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선형-2차-가우스(LQG) 설계

선형-2차-가우스(LQG) 제어는 최적의 동적 조절기와 적분 동작을 갖는 서보 제어기(설정점 추종기라고도 함)를 설계하기 위한 최신 상태공간 기법입니다. 이 기법에서는 조절/추종기 성능과 제어 노력을 상호 절충하고 공정 외란과 측정 잡음을 감안하여 설계할 수 있습니다.

LQG 조절기와 설정점 추종기를 설계하려면 다음 단계를 수행하십시오.

  1. LQ 최적 이득을 생성합니다.

  2. 칼만 필터(상태 추정기)를 생성합니다.

  3. LQ 최적 이득과 칼만 필터를 연결하여 LQG 설계를 형성합니다.

LQG 설계를 사용하여 LQG 조절기를 만드는 방법에 대한 자세한 내용은 조절을 위한 선형-2차-가우스(LQG) 설계 항목을 참조하십시오.

LQG 설계를 사용하여 LQG 서보 제어기를 만드는 방법에 대한 자세한 내용은 적분 동작을 갖는 서보 제어기의 선형-2차-가우스(LQG) 설계 항목을 참조하십시오.

이들 항목에서는 연속시간 사례를 다룹니다. 이산시간 LQG 설계에 대한 자세한 내용은 dlqrkalman 함수 도움말 페이지를 참조하십시오.

조절을 위한 선형-2차-가우스(LQG) 설계

다음 모델에서 영점 주변의 출력 y를 조절하는 LQG 조절기를 설계할 수 있습니다.

이 모델에서는 플랜트에 외란(공정 잡음) w가 가해지며 제어 u에 의해 구동됩니다. 조절기는 잡음이 있는 측정값 y를 사용하여 이러한 제어값을 생성합니다. 플랜트 상태 방정식과 측정 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x˙=Ax+Bu+Gwy=Cx+Du+Hw+v

w와 v 모두 백색 잡음으로 모델링됩니다.

참고

LQG 설계에는 플랜트의 상태공간 모델이 필요합니다. ss를 사용하여 다른 모델 형식을 상태공간으로 변환할 수 있습니다.

LQG 조절기를 설계하려면 다음 표에 나와 있는 설계 기법을 사용할 수 있습니다.

LQG 조절기 설계 기법사용할 명령

다음이 참인 경우 사용할 수 있는 간단한 1단계 설계 기법:

  • 최적의 LQG 제어기가 필요하며, E(wv') 또는 H가 0이 아님.

  • 모든 알려진(결정적) 입력이 제어 입력이고 모든 출력이 측정됨.

  • 플랜트 및 제어 입력과는 독립적으로 적분기 상태에 가중치가 적용됨.

lqg

다음을 지정할 수 있는 보다 유연한 3단계 설계 기법:

  • 임의의 G와 H.

  • 제어가 아닌 알려진(결정적) 입력 및/또는 측정되지 않은 출력.

  • 적분기 상태, 플랜트 상태 및 제어를 위한 유연한 가중치 부여 방식.

lqr, kalmanlqgreg

자세한 내용은 다음 항목을 참조하십시오.

조절을 위해 최적의 상태-피드백 이득 생성하기

LQ 최적 이득은 다음 요소로부터 생성합니다.

  • 상태공간 시스템 행렬

  • 조절 성능(x(t)가 얼마나 빨리 0이 되는지)과 제어 노력 사이의 상호 절충을 정의하는 가중 행렬 Q, R, N.

최적 이득을 생성하려면 다음 명령을 입력하십시오.

K= lqr(A,B,Q,R,N)

이 명령은 상태 피드백 법칙 u=Kx가 연속시간에 대해 다음 2차 비용 함수를 최소화하는 최적 이득 행렬 K를 계산합니다.

J(u)=0{xTQx+2xTNu+uTRu}dt

이득 행렬 K는 대수 리카티 방정식을 풀어서 계산합니다.

이산시간에 대해 최소화하는 비용 함수를 포함하여 LQ 최적 이득을 생성하는 방법에 대한 자세한 내용은 lqr 함수 도움말 페이지를 참조하십시오.

