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poly

지정한 근을 포함한 다항식 또는 특성 다항식

구문

p = poly(r)
p = poly(A)

설명

예제

p = poly(r)은 근이 r의 요소인 다항식의 계수를 반환합니다. 여기서, r은 벡터입니다.

예제

p = poly(A)는 행렬의 특성 다항식 det(λI – A)의 n+1개 계수를 반환합니다. 여기서 Anxn 행렬입니다.

예제

모두 축소

행렬 A의 고유값을 계산합니다.

A = [1 8 -10; -4 2 4; -5 2 8]
A = 3×3

     1     8   -10
    -4     2     4
    -5     2     8

e = eig(A)
e = 3×1 complex

  11.6219 + 0.0000i
  -0.3110 + 2.6704i
  -0.3110 - 2.6704i

e의 고유값은 A의 특성 다항식의 근이므로, poly를 사용하여 e의 값으로부터 특성 다항식을 결정합니다.

p = poly(e)
p = 1×4

    1.0000  -11.0000   -0.0000  -84.0000

poly를 사용하여 행렬 A의 특성 다항식을 계산합니다.

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]
A = 3×3

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     0

p = poly(A)
p = 1×4

    1.0000   -6.0000  -72.0000  -27.0000

roots를 사용하여 p의 근을 계산합니다. 특성 다항식의 근은 행렬 A의 고유값입니다.

r = roots(p)
r = 3×1

   12.1229
   -5.7345
   -0.3884

입력 인수

모두 축소

다항식 근으로, 벡터로 지정됩니다.

예: poly([2 -3])

예: poly([2 -2 3 -3])

예: poly(roots(k))

예: poly(eig(A))

데이터형: single | double
복소수 지원 여부:

입력 행렬입니다.

예: poly([0 -1; 1 0])

데이터형: single | double
복소수 지원 여부:

출력 인수

모두 축소

다항식 계수로, 행 벡터로 반환됩니다.

  • 입력값이 정사각 nxn 행렬 A인 경우 pA의 특성 다항식에 대한 계수를 포함합니다.

  • 입력값이 근으로 구성된 벡터 r인 경우 p는 근이 r에 있는 다항식에 대한 계수를 포함합니다.

각각의 경우, p에 있는 n+1개 계수는 다음 다항식을 기술합니다.

p1xn+p2xn1+...+pnx+pn+1.

  • 벡터의 경우, r = roots(p)p = poly(r)은 반올림 오차, 나열 순서, 스케일링의 차이는 있지만 서로 역함수입니다.

알고리즘

polyroots에 사용된 알고리즘은 고유값 계산에 대한 현대적 접근 방식의 흥미로운 측면을 보여줍니다. poly(A)A의 특성 다항식을 생성하고, roots(poly(A))는 이 다항식의 근을 구합니다. 이 근은 A의 고유값입니다. 하지만 polyroots 모두 eig를 사용하며, 이것은 유사 변환(Similarity Transformation)에 기반합니다. 고유값을 특성 다항식의 근으로 간주하는 전통적인 접근 방식은 사실상 순서가 이와 반대입니다.

Anxn 행렬인 경우, poly(A)는 다음 식에 있는 p(1)부터 p(n+1)까지의 계수를 생성합니다. 여기서 p(1) = 1입니다.

det(λIA)=p1λn++pnλ+pn+1.

알고리즘은 다음과 같습니다.

z = eig(A);
p = zeros(n+1,1); 
p(1) = 1;
for j = 1:n
    p(2:j+1) = p(2:j+1)-z(j)*p(1:j);
end

이러한 재귀는 다음 곱을 전개해 유도됩니다.

(λλ1)(λλ2)(λλn).

poly(A)A의 반올림 오차 범위 내에서 행렬의 특성 다항식의 계수를 생성한다는 사실을 증명할 수 있습니다. 이는 A의 고유값이 조건이 나쁜 경우에도 성립합니다. 특성 다항식을 얻기 위한 전통적인 알고리즘은 고유값을 사용하지 않으며, 이러한 만족스러운 수치적 속성을 갖지 않습니다.

확장 기능

R2006a 이전에 개발됨