polyfit
다항식 곡선 피팅
설명
예제
구간 [0,4*pi]에 사인 곡선을 따라 균일한 간격의 점 10개를 생성합니다.
x = linspace(0,4*pi,10); y = sin(x);
polyfit을 사용하여 이들 점에 7차 다항식을 피팅합니다.
p = polyfit(x,y,7);
좀 더 촘촘한 그리드에서 다항식을 계산하고 결과를 플로팅합니다.
x1 = linspace(0,4*pi); y1 = polyval(p,x1); figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1) hold off
구간 [0,1]에 균일한 간격의 점 5개로 구성된 벡터를 만들고, 이들 점에서 을 계산합니다.
x = linspace(0,1,5); y = 1./(1+x);
이 5개의 점에 4차 다항식을 피팅합니다. 일반적으로, n개 점의 경우 이 점들을 정확히 통과하도록 n-1차 다항식을 피팅할 수 있습니다.
p = polyfit(x,y,4);
0과 2 사이의 더 촘촘한 점 그리드에서 원래 함수와 다항식 피팅을 계산합니다.
x1 = linspace(0,2); y1 = 1./(1+x1); f1 = polyval(p,x1);
더 넓은 구간 [0,2]에 함수 값과 다항식 피팅을 플로팅합니다. 다항식 피팅을 얻는 데 사용된 점들을 원으로 강조 표시합니다. 다항식 피팅은 원래 [0,1] 구간에서는 제대로 표시되지만, 이 구간을 벗어나면 피팅된 함수로부터 빠르게 발산합니다.
figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1) plot(x1,f1,'r--') legend('y','y1','f1')
먼저 구간 [0,2.5] 내에서 균일한 간격의 x 점으로 구성된 벡터를 생성한 다음, 이들 점에서 erf(x)를 계산합니다.
x = (0:0.1:2.5)'; y = erf(x);
6차 근사 다항식의 계수를 확인합니다.
p = polyfit(x,y,6)
p = 1×7
0.0084 -0.0983 0.4217 -0.7435 0.1471 1.1064 0.0004
피팅이 얼마나 일치하는지 보려면, 데이터 점에서 다항식을 계산하고 데이터, 피팅, 오차를 보여주는 테이블을 생성합니다.
f = polyval(p,x); T = table(x,y,f,y-f,'VariableNames',{'X','Y','Fit','FitError'})
T=26×4 table
X Y Fit FitError
___ _______ __________ ___________
0 0 0.00044117 -0.00044117
0.1 0.11246 0.11185 0.00060836
0.2 0.2227 0.22231 0.00039189
0.3 0.32863 0.32872 -9.7429e-05
0.4 0.42839 0.4288 -0.00040661
0.5 0.5205 0.52093 -0.00042568
0.6 0.60386 0.60408 -0.00022824
0.7 0.6778 0.67775 4.6383e-05
0.8 0.7421 0.74183 0.00026992
0.9 0.79691 0.79654 0.00036515
1 0.8427 0.84238 0.0003164
1.1 0.88021 0.88005 0.00015948
1.2 0.91031 0.91035 -3.9919e-05
1.3 0.93401 0.93422 -0.000211
1.4 0.95229 0.95258 -0.00029933
1.5 0.96611 0.96639 -0.00028097
⋮
이 구간에서, 보간된 값과 실제 값은 상당히 근사하게 일치합니다. 플롯을 만들어 이 구간 밖에서 외삽 값이 실제 데이터로부터 얼마나 빠르게 발산하는지 표시합니다.
x1 = (0:0.1:5)'; y1 = erf(x1); f1 = polyval(p,x1); figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1,'-') plot(x1,f1,'r--') axis([0 5 0 2]) hold off
1750년에서 2000년 사이의 인구 데이터 테이블을 만들고 데이터 점을 플로팅합니다.
year = (1750:25:2000)'; pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]'; T = table(year, pop)
T=11×2 table
year pop
____ _________
1750 7.91e+08
1775 8.56e+08
1800 9.78e+08
1825 1.05e+09
1850 1.262e+09
1875 1.544e+09
1900 1.65e+09
1925 2.532e+09
1950 6.122e+09
1975 8.17e+09
2000 1.156e+10
plot(year,pop,'o')
polyfit을 3개의 출력값과 함께 사용하고, 문제의 수치적 속성 향상을 위해 정규화를 사용하여 5차 다항식을 피팅합니다. polyfit은 year의 데이터 중심을 0에 두고 표준편차 1을 갖도록 스케일링합니다. 이를 통해 피팅 계산 시 조건이 나쁜 방데르몽드 행렬(Vandermonde Matrix)을 방지할 수 있습니다.
