바나나 함수 최소화

이 예제에서는 로젠브록의 "바나나 함수"를 최소화하는 방법을 보여줍니다.

$f (x) = 100 (x (2) - x (1)^{2})^{2} + (1 - x (1))^{2} .$

$f (x)$ 는 원점 중심의 곡률 때문에 바나나 함수라고 부릅니다. 이 함수는 문제를 풀 때 대부분의 방법이 느린 수렴을 보이는 것으로 악명 높은 최적화 문제의 예입니다.

$f (x)$ 는 점 $x = [1, 1]$ 에서 고유의 최솟값을 가지며, 여기서 $f (x) = 0$ 입니다. 이 예제에서는 점 $x 0 = [- 1.9, 2]$ 에서 시작하여 $f (x)$ 를 최소화하는 여러 가지 방법을 보여줍니다.

도함수를 사용하지 않는 최적화

fminsearch 함수는 제약 조건이 없는 문제의 최솟값을 구합니다. 이 함수는 목적 함수의 도함수를 추정하지 않는 알고리즘을 사용합니다. 정확히 말해, 이 함수는 fminsearch 알고리즘에서 설명하는 기하학적 탐색을 사용합니다.

fminsearch를 사용하여 바나나 함수를 최소화합니다. 반복의 시퀀스를 보고하기 위해 출력 함수를 포함시킵니다.

fun = @(x)(100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2);
options = optimset('OutputFcn',@bananaout,'Display','off');
x0 = [-1.9,2];
[x,fval,eflag,output] = fminsearch(fun,x0,options);
title 'Rosenbrock solution via fminsearch'

Fcount = output.funcCount;
disp(['Number of function evaluations for fminsearch was ',num2str(Fcount)])

Number of function evaluations for fminsearch was 210

disp(['Number of solver iterations for fminsearch was ',num2str(output.iterations)])

Number of solver iterations for fminsearch was 114

추정 도함수를 사용하는 최적화

fminunc 함수는 제약 조건이 없는 문제의 최솟값을 구합니다. 이 함수는 도함수 기반 알고리즘을 사용합니다. 이 알고리즘은 목적 함수의 1계 도함수뿐 아니라 2계 도함수로 구성된 행렬도 추정하려고 시도합니다. fminunc가 일반적으로 fminsearch보다 더 효율적입니다.

fminunc를 사용하여 바나나 함수를 최소화합니다.

options = optimoptions('fminunc','Display','off',...
    'OutputFcn',@bananaout,'Algorithm','quasi-newton');
[x,fval,eflag,output] = fminunc(fun,x0,options);
title 'Rosenbrock solution via fminunc'

Fcount = output.funcCount;
disp(['Number of function evaluations for fminunc was ',num2str(Fcount)])

Number of function evaluations for fminunc was 150

disp(['Number of solver iterations for fminunc was ',num2str(output.iterations)])

Number of solver iterations for fminunc was 34

최속강하법을 사용하는 최적화

최속강하법 알고리즘을 사용하여 바나나 함수를 최소화하려고 하면 문제의 높은 곡률로 인해 풀이 과정이 매우 느려집니다.

'quasi-newton' 알고리즘의 값 'steepdesc'에 숨겨진 HessUpdate 옵션을 설정하여 최속강하법 알고리즘으로 fminunc를 실행할 수 있습니다. 솔버가 해를 빠르게 찾지 못하므로 최대 함수 실행 횟수를 디폴트 값보다 크게 설정합니다. 이 경우, 솔버는 600회의 함수 실행 후에도 해를 구하지 못합니다.

options = optimoptions(options,'HessUpdate','steepdesc',...
    'MaxFunctionEvaluations',600);
[x,fval,eflag,output] = fminunc(fun,x0,options);
title 'Rosenbrock solution via steepest descent'

Fcount = output.funcCount;
disp(['Number of function evaluations for steepest descent was ',...
    num2str(Fcount)])

Number of function evaluations for steepest descent was 600

disp(['Number of solver iterations for steepest descent was ',...
    num2str(output.iterations)])

Number of solver iterations for steepest descent was 45

해석적 기울기를 사용하는 최적화

fminunc는 기울기를 제공했을 경우 함수를 더 적게 실행하여 최적화 문제를 풉니다. 기울기를 제공하면 'trust-region' 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 이 알고리즘은 'quasi-newton' 알고리즘보다 종종 속도가 더 빠르고 메모리 사용량이 적습니다. HessUpdate 및 MaxFunctionEvaluations 옵션을 디폴트 값으로 재설정합니다.

