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normcdf

정규 누적 분포 함수

설명

예제

p = normcdf(x)는 표준 정규분포에 대한 누적 분포 함수(cdf)를 x의 값에서 계산하여 반환합니다.

p = normcdf(x,mu)는 평균 mu 및 단위 표준편차를 갖는 정규분포에 대한 cdf를 x의 값에서 계산하여 반환합니다.

예제

p = normcdf(x,mu,sigma)는 평균 mu 및 표준편차 sigma를 갖는 정규분포에 대한 cdf를 x의 값에서 계산하여 반환합니다.

예제

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov)musigma가 추정값인 경우 p에 대한 95% 신뢰한계 [pLo,pUp]도 반환합니다. pCov는 추정된 모수의 공분산 행렬입니다.

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov,alpha)는 신뢰구간 [pLo,pUp]에 대한 신뢰수준을 100(1–alpha)%로 지정합니다.

예제

___ = normcdf(___,'upper')는 위쪽 꼬리 확률을 더 정확하게 계산하는 알고리즘을 사용하여 cdf의 보수를 x의 값에서 계산하여 반환합니다. 'upper'는 위에 열거된 구문의 입력 인수 다음에 올 수 있습니다.

예제

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표준 정규분포에서 한 관측값이 구간 [–1 1]에 속할 확률을 계산합니다.

p = normcdf([-1 1]);
p(2)-p(1)
ans = 0.6827

정규분포에서 관측값의 약 68%가 평균 0의 1 표준편차 내에 속합니다.

평균 mu 및 표준편차 sigma를 갖는 정규분포에 대해 x의 값에서 cdf 값을 계산합니다.

x = [-2,-1,0,1,2];
mu = 2;
sigma = 1;
p = normcdf(x,mu,sigma)
p = 1×5

    0.0000    0.0013    0.0228    0.1587    0.5000

평균 모수가 각각 다른 다양한 정규분포에 대해 0에서 cdf 값을 계산합니다.

mu = [-2,-1,0,1,2];
sigma = 1;
p = normcdf(0,mu,sigma)
p = 1×5

    0.9772    0.8413    0.5000    0.1587    0.0228

정규분포 모수에 대한 최대가능도 추정값(MLE)을 구한 후 대응되는 cdf 값에 대한 신뢰구간을 구합니다.

평균이 5이고 표준편차가 2인 정규분포에서 1000개의 정규분포 난수를 생성합니다.

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = normrnd(5,2,n,1);

mle를 사용하여 분포 모수인 평균과 표준편차에 대한 MLE를 구합니다.

phat = mle(x)
phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

normlike를 사용하여 분포 모수에 대한 공분산을 추정합니다. 함수 normlike는 MLE를 추정하는 데 사용되는 표본과 함께 MLE를 전달하는 경우 점근적 공분산 행렬에 대한 근삿값을 반환합니다.

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)
pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

0과 95% 신뢰구간에서 cdf 값을 구합니다.

[p,pLo,pUp] = normcdf(0,muHat,sigmaHat,pCov)
p = 0.0067
pLo = 0.0047
pUp = 0.0095

p는 모수 muHatsigmaHat을 갖는 정규분포의 cdf 값입니다. 구간 [pLo,pUp]은 0에서 계산된 cdf의 95% 신뢰구간입니다. pCov를 사용할 때 muHatsigmaHat은 불확실한 것으로 간주합니다. 95% 신뢰구간은 [pLo,pUp]이 실제 cdf 값을 포함하는 확률이 0.95임을 의미합니다.

표준 정규분포에서 한 관측값이 구간 [10,Inf]에 속할 확률을 확인합니다.

p1 = 1 - normcdf(10)
p1 = 0

normcdf(10)은 1에 거의 가까우므로 p1은 0이 됩니다. normcdf가 위쪽 꼬리 확률을 더 정확하게 계산하도록 'upper'를 지정합니다.

p2 = normcdf(10,'upper')
p2 = 7.6199e-24

'upper'를 사용하여 오른쪽 꼬리 p-값을 계산할 수도 있습니다.

카이제곱 적합도 검정(chi2gof)에서 함수 핸들로 확률 분포 함수 normcdf를 사용합니다.

'입력 벡터 x에 포함된 표본 데이터는 모수 µσ가 각각 표본 데이터의 평균(mean) 및 표준편차(std)와 동일한 정규분포에서 추출된다'는 귀무가설을 검정합니다.

rng('default') % For reproducibility
x = normrnd(50,5,100,1);
h = chi2gof(x,'cdf',{@normcdf,mean(x),std(x)})
h = 0

반환된 결과 h = 0chi2gof가 디폴트 5% 유의수준에서 귀무가설을 기각하지 않음을 나타냅니다.