[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);
polyval을 4개의 입력값과 함께 사용하여 스케일링된 연도 (year-mu(1))/mu(2)에 대해 p를 계산합니다. 원래 연도에 대해 결과를 플로팅합니다.
f = polyval(p,year,[],mu); hold on plot(year,f) hold off
단순 선형 회귀 모델을 일련의 이산 2차원 데이터 점에 피팅합니다.
샘플 데이터 점 (x,y)로 구성된 벡터를 몇 개 만듭니다. 1차 다항식을 데이터에 피팅합니다.
x = 1:50; y = -0.3*x + 2*randn(1,50); p = polyfit(x,y,1);
x의 점에서 피팅된 다항식 p를 계산합니다. 결과로 얻은 선형 회귀 모델을 데이터와 함께 플로팅합니다.
f = polyval(p,x); plot(x,y,'o',x,f,'-') legend('data','linear fit')
데이터 점 집합에 선형 모델을 피팅하고 95% 예측 구간의 추정값을 포함하는 결과를 플로팅합니다.
샘플 데이터 점 (x,y)로 구성된 벡터를 몇 개 만듭니다. polyfit을 사용하여 1차 다항식을 데이터에 피팅합니다. 선형 피팅의 계수와 오차 추정값 구조체를 반환하는 2개의 출력값을 지정합니다.
x = 1:100; y = -0.3*x + 2*randn(1,100); [p,S] = polyfit(x,y,1)
p = 1×2
-0.3142 0.9614
S = struct with fields:
R: [2×2 double]
df: 98
normr: 22.7673
rsquared: 0.9407
x의 점에서의 p의 1차 다항식 피팅을 계산합니다. polyval이 표준 오차의 추정값을 계산하도록 오차 추정값 구조체를 세 번째 입력값으로 지정합니다. 표준 오차 추정값이 delta에 반환됩니다.
[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);
원래 데이터, 선형 피팅, 그리고 95% 예측 구간 를 플로팅합니다.
plot(x,y,'bo') hold on plot(x,y_fit,'r-') plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--') title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval') legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')
입력 인수
출력 인수
제한 사항
점 개수가 많은 문제에서,
polyfit을 사용하여 다항식 피팅의 차수를 늘린다고 항상 더 잘 맞는 피팅이 생성되는 것은 아닙니다. 높은 차수의 다항식은 데이터 점 간 변동폭이 클 수 있으므로, 데이터에 잘 맞지 않는 피팅을 초래할 수 있습니다. 이러한 경우, 대체로 점 간의 변동폭이 더 완만한 낮은 차수의 다항식 피팅을 사용하거나 다른 기법을 문제에 따라 사용할 수 있습니다.기본적으로 다항식은 진동하는 비유계(Unbounded) 함수입니다. 따라서 유계 데이터나 단조(증가 또는 감소) 데이터를 외삽하기에는 적합하지 않습니다.
알고리즘
polyfit은 x를 사용하여 n+1개의 열과 m = length(x)개의 행을 갖는 방데르몽드 행렬(Vandermonde Matrix) V를 생성하며, 다음과 같은 선형 시스템을 도출합니다.
여기서 polyfit은 p = V\y로 해를 구합니다. 방데르몽드 행렬의 열은 벡터 x의 지수이므로, 높은 차수의 피팅에서 V의 조건수가 종종 커지면서 특이 계수 행렬이 생성될 수 있습니다. 이러한 경우 정규화는 시스템의 수치적 속성을 향상시켜 더 안정적인 피팅을 생성할 수 있습니다.
