions 표시에 나타나지 않습니다. 이러한 옵션은 다음 표에서 기울임꼴로 표시되어 있습니다. 자세한 내용은 View Options 항목을 참조하십시오.

모든 알고리즘
Algorithm	'trust-region-reflective'(디폴트 값) 및 'levenberg-marquardt' 중에서 선택합니다. Algorithm 옵션은 사용할 알고리즘에 대한 기본 설정을 지정합니다. 각 알고리즘을 사용하려면 특정 조건이 충족되어야 하기 때문에 이는 단지 기본적인 설정에 불과합니다. 가령 trust-region-reflective 알고리즘이라면 비선형 연립방정식이 부족 결정 시스템이어서는 안 됩니다. 다시 말해 방정식 개수(fun으로 반환되는 F의 요소 개수)가 x의 길이보다 크거나 같아야 합니다. Levenberg-Marquardt 알고리즘은 범위 제약 조건을 처리하지 않습니다. 알고리즘을 선택하는 방법에 대한 자세한 내용은 알고리즘 선택하기 항목을 참조하십시오.
CheckGradients	사용자 제공 도함수(목적 함수 또는 제약 조건의 기울기)를 유한 차분 도함수와 비교합니다. false(디폴트 값) 또는 true를 선택할 수 있습니다. optimset의 경우, 이 이름은 DerivativeCheck이고 값은 'on' 또는 'off'입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
Diagnostics	최소화하거나 풀려는 함수에 대한 진단 정보를 표시합니다. 'off'(디폴트 값) 또는 'on'을 선택할 수 있습니다.
DiffMaxChange	유한 차분 기울기에 대한 변수의 최대 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 Inf입니다.
DiffMinChange	유한 차분 기울기에 대한 변수의 최소 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 0입니다.
Display	표시 수준입니다(반복 과정 표시 참조): 'off' 또는 'none'은 출력값을 표시하지 않습니다. 'iter'는 각 반복마다 출력값을 표시하고 디폴트 종료 메시지를 제공합니다. 'iter-detailed'는 각 반복마다 출력값을 표시하고 기술적인 종료 메시지를 제공합니다. 'final'(디폴트 값)은 최종 출력값만 표시하고 디폴트 종료 메시지를 제공합니다. 'final-detailed'는 최종 출력값만 표시하고 기술적인 종료 메시지를 제공합니다.
FiniteDifferenceStepSize	유한 차분에 대한 스칼라 또는 벡터 스텝 크기 인자입니다. FiniteDifferenceStepSize를 벡터 v로 설정하는 경우 전향 유한 차분 스텝 delta는 다음과 같습니다. delta = v.*sign′(x).*max(abs(x),TypicalX); 여기서 sign′(x) = sign(x)입니다(단, sign′(0) = 1임). 중심 유한 차분은 다음과 같습니다. delta = v.*max(abs(x),TypicalX); 스칼라 FiniteDifferenceStepSize는 벡터로 확장됩니다. 디폴트 값은 전향 유한 차분의 경우 sqrt(eps)이고 중심 유한 차분의 경우 eps^(1/3)입니다. optimset의 경우, 이 이름은 FinDiffRelStep입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
FiniteDifferenceType	기울기를 추정하는 데 사용되는 유한 차분으로, 'forward'(디폴트 값) 또는 'central'(중심화됨)입니다. 'central'은 함수 실행 횟수가 2배 더 많지만 더 정확합니다. 알고리즘은 두 유형의 유한 차분을 모두 추정하는 경우 범위를 준수하려고 노력합니다. 예를 들어, 범위 외부에 있는 점에서 실행되는 것을 방지하기 위해 전향 차분이 아니라 후향 차분을 사용할 수 있습니다. optimset의 경우, 이 이름은 FinDiffType입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
FunctionTolerance	함수 값에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-6입니다. 허용오차와 중지 조건 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 TolFun입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
FunValCheck	함수 값이 유효한지 여부를 확인합니다. 'on'은 함수가 complex, Inf 또는 NaN 값을 반환하는 경우에 오류를 표시합니다. 디폴트 값인 'off'는 오류를 표시하지 않습니다.