칼만 상태 추정기 생성하기

전체 상태 측정 없이는 최적의 LQ 최적 상태 피드백을 구현할 수 없으므로 LQG 조절 및 서보 제어를 위한 칼만 상태 추정기가 필요합니다.

u=Kx^가 출력-피드백 문제에 대해 최적으로 유지되게끔 하는 상태 추정기 x^를 생성합니다. 칼만 상태 추정기 이득은 다음 요소로부터 생성합니다.

  • 상태공간 플랜트 모델 sys

  • 잡음 공분산 데이터 Qn, Rn, Nn

    다음 그림은 Qn, Rn, Nn에 필요한 차원을 보여줍니다. Nn이 0인 경우에는 생략할 수 있습니다.

    Qn, Rn, Nn에 필요한 차원

참고

조절과 서보 제어를 위한 칼만 상태 추정기를 동일한 방식으로 생성합니다.

칼만 상태 추정기를 생성하려면 다음 명령을 입력하십시오.

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn);

이 명령은 다음 플랜트 방정식을 사용하여 칼만 상태 추정기 kest를 계산합니다.

x˙=Ax+Bu+Gwy=Cx+Du+Hw+v

여기서 w와 v는 백색 잡음으로 모델링됩니다. L은 칼만 이득이고 P는 공분산 행렬입니다.

이 상태 추정값을 칼만 필터를 사용하여 생성합니다.

ddtx^=Ax^+Bu+L(yCx^Du)

이때 입력 u(제어값)와 y(측정값)를 사용합니다. 다음과 같은 잡음 공분산 데이터는

E(wwT)=Qn,E(vvT)=Rn,E(wvT)=Nn

대수 리카티 방정식을 통해 칼만 이득 L을 정합니다.

칼만 필터는 가우스 백색 잡음을 처리할 때 사용하기에 최적인 추정기입니다. 구체적으로, 칼만 필터는 다음과 같은 점근적 공분산을 최소화합니다.
    limtE((xx^)(xx^)T)

이는 추정 오차 xx^의 점근적 공분산입니다.

자세한 내용은 kalman 함수 도움말 페이지를 참조하십시오. 칼만 필터 구현의 전체 예제는 칼만 필터링을 참조하십시오.

LQG 조절기 형성하기

LQG 조절기를 형성하려면 다음 명령을 입력하여 칼만 필터 kest와 LQ 최적 이득 K를 연결하십시오.

regulator = lqgreg(kest, K);
이 명령은 다음 그림에 나와 있는 LQG 조절기를 형성합니다.

조절기는 다음과 같은 상태공간 방정식을 갖습니다.

ddtx^=[ALC(BLD)K]x^+Lyu=Kx^

LQG 조절기를 형성하는 방법에 대한 자세한 내용은 lqgregLQG Regulation: Rolling Mill Case Study 항목을 참조하십시오.

적분 동작을 갖는 서보 제어기의 선형-2차-가우스(LQG) 설계

다음 모델에 대해 적분 동작을 갖는 서보 제어기를 설계할 수 있습니다.

설계하는 서보 제어기는 출력 y가 기준 명령 r을 추종하고 공정 외란 w와 측정 잡음 v를 제거함을 보장합니다.

위 그림의 플랜트는 외란 w가 가해지며 제어 u에 의해 구동됩니다. 서보 제어기는 잡음이 있는 측정값 y를 사용하여 이러한 제어값을 생성합니다. 플랜트 상태 방정식과 측정 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x˙=Ax+Bu+Gwy=Cx+Du+Hw+v

w와 v 모두 백색 잡음으로 모델링됩니다.

참고

LQG 설계에는 플랜트의 상태공간 모델이 필요합니다. ss를 사용하여 다른 모델 형식을 상태공간으로 변환할 수 있습니다.

LQG 서보 제어기를 설계하려면 다음 표에 나와 있는 설계 기법을 사용할 수 있습니다.

LQG 서보 제어기 설계 기법사용할 명령

다음이 참인 경우 사용할 수 있는 간단한 1단계 설계 기법:

  • 최적의 LQG 제어기가 필요하며, E(wv') 또는 H가 0이 아님.

  • 모든 알려진(결정적) 입력이 제어 입력이고 모든 출력이 측정됨.

  • 플랜트 및 제어 입력과는 독립적으로 적분기 상태에 가중치가 적용됨.

lqg

다음을 지정할 수 있는 보다 유연한 3단계 설계 기법:

  • 임의의 G와 H.