grad = @(x)[-400*(x(2) - x(1)^2)*x(1) - 2*(1 - x(1));
            200*(x(2) - x(1)^2)];
fungrad = @(x)deal(fun(x),grad(x));
options = resetoptions(options,{'HessUpdate','MaxFunctionEvaluations'});
options = optimoptions(options,'SpecifyObjectiveGradient',true,...
    'Algorithm','trust-region');
[x,fval,eflag,output] = fminunc(fungrad,x0,options);
title 'Rosenbrock solution via fminunc with gradient'

Fcount = output.funcCount;
disp(['Number of function evaluations for fminunc with gradient was ',...
    num2str(Fcount)])

Number of function evaluations for fminunc with gradient was 32

disp(['Number of solver iterations for fminunc with gradient was ',...
    num2str(output.iterations)])

Number of solver iterations for fminunc with gradient was 31

해석적 헤세 행렬을 사용하는 최적화

헤세 행렬(2계 도함수로 구성된 행렬)을 제공하는 경우 fminunc는 함수를 훨씬 더 적게 실행하여 최적화 문제를 풀 수 있습니다. 이 문제의 경우 헤세 행렬을 사용하든 사용하지 않든 결과는 같습니다.

hess = @(x)[1200*x(1)^2 - 400*x(2) + 2, -400*x(1);
            -400*x(1), 200];
fungradhess = @(x)deal(fun(x),grad(x),hess(x));
options.HessianFcn = 'objective';
[x,fval,eflag,output] = fminunc(fungradhess,x0,options);
title 'Rosenbrock solution via fminunc with Hessian'

Fcount = output.funcCount;
disp(['Number of function evaluations for fminunc with gradient and Hessian was ',...
    num2str(Fcount)])

Number of function evaluations for fminunc with gradient and Hessian was 32

disp(['Number of solver iterations for fminunc with gradient and Hessian was ',num2str(output.iterations)])

Number of solver iterations for fminunc with gradient and Hessian was 31

최소제곱 솔버를 사용하는 최적화

비선형적인 제곱합에 권장되는 솔버는 lsqnonlin입니다. 이처럼 특수한 종류의 문제에 대해서는 이 솔버가 기울기를 사용하지 않는 fminunc보다도 더 효율적입니다. lsqnonlin을 사용하려면 목적 함수를 제곱합으로 쓰지 마십시오. 대신, lsqnonlin이 내부적으로 제곱하여 합산하는 기본 벡터를 쓰십시오.

options = optimoptions('lsqnonlin','Display','off','OutputFcn',@bananaout);
vfun = @(x)[10*(x(2) - x(1)^2),1 - x(1)];
[x,resnorm,residual,eflag,output] = lsqnonlin(vfun,x0,[],[],options);
title 'Rosenbrock solution via lsqnonlin'

Fcount = output.funcCount;
disp(['Number of function evaluations for lsqnonlin was ',...
    num2str(Fcount)])

Number of function evaluations for lsqnonlin was 87

disp(['Number of solver iterations for lsqnonlin was ',num2str(output.iterations)])

Number of solver iterations for lsqnonlin was 28

최소제곱 솔버와 야코비 행렬을 사용하는 최적화

fminunc에 기울기를 사용하는 최소화에서처럼, lsqnonlin은 도함수 정보를 사용하여 함수 실행 횟수를 줄일 수 있습니다. 비선형 목적 함수 벡터로 구성된 야코비 행렬을 제공하고 최적화를 다시 실행하십시오.

jac = @(x)[-20*x(1),10;
           -1,0];
vfunjac = @(x)deal(vfun(x),jac(x));
options.SpecifyObjectiveGradient = true;
[x,resnorm,residual,eflag,output] = lsqnonlin(vfunjac,x0,[],[],options);
title 'Rosenbrock solution via lsqnonlin with Jacobian'

Fcount = output.funcCount;
disp(['Number of function evaluations for lsqnonlin with Jacobian was ',...
    num2str(Fcount)])

Number of function evaluations for lsqnonlin with Jacobian was 29

disp(['Number of solver iterations for lsqnonlin with Jacobian was ',...
    num2str(output.iterations)])

Number of solver iterations for lsqnonlin with Jacobian was 28