MaxFunctionEvaluations	허용되는 최대 함수 실행 횟수로, 양의 정수입니다. 디폴트 값은 100*numberOfVariables입니다. 허용오차와 중지 조건 항목과 반복 횟수와 함수 실행 횟수 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 MaxFunEvals입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
MaxIterations	허용되는 최대 반복 횟수로, 양의 정수입니다. 디폴트 값은 400입니다. 허용오차와 중지 조건 항목과 반복 횟수와 함수 실행 횟수 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 MaxIter입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
OptimalityTolerance	1차 최적성에 대한 종료 허용오차입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 1e-6입니다. 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오. 내부적으로, 'levenberg-marquardt' 알고리즘은 최적성 허용오차(중지 기준) 1e-4와 FunctionTolerance를 곱한 값을 사용하고 OptimalityTolerance는 사용하지 않습니다. optimset의 경우, 이 이름은 TolFun입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
OutputFcn	각 반복마다 최적화 함수가 호출하는 하나 이상의 사용자 정의 함수를 지정합니다. 함수 핸들 또는 함수 핸들 셀형 배열을 전달합니다. 디폴트 값은 없음([])입니다. Output Function Syntax 항목을 참조하십시오.
PlotFcn	알고리즘이 실행되는 동안 다양한 진행률 측정값을 플로팅합니다. 미리 정의된 플롯에서 선택하거나 사용자가 직접 작성할 수 있습니다. 이름, 함수 핸들 또는 이름이나 함수 핸들로 구성된 셀형 배열을 전달합니다. 사용자 지정 플롯 함수의 경우, 함수 핸들을 전달하십시오. 디폴트 값은 없음([])입니다. 'optimplotx'는 현재 점을 플로팅합니다. 'optimplotfunccount'는 함수 실행 횟수를 플로팅합니다. 'optimplotfval'은 함수 값을 플로팅합니다. 'optimplotresnorm'은 잔차에 대한 노름을 플로팅합니다. 'optimplotstepsize'는 스텝 크기를 플로팅합니다. 'optimplotfirstorderopt'는 1차 최적성 측정값을 플로팅합니다. 사용자 지정 플롯 함수를 작성하는 방법에 대한 자세한 내용은 Plot Function Syntax 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 PlotFcns입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
SpecifyObjectiveGradient	false(디폴트 값)인 경우, 솔버는 유한 차분을 사용하여 야코비 행렬의 근삿값을 계산합니다. true인 경우, 솔버는 목적 함수에 대해 사용자 정의 야코비 행렬(fun에서 정의됨)을 사용하거나 야코비 행렬 정보(JacobMult를 사용하는 경우)를 사용합니다. optimset의 경우, 이 이름은 Jacobian이고 값은 'on' 또는 'off'입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
StepTolerance	x에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-6입니다. 허용오차와 중지 조건 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 TolX입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
TypicalX	일반적인 x 값입니다. TypicalX의 요소 개수는 시작점 x0의 요소 개수와 같습니다. 디폴트 값은 ones(numberofvariables,1)입니다. 솔버는 기울기 추정 시 유한 차분을 스케일링하는 데 TypicalX를 사용합니다.
UseParallel	true인 경우, 솔버는 기울기를 병렬로 추정합니다. 디폴트 값 false로 설정하면 비활성화됩니다. 병렬 컴퓨팅 항목을 참조하십시오.
Trust-Region-Reflective 알고리즘