  • 제어가 아닌 알려진(결정적) 입력 및/또는 측정되지 않은 출력.

  • 적분기 상태, 플랜트 상태 및 제어를 위한 유연한 가중치 부여 방식.

lqi, kalmanlqgtrack

자세한 내용은 다음 항목을 참조하십시오.

서보 제어를 위해 최적의 상태-피드백 이득 생성하기

LQ 최적 이득은 다음으로부터 생성합니다.

  • 상태공간 플랜트 모델 sys

  • 추종기 성능과 제어 노력 사이의 상호 절충을 정의하는 가중 행렬 Q, R, N

최적 이득을 생성하려면 다음 명령을 입력하십시오.

K= lqi(sys,Q,R,N)

이 명령은 상태 피드백 법칙 u=Kz=K[x;xi]가 연속시간에 대해 다음 2차 비용 함수를 최소화하는 최적 이득 행렬 K를 계산합니다.

J(u)=0{zTQz+uTRu+2zTNu}dt

이득 행렬 K는 대수 리카티 방정식을 풀어서 계산합니다.

이산시간에 대해 최소화하는 비용 함수를 포함하여 LQ 최적 이득을 생성하는 방법에 대한 자세한 내용은 lqi 함수 도움말 페이지를 참조하십시오.

칼만 상태 추정기 생성하기

전체 상태 측정 없이는 LQ 최적 상태 피드백을 구현할 수 없으므로 LQG 조절 및 서보 제어를 위한 칼만 상태 추정기가 필요합니다.

u=Kx^가 출력-피드백 문제에 대해 최적으로 유지되게끔 하는 상태 추정기 x^를 생성합니다. 칼만 상태 추정기 이득은 다음 요소로부터 생성합니다.

  • 상태공간 플랜트 모델 sys

  • 잡음 공분산 데이터 Qn, Rn, Nn

    다음 그림은 Qn, Rn, Nn에 필요한 차원을 보여줍니다. Nn이 0인 경우에는 생략할 수 있습니다.

    Qn, Rn, Nn에 필요한 차원

참고

조절과 서보 제어를 위한 칼만 상태 추정기를 동일한 방식으로 생성합니다.

칼만 상태 추정기를 생성하려면 다음 명령을 입력하십시오.

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn);

이 명령은 다음 플랜트 방정식을 사용하여 칼만 상태 추정기 kest를 계산합니다.

x˙=Ax+Bu+Gwy=Cx+Du+Hw+v

여기서 w와 v는 백색 잡음으로 모델링됩니다. L은 칼만 이득이고 P는 공분산 행렬입니다.

이 상태 추정값을 칼만 필터를 사용하여 생성합니다.

ddtx^=Ax^+Bu+L(yCx^Du)

이때 입력 u(제어값)와 y(측정값)를 사용합니다. 다음과 같은 잡음 공분산 데이터는

E(wwT)=Qn,E(vvT)=Rn,E(wvT)=Nn

대수 리카티 방정식을 통해 칼만 이득 L을 정합니다.

칼만 필터는 가우스 백색 잡음을 처리할 때 사용하기에 최적인 추정기입니다. 구체적으로, 칼만 필터는 다음과 같은 점근적 공분산을 최소화합니다.
    limtE((xx^)(xx^)T)

이는 추정 오차 xx^의 점근적 공분산입니다.

자세한 내용은 kalman 함수 도움말 페이지를 참조하십시오. 칼만 필터 구현의 전체 예제는 칼만 필터링을 참조하십시오.

LQG 서보 제어 형성하기

2자유도 LQG 서보 제어기를 형성하려면 다음 명령을 입력하여 칼만 필터 kest와 LQ 최적 이득 K를 연결하십시오.

servocontroller = lqgtrack(kest, K);
이 명령은 다음 그림에 나와 있는 LQG 서보 제어기를 형성합니다.

서보 제어기는 다음과 같은 상태공간 방정식을 갖습니다.

[x^˙x˙i]=[ABKxLC+LDKxBKi+LDKi00][x^xi]+[0LII][ry]u=[KxKi][x^xi]

1자유도 LQG 서보 제어기를 형성하는 방법을 포함하여 LQG 서보 제어기를 형성하는 방법에 대한 자세한 내용은 lqgtrack 함수 도움말 페이지를 참조하십시오.

참고 항목

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관련 항목