fzero
비선형 함수의 근(Root Of Nonlinear Function)
설명
예제
3 근방에서 사인 함수의 영점을 찾아 를 계산합니다.
fun = @sin; % function x0 = 3; % initial point x = fzero(fun,x0)
x = 3.1416
1과 2 사이에서 코사인의 영점을 찾습니다.
fun = @cos; % function x0 = [1 2]; % initial interval x = fzero(fun,x0)
x = 1.5708
참고로, 과 는 부호가 다릅니다.
함수와 단정밀도 스칼라 시작점 x0을 만듭니다. fzero를 사용하여 x0에서 시작하여 함수의 근을 구합니다.
f = @(x)cosh(x)-2*sinh(x); x0 = single(1); [x,fval,exitflag,output] = fzero(f,x0)
x = single
0.5493
fval = single
1.1921e-07
exitflag = single
1
output = struct with fields:
intervaliterations: 9
iterations: 3
funcCount: 21
algorithm: 'bisection, interpolation'
message: 'Zero found in the interval [0.547452, 1.32]'
요소를 2개 가진 단정밀도 벡터를 근을 괄호로 묶는 시작점으로 만들고, 해와 풀이 과정을 비교합니다.
x0 = single([-1,1]); [x2,fval2,exitflag2,output2] = fzero(f,x0)
x2 = single
0.5493
fval2 = single
1.1921e-07
exitflag2 = single
1
output2 = struct with fields:
intervaliterations: 0
iterations: 5
funcCount: 7
algorithm: 'bisection, interpolation'
message: 'Zero found in the interval [-1, 1]'
결과는 동일합니다. 이번에는 fzero가 훨씬 적은 횟수의 함수 실행을 사용합니다.
배정밀도로 동일한 계산을 수행한 결과와 단정밀도 결과를 비교합니다.
x0 = [-1,1]; [x3,fval3,exitflag3,output3] = fzero(f,x0)
x3 = 0.5493
fval3 = -2.2204e-16
exitflag3 = 1
output3 = struct with fields:
intervaliterations: 0
iterations: 7
funcCount: 9
algorithm: 'bisection, interpolation'
message: 'Zero found in the interval [-1, 1]'
배정밀도 데이터를 사용하면 fzero는 함수 실행을 몇 번 더 수행합니다. 배정밀도의 함수 값은 약 2e–16 수준으로, 단정밀도의 약 1e–7 수준보다 결과의 정확도가 훨씬 높습니다.
함수 f(x) = x3 – 2x – 5.의 영점을 찾습니다.
먼저, f.m이라는 파일을 작성합니다.
function y = f(x)
y = x.^3 - 2*x - 5;f.m을 MATLAB® 경로에 저장합니다.
2 근방에서 f(x)의 영점을 찾습니다.
fun = @f; % function x0 = 2; % initial point z = fzero(fun,x0)
z =
2.0946f(x)는 다항식이므로 roots 명령을 사용하여 영점에 해당하는 중복된 실수 값과 켤레 복소수 쌍을 찾을 수 있습니다.
roots([1 0 -2 -5])
ans = 2.0946 -1.0473 + 1.1359i -1.0473 - 1.1359i
추가 파라미터가 있는 함수의 근을 구합니다.
myfun = @(x,c) cos(c*x); % parameterized function c = 2; % parameter fun = @(x) myfun(x,c); % function of x alone x = fzero(fun,0.1)
x = 0.7854
일부 플롯 함수를 설정하여 풀이 과정을 플로팅합니다.
함수와 초기점을 정의합니다.
fun = @(x)sin(cosh(x)); x0 = 1;
플롯 함수를 포함하는 옵션을 설정하여 풀이 과정을 검토합니다.
options = optimset(PlotFcns={@optimplotx,@optimplotfval});options를 포함하여 fzero를 실행합니다.
x = fzero(fun,x0,options)
x = 1.8115
문제 구조체로 정의된 문제를 풉니다.
근 구하기 문제를 구성하는 구조체를 정의합니다.
problem.objective = @(x)sin(cosh(x)); problem.x0 = 1; problem.solver = 'fzero'; % a required part of the structure problem.options = optimset(@fzero); % default options
문제를 풉니다.
x = fzero(problem)
x = 1.8115
exp(-exp(-x)) = x인 점을 찾고 풀이 과정 정보를 표시합니다.
fun = @(x) exp(-exp(-x)) - x; % function x0 = [0 1]; % initial interval options = optimset(Display="iter"); % show iterations [x fval exitflag output] = fzero(fun,x0,options)
Func-count x f(x) Procedure
2 1 -0.307799 initial
3 0.544459 0.0153522 interpolation
4 0.566101 0.00070708 interpolation
5 0.567143 -1.40255e-08 interpolation
6 0.567143 1.50013e-12 interpolation
7 0.567143 0 interpolation
Zero found in the interval [0, 1]
x = 0.5671
fval = 0
exitflag = 1
output = struct with fields:
intervaliterations: 0
iterations: 5
funcCount: 7
algorithm: 'bisection, interpolation'
message: 'Zero found in the interval [0, 1]'
fval = 0이므로 fun(x) = 0이 검산된 것입니다.
입력 인수
출력 인수
알고리즘
fzero 명령은 함수 파일입니다. T.Dekker가 만든 이 알고리즘은 이분법(Bisection), 시컨트(Secant) 및 2차 역보간법(Inverse Quadratic Interpolation)을 조합하여 사용합니다. [1]에는 일부가 개선된 Algol 60 버전이 제공되어 있습니다. [2]에는 fzero의 기반이 되는 Fortran 버전이 나와 있습니다.
대체 기능
앱
최적화 라이브 편집기 작업은 fzero에 대한 시각적 인터페이스를 제공합니다.
참고 문헌
[1] Brent, R., Algorithms for Minimization Without Derivatives, Prentice-Hall, 1973.
[2] Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 1976.