JacobianMultiplyFcn	야코비 행렬의 곱셈 함수로, 함수 핸들로 지정됩니다. 특정 구조를 가진 대규모 문제의 경우, 이 함수는 J를 실제로 구성하지 않고 야코비 행렬 곱 J*Y, J'*Y 또는 J'*(J*Y)를 계산합니다. 이 함수의 형식은 다음과 같습니다. W = jmfun(Jinfo,Y,flag) 여기서 Jinfo는 J*Y (또는 J'*Y나 J'*(J*Y))를 계산하는 데 사용되는 행렬을 포함합니다. 첫 번째 인수 Jinfo는 목적 함수 fun이 반환하는 두 번째 인수와 같아야 합니다. 예를 들어 다음과 같습니다. [F,Jinfo] = fun(x) Y는 문제의 차원과 동일한 개수의 행을 갖는 행렬입니다. flag는 계산해야 하는 곱을 결정합니다. flag == 0이면 W = J'*(J*Y)입니다. flag > 0이면 W = J*Y입니다. flag < 0이면 W = J'*Y입니다. 어느 경우든 J가 명시적으로 구성되지는 않습니다. 솔버는 Jinfo를 사용하여 선조건자를 계산합니다. jmfun에 필요한 추가 파라미터의 값을 제공하는 방법에 대한 자세한 내용은 추가 파라미터 전달하기 항목을 참조하십시오. 참고 솔버가 Jinfo를 fun에서 jmfun으로 전달하도록 하려면 'SpecifyObjectiveGradient'가 true로 설정되어야 합니다. 이와 유사한 예제를 보려면 Minimization with Dense Structured Hessian, Linear Equalities 항목과 Jacobian Multiply Function with Linear Least Squares 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 JacobMult입니다. Current and Legacy Option Name Tables 항목을 참조하십시오.
JacobPattern	유한 차분을 위한 야코비 행렬의 희소성 패턴입니다. fun(i)가 x(j)에 종속되는 경우 JacobPattern(i,j) = 1을 설정합니다. 그렇지 않은 경우 JacobPattern(i,j) = 0을 설정합니다. 다시 말해, ∂fun(i)/∂x(j) ≠ 0이 성립하는 경우 JacobPattern(i,j) = 1을 설정합니다. JacobPattern은 fun에서 야코비 행렬 J를 계산하는 것이 번거롭고 fun(i)가 x(j)에 종속된다는 사실은 (조사를 통해) 확인할 수 있는 경우에 사용합니다. JacobPattern을 제공하는 경우 솔버는 희소 유한 차분을 통해 J의 근삿값을 계산할 수 있습니다. 구조를 알 수 없는 경우 JacobPattern을 설정하지 마십시오. 이 경우 기본적으로 JacobPattern이 1로 구성된 조밀 행렬인 것처럼 동작합니다. 그러면 솔버가 각 반복마다 비희소 유한 차분 근삿값을 계산합니다. 이 과정은 대규모 문제의 경우 시간이 오래 걸릴 수 있으므로 희소성 구조를 확인하는 것이 일반적으로 더 좋습니다.
MaxPCGIter	최대 PCG(선조건 적용 켤레 기울기) 반복 횟수로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 max(1,numberOfVariables/2)입니다. 자세한 내용은 대규모 비선형 최소제곱 항목을 참조하십시오.
PrecondBandWidth	PCG에 대한 선조건자의 상부 대역폭으로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값 PrecondBandWidth는 Inf이며, 이는 직접 분해(촐레스키)가 켤레 기울기(CG) 대신 사용된다는 것을 의미합니다. 직접 분해는 CG보다 계산량이 더 많지만 해에 다가가는 데 있어 더 나은 품질의 스텝을 생성합니다. 대각 선조건 지정에서는 PrecondBandWidth를 0으로 설정합니다(상부 대역폭: 0). 일부 문제의 경우, 중간 대역폭을 사용하면 PCG 반복 횟수가 줄어듭니다.
SubproblemAlgorithm	반복 스텝이 계산되는 방식을 결정합니다. 디폴트 값 'factorization'은 'cg'보다 더 느리지만 더 정확한 스텝을 실행합니다. Trust-Region-Reflective 최소제곱 항목을 참조하십시오.
TolPCG	PCG 반복에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 0.1입니다.
Levenberg-Marquardt 알고리즘
InitDamping	Levenberg-Marquardt 파라미터의 초기값으로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-2입니다. 자세한 내용은 Levenberg-Marquardt 방법 항목을 참조하십시오.
ScaleProblem	'jacobian'을 사용하면 잘못 스케일링된 문제의 수렴이 향상될 수도 있습니다. 디폴트 값은 'none'입니다.