입력 인수

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cdf를 계산할 지점의 값으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [pLo,pUp]을 계산하는 경우, x는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 x를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 musigma를 지정하십시오. 입력 인수 x, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, normcdf가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. p의 각 요소는 musigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 cdf 값으로, x의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [-1,0,3,4]

데이터형: single | double

정규분포의 평균으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [pLo,pUp]을 계산하는 경우, mu는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 x를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 musigma를 지정하십시오. 입력 인수 x, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, normcdf가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. p의 각 요소는 musigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 cdf 값으로, x의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [0 1 2; 0 1 2]

데이터형: single | double

정규분포의 표준편차로, 음이 아닌 스칼라 값 또는 음이 아닌 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다.

sigma가 0인 경우, 출력값 p는 0 또는 1입니다. pxmu보다 작은 경우 0이고, 그렇지 않은 경우 1입니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [pLo,pUp]을 계산하는 경우, sigma는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 x를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 musigma를 지정하십시오. 입력 인수 x, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, normcdf가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. p의 각 요소는 musigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 cdf 값으로, x의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [1 1 1; 2 2 2]

데이터형: single | double

추정값 musigma의 공분산으로, 2x2 행렬로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [pLo,pUp]을 계산하는 경우, x, mu, sigma는 스칼라 값이어야 합니다.

musigmamle를 사용하여 추정하고, musigma의 공분산은 normlike를 사용하여 추정할 수 있습니다. 예제는 정규 cdf 값에 대한 신뢰구간 항목을 참조하십시오.

데이터형: single | double

신뢰구간에 대한 유의수준으로, 범위 (0,1)의 스칼라로 지정됩니다. 신뢰수준은 100(1–alpha)%입니다. 여기서 alpha는 신뢰구간에 실제 값이 포함되지 않을 확률입니다.

예: 0.01

데이터형: single | double

출력 인수

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x의 값에서 계산된 cdf 값으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. 필요한 스칼라 확장을 수행한 후 px, musigma와 크기가 같아집니다. p의 각 요소는 musigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 cdf 값으로, x의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

p에 대한 신뢰 하한으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. pLop와 크기가 같습니다.

p에 대한 신뢰 상한으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. pUpp와 크기가 같습니다.

세부 정보

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정규분포

정규분포는 2-모수 곡선족입니다. 첫 번째 모수 µ는 평균입니다. 두 번째 모수 σ는 표준편차입니다.

표준 정규분포는 평균이 0이고 단위 표준편차를 가집니다.

정규 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.

p=F(x|μ,σ)=1σ2πxe(tμ)22σ2dt,forx.

p는 모수 μσ를 갖는 정규분포에서 하나의 관측값이 구간 (-∞,x]에 속할 확률입니다.

알고리즘

  • normcdf 함수는 상보 오차 함수 erfc를 사용합니다. normcdferfc 간의 관계는 다음과 같습니다.

    normcdf(x)=12erfc(x2).

    상보 오차 함수 erfc(x)는 다음과 같이 정의됩니다.

    erfc(x)=1erf(x)=2πxet2dt.

  • normcdf 함수는 델타 방법을 사용하여 p에 대한 신뢰한계를 계산합니다. normcdf(x,mu,sigma)normcdf((x–mu)/sigma,0,1)과 같습니다. 따라서 normcdf 함수는 델타 방법을 통해 musigma의 공분산 행렬을 사용하여 (x–mu)/sigma에 대한 분산을 추정하고 이 분산에 대한 추정값을 사용하여 (x–mu)/sigma에 대한 신뢰한계를 구합니다. 그런 다음, 함수는 이 신뢰한계를 p의 스케일로 변환합니다. 계산된 신뢰한계는 대규모 표본에서 mu, sigma, pCov를 추정할 때 대략적으로 원하는 신뢰수준을 제공합니다.

대체 기능

  • normcdf는 정규분포 전용 함수입니다. Statistics and Machine Learning Toolbox™는 다양한 확률 분포를 지원하는 일반 함수 cdf도 제공합니다. cdf를 사용하려면 NormalDistribution 확률 분포 객체를 생성하고, 이 객체를 입력 인수로 전달하거나 확률 분포 이름과 해당 모수를 지정하십시오. 참고로, 분포 전용 함수 normcdf가 일반 함수 cdf보다 더 빠릅니다.

  • 확률 분포 함수 앱을 사용하면 확률 분포에 대한 누적 분포 함수(cdf) 또는 확률 밀도 함수(pdf)의 대화형 방식 플롯을 생성할 수 있습니다.

참고 문헌

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

확장 기능

C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

참고 항목

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도움말 항목

R2006a 이전에 개발됨