lscov
알려진 공분산을 사용한 최소제곱해(Least-squares Solution)
구문
설명
예제
선형 시스템 A*x = b에 대해 행렬 A와 벡터 b를 만듭니다. lscov를 사용하여 선형 시스템의 최소제곱해를 계산합니다. 해, 해의 추정된 표준 오차, 해의 평균제곱오차를 반환할 세 개의 출력 인수를 지정합니다.
a1 = [0.2; 0.5; 0.6; 0.8; 1.0; 1.1]; a2 = [0.1; 0.3; 0.4; 0.9; 1.1; 1.4]; A = [ones(size(a1)) a1 a2]; b = [0.17; 0.26; 0.28; 0.23; 0.27; 0.24]; [x,stdx,mse] = lscov(A,b)
x = 3×1
0.1018
0.4844
-0.2847
stdx = 3×1
0.0058
0.0206
0.0135
mse = 1.2774e-05
b에 잡음을 추가하여 샘플 행렬을 만들고 백슬래시 연산자(\)를 사용하여 행렬의 최소제곱 추정값을 계산합니다. 결과값의 각 행에 대해 표준 오차를 계산합니다.
B = b + randn(6,1e5); X = A\B; s1 = std(X,0,2)
s1 = 3×1
1.6311
5.7609
3.7838
백슬래시를 사용하여 얻은 표준 오차와 lscov를 사용하여 얻은 표준 오차를 비교합니다. mse의 제곱근으로 표준 오차 stdx를 다시 스케일링하여 lscov로 수행된 스케일링을 반영합니다. X에 대한 표준 오차는 일반적으로 lscov로 계산된 표준 오차와 일치합니다. 다시 스케일링된 표준 오차는 b의 요소 전체에 균일한 잡음이 있는 경우 x의 두 번째 요소가 첫 번째 요소보다 훨씬 더 많은 영향을 받음을 나타냅니다.
s2 = stdx/sqrt(mse)
s2 = 3×1
1.6349
5.7661
3.7845
문제 A*x = b에 대해 행렬 A와 벡터 b를 만듭니다. 상대 관측 가중치로 구성된 벡터를 만들고 가중 최소제곱해를 계산합니다.
a1 = [0.2; 0.5; 0.6; 0.8; 1.0; 1.1]; a2 = [0.1; 0.3; 0.4; 0.9; 1.1; 1.4]; A = [ones(size(a1)) a1 a2]; b = [0.17; 0.26; 0.28; 0.23; 0.27; 0.34]; w = [1 1 1 1 1 0.1]'; [x1,stdx1,mse1] = lscov(A,b,w)
x1 = 3×1
0.1046
0.4614
-0.2621
stdx1 = 3×1
0.0309
0.1152
0.0814
mse1 = 3.4741e-04
같은 문제의 보통최소제곱해를 계산하고 두 해를 모두 플로팅합니다. 처음 5개 점의 경우 가중 최소제곱해는 보통최소제곱해보다 b에 더 가까이 있습니다. 가중 최소제곱해의 여섯 번째 요소에 가중치가 부여되었으므로 여섯 번째 점은 b에서 더 멀리 떨어져 있습니다.
[x2,stdx2,mse2] = lscov(A,b); x = 1:6; plot(x,b,"o",x,A*x1,"o",x,A*x2,"o") legend("b","Weighted","Ordinary")
문제 A*x = b에 대해 행렬 A와 벡터 b를 만듭니다. 공분산 스케일로 구성된 행렬을 만들고 일반 최소제곱해를 계산합니다.
a1 = [0.2; 0.5; 0.6; 0.8; 1.0; 1.1]; a2 = [0.1; 0.3; 0.4; 0.9; 1.1; 1.4]; A = [ones(size(a1)) a1 a2]; b = [0.17; 0.26; 0.28; 0.23; 0.27; 0.24]; C = 0.2*ones(size(a1)) + 0.8*diag(ones(size(a1))); [x,stdx,mse] = lscov(A,b,C)
x = 3×1
0.1018
0.4844
-0.2847
stdx = 3×1
0.0061
0.0206
0.0135
mse = 1.5967e-05
문제 A*x = b에 대해 행렬 A와 벡터 b를 만듭니다. x의 공분산 행렬 추정값을 계산합니다.
a1 = [0.2; 0.5; 0.6; 0.8; 1.0; 1.1]; a2 = [0.1; 0.3; 0.4; 0.9; 1.1; 1.4]; A = [ones(size(a1)) a1 a2]; b = [0.17; 0.26; 0.28; 0.23; 0.27; 0.24]; [x,stdx,mse,S] = lscov(A,b)
x = 3×1
0.1018
0.4844
-0.2847
stdx = 3×1
0.0058
0.0206
0.0135
mse = 1.2774e-05
S = 3×3
10-3 ×
0.0341 -0.1075 0.0617
-0.1075 0.4247 -0.2712
0.0617 -0.2712 0.1829
계수의 표준 오차는 다음 공분산 행렬의 대각선에 있는 값의 제곱근과 같습니다.
sqrt(diag(S))
ans = 3×1
0.0058
0.0206
0.0135
입력 인수
출력 인수
알고리즘
m×n 행렬 A와 m×m 행렬 C가 일반 최소제곱 문제에서 완전 랭크인 경우 아래 표준 식은 m이 n보다 크거나 같을 때의 lscov의 출력값을 나타냅니다.
x = inv(A'*inv(C)*A)*A'*inv(C)*b mse = (b - A*x)'*inv(C)*(b - A*x)./(m-n) S = inv(A'*inv(C)*A)*mse stdx = sqrt(diag(S))
m이 n보다 작으면 평균제곱오차는 0입니다.
가중 최소제곱의 경우 C를 diag(1./w)로 대체할 때 표준 식이 적용됩니다. 보통최소제곱의 경우 C를 단위 행렬로 대체합니다.
lscov 함수는 표준 식보다 더 빠르고 안정적인 메서드를 사용하며, 랭크가 부족한 경우에 적용할 수 있습니다. 예를 들어, lscov는 촐레스키 분해 C = R'*R을 계산한 다음, 최소제곱 문제 (R'\A)*x = (R'\b)를 대신 풀기 위해 A\b를 풀 때 mldivide에서 사용한 것과 동일한 알고리즘을 사용합니다.
참고 문헌
[1] Paige, Christopher C. "Computer Solution and Perturbation Analysis of Generalized Linear Least Squares Problems." Mathematics of Computation 33, no. 145 (1979): 171–83. https://doi.org/10.2307/2006034.
[2] Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, 1996.
[3] Goodall, Colin R. "Computation using the QR decomposition." Handbook of Statistics 9 (1993): 467–508. https://doi.org/10.1016/S0169-7161(05)80137-3.
[4] Strang, Gilbert. Introduction to Applied Mathematics. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1986.
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