예: options = optimoptions('lsqnonlin','FiniteDifferenceType','central')

problem — 문제 구조체

구조체

문제 구조체로, 다음 필드를 가진 구조체로 지정됩니다.

필드 이름	항목
objective	목적 함수
x0	x의 초기점
lb	하한으로 구성된 벡터
ub	상한으로 구성된 벡터
solver	'lsqnonlin'
options	optimoptions로 생성되는 옵션

problem 구조체에 적어도 objective, x0, solver, options 필드는 반드시 제공해야 합니다.

problem 구조체를 얻을 수 있는 가장 간단한 방법은 최적화 앱에서 문제를 내보내는 것입니다.

데이터형: struct

출력 인수

x — 해(Solution)

실수형 벡터 | 실수형 배열

해로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 반환됩니다. x의 크기는 x0의 크기와 같습니다. 일반적으로 x는 exitflag가 양수인 경우 문제에 대한 국소해입니다. 해의 품질에 대한 자세한 내용은 When the Solver Succeeds 항목을 참조하십시오.

resnorm — 잔차에 대한 노름의 제곱

음이 아닌 실수

잔차에 대한 노름의 제곱으로, 음이 아닌 실수로 반환됩니다. resnorm은 x에서 계산된 잔차에 대한 2-노름의 제곱(sum(fun(x).^2))입니다.

residual — 해에서 계산된 목적 함수의 값

배열

해에서 계산된 목적 함수의 값으로, 배열로 반환됩니다. 일반적으로, residual = fun(x)입니다.

exitflag — 솔버가 중지된 이유

정수

솔버가 중지된 이유로, 정수로 반환됩니다.

1	함수가 해 x로 수렴되었습니다.
2	x의 변화량이 지정된 허용오차보다 작습니다.
3	잔차의 변화량이 지정된 허용오차보다 작습니다.
4	탐색 방향의 크기가 지정된 허용오차보다 작습니다.
0	반복 횟수가 options.MaxIterations를 초과하거나, 함수 실행 횟수가 options.MaxFunctionEvaluations를 초과했습니다.
-1	출력 함수가 알고리즘을 종료했습니다.
-2	문제가 실현 가능하지 않습니다. 범위 lb 및 ub에 모순이 있습니다.

output — 최적화 과정에 대한 정보

구조체

최적화 과정에 대한 정보로, 다음 필드를 가진 구조체로 반환됩니다.

firstorderopt	1차 최적성에 대한 측정값
iterations	수행된 반복 횟수
funcCount	함수 실행 횟수
cgiterations	총 PCG 반복 횟수(trust-region-reflective 알고리즘만 해당)
stepsize	x의 최종 변위
algorithm	사용된 최적화 알고리즘
message	종료 메시지

lambda — 해에서의 라그랑주 승수

구조체

해에서의 라그랑주 승수로, 다음 필드를 갖는 구조체로 반환됩니다.

lower	하한 lb
upper	상한 ub

jacobian — 해에서 계산된 야코비 행렬

실수 행렬

해에서 계산된 야코비 행렬로, 실수형 행렬로 반환됩니다. jacobian(i,j)는 해 x에서 계산된 x(j)에 대한 fun(i)의 편도함수입니다.

제한 사항

• Levenberg-Marquardt 알고리즘은 범위 제약 조건을 처리하지 않습니다.

• trust-region-reflective 알고리즘은 부족 결정 시스템을 풀지 않습니다. 이 알고리즘을 사용하려면 방정식 개수, 즉 F의 행 차원이 최소한 변수 개수여야 합니다. 부족 결정 시스템의 경우 lsqnonlin은 Levenberg-Marquardt 알고리즘을 사용합니다.

  trust-region-reflective 알고리즘은 부족 결정 시스템을 처리하지 않고 Levenberg-Marquardt 알고리즘은 범위 제약 조건을 처리하지 않으므로 이 두 특성을 모두 갖는 문제를 lsqnonlin으로 풀 수 없습니다.

• lsqnonlin은 levenberg-marquardt 알고리즘을 사용하여 직접 복소수 값을 갖는 문제를 풀 수 있습니다. 하지만, 이 알고리즘은 범위 제약 조건을 받지 않습니다. 범위 제약 조건이 있는 복소수 문제의 경우 변수를 실수부와 허수부로 분리한 후 trust-region-reflective 알고리즘을 사용하십시오. Fit a Model to Complex-Valued Data 항목을 참조하십시오.

• trust-region-reflective 방법의 선조건 적용 켤레 기울기 부분에 사용되는 선조건자 계산은 선조건자를 계산하기 전에 J^TJ(여기서 J는 야코비 행렬임)를 형성합니다. 따라서, 0이 아닌 요소를 많이 포함하는 J의 행은 거의 조밀한 곱 J^TJ를 생성하며, 이는 대규모 문제에서 비용이 많이 드는 풀이 과정을 초래할 수 있습니다.

• x의 성분에 상한(또는 하한)이 없는 경우 lsqnonlin은 기본적으로 ub(또는 lb)에서 대응하는 성분을 임의적이지만 매우 큰 양수(또는 하한의 경우 음수)로 설정하는 대신 inf(또는 하한의 경우 -inf)로 설정합니다.

중소 규모 문제에서는 fun에서 야코비 행렬을 계산하거나 야코비 행렬의 희소성 패턴을 제공하지 않고 lsqnonlin, lsqcurvefit, fsolve에 trust-region reflective 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 이는 헤세 행렬을 계산하거나 헤세 행렬의 희소성 패턴을 제공하지 않고 fmincon 또는 fminunc를 사용하는 경우에도 적용됩니다. 중소 규모는 얼마나 작은가요? 절대적인 답은 없습니다. 컴퓨터 시스템 구성의 가상 메모리 크기에 따라 달라지기 때문입니다.

문제에 m개의 방정식과 n개의 미지수가 있다고 가정하겠습니다. 명령 J = sparse(ones(m,n))을 실행할 경우 컴퓨터에 Out of memory 오류가 발생한다면 이 문제는 확실히 너무 큰 문제입니다. 오류가 발생하지 않은 경우에도 여전히 너무 큰 문제일 수 있습니다. 이를 확인할 수 있는 유일한 방법은 문제를 실행하고 MATLAB이 시스템에서 사용할 수 있는 가상 메모리 크기 내에서 실행되는지 확인하는 것입니다.

알고리즘

Levenberg-Marquardt 방법과 trust-region-reflective 방법은 fsolve에도 사용된 동일한 비선형 최소제곱 알고리즘을 기반으로 합니다.

• 디폴트 trust-region-reflective 알고리즘은 부분공간 trust-region 방법이며 interior-reflective 뉴턴 방법([1] 및 [2]에 설명되어 있음)을 기반으로 합니다. 각 반복에는 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 방법을 사용한 대규모 선형 시스템의 근사해 풀이 작업이 포함됩니다. Trust-Region-Reflective 최소제곱 항목을 참조하십시오.

• Levenberg-Marquardt 방법은 참고 문헌 [4], [5], [6]에 설명되어 있습니다. Levenberg-Marquardt 방법 항목을 참조하십시오.

참고 문헌

[1] Coleman, T.F. and Y. Li. “An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, 1996, pp. 418–445.

[2] Coleman, T.F. and Y. Li. “On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, 1994, pp. 189–224.

[3] Dennis, J. E. Jr. “Nonlinear Least-Squares.” State of the Art in Numerical Analysis, ed. D. Jacobs, Academic Press, pp. 269–312.

[4] Levenberg, K. “A Method for the Solution of Certain Problems in Least-Squares.” Quarterly Applied Mathematics 2, 1944, pp. 164–168.

[5] Marquardt, D. “An Algorithm for Least-squares Estimation of Nonlinear Parameters.” SIAM Journal Applied Mathematics, Vol. 11, 1963, pp. 431–441.

[6] Moré, J. J. “The Levenberg-Marquardt Algorithm: Implementation and Theory.” Numerical Analysis, ed. G. A. Watson, Lecture Notes in Mathematics 630, Springer Verlag, 1977, pp. 105–116.

[7] Moré, J. J., B. S. Garbow, and K. E. Hillstrom. User Guide for MINPACK 1. Argonne National Laboratory, Rept. ANL–80–74, 1980.

[8] Powell, M. J. D. “A Fortran Subroutine for Solving Systems of Nonlinear Algebraic Equations.” Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Rabinowitz, ed., Ch.7, 1970.

확장 기능

자동 병렬 지원

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 자동 병렬 계산을 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

병렬로 실행하려면 'UseParallel' 옵션을 true로 설정하십시오.

options = optimoptions('solvername','UseParallel',true)

자세한 내용은 Using Parallel Computing in Optimization Toolbox 항목을 참조하십시오.

참고 항목

fsolve | lsqcurvefit | optimoptions

도움말 항목

• 비선형 최소제곱(곡선 피팅)
• 솔버 기반 최적화 문제 설정
• 최소제곱(모델 피팅) 알고리즘

R2006a 이전에 개발됨