normcdf

정규 누적 분포 함수

구문

p = normcdf(x)

p = normcdf(x,mu)

p = normcdf(x,mu,sigma)

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov)

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov,alpha)

___ = normcdf(___,'upper')

설명

p = normcdf(x)는 표준 정규분포에 대한 누적 분포 함수(cdf)를 x의 값에서 계산하여 반환합니다.

p = normcdf(x,mu)는 평균 mu 및 단위 표준편차를 갖는 정규분포에 대한 cdf를 x의 값에서 계산하여 반환합니다.

p = normcdf(x,mu,sigma)는 평균 mu 및 표준편차 sigma를 갖는 정규분포에 대한 cdf를 x의 값에서 계산하여 반환합니다.

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov)는 mu 및 sigma가 추정값인 경우 p에 대한 95% 신뢰한계 [pLo,pUp]도 반환합니다. pCov는 추정된 모수의 공분산 행렬입니다.

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov,alpha)는 신뢰구간 [pLo,pUp]에 대한 신뢰수준을 100(1–alpha)%로 지정합니다.

___ = normcdf(___,'upper')는 극단 위쪽 꼬리 확률을 더 정확하게 계산하는 알고리즘을 사용하여 cdf의 보수를 x의 값에서 계산하여 반환합니다. 'upper'는 위에 열거된 구문의 입력 인수 다음에 올 수 있습니다.

예제

표준 정규분포 cdf

표준 정규분포에서 한 관측값이 구간 [–1 1]에 속할 확률을 계산합니다.

p = normcdf([-1 1]);
p(2)-p(1)

ans = 
0.6827

정규분포에서 관측값의 약 68%가 평균 0의 1 표준편차 내에 속합니다.

정규분포 cdf

평균 mu 및 표준편차 sigma를 갖는 정규분포에 대해 x의 값에서 cdf 값을 계산합니다.

x = [-2,-1,0,1,2];
mu = 2;
sigma = 1;
p = normcdf(x,mu,sigma)

p = 1×5

    0.0000    0.0013    0.0228    0.1587    0.5000

평균 모수가 각각 다른 다양한 정규분포에 대해 0에서 cdf 값을 계산합니다.

mu = [-2,-1,0,1,2];
sigma = 1;
p = normcdf(0,mu,sigma)

p = 1×5

    0.9772    0.8413    0.5000    0.1587    0.0228

정규 cdf 값에 대한 신뢰구간

정규분포 모수에 대한 최대가능도 추정값(MLE)을 구한 후 대응되는 cdf 값에 대한 신뢰구간을 구합니다.

평균이 5이고 표준편차가 2인 정규분포에서 1000개의 정규분포 난수를 생성합니다.

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = normrnd(5,2,n,1);

mle를 사용하여 분포 모수인 평균과 표준편차에 대한 MLE를 구합니다.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

normlike를 사용하여 분포 모수에 대한 공분산을 추정합니다. 함수 normlike는 MLE를 추정하는 데 사용되는 표본과 함께 MLE를 전달하는 경우 점근적 공분산 행렬에 대한 근삿값을 반환합니다.

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)

pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

0과 95% 신뢰구간에서 cdf 값을 구합니다.

[p,pLo,pUp] = normcdf(0,muHat,sigmaHat,pCov)

p = 
0.0067

pLo = 
0.0047

pUp = 
0.0095

p는 모수 muHat 및 sigmaHat을 갖는 정규분포의 cdf 값입니다. 구간 [pLo,pUp]은 0에서 계산된 cdf의 95% 신뢰구간입니다. pCov를 사용할 때 muHat 및 sigmaHat은 불확실한 것으로 간주합니다. 95% 신뢰구간은 [pLo,pUp]이 실제 cdf 값을 포함하는 확률이 0.95임을 의미합니다.

상보 cdf(꼬리 분포)

표준 정규분포에서 한 관측값이 구간 [10,Inf]에 속할 확률을 확인합니다.

p1 = 1 - normcdf(10)

p1 = 
0

normcdf(10)은 1에 거의 가까우므로 p1은 0이 됩니다. normcdf가 극단 위쪽 꼬리 확률을 더 정확하게 계산하도록 'upper'를 지정합니다.

p2 = normcdf(10,'upper')

p2 = 
7.6199e-24

'upper'를 사용하여 오른쪽 꼬리 p-값을 계산할 수도 있습니다.

함수 핸들을 사용하여 정규분포 여부 검정하기

카이제곱 적합도 검정(chi2gof)에서 함수 핸들로 확률 분포 함수 normcdf를 사용합니다.

'입력 벡터 x에 포함된 표본 데이터는 모수 µ와 σ가 각각 표본 데이터의 평균(mean) 및 표준편차(std)와 동일한 정규분포에서 추출된다'는 귀무가설을 검정합니다.

rng('default') % For reproducibility
x = normrnd(50,5,100,1);
h = chi2gof(x,'cdf',{@normcdf,mean(x),std(x)})

h = 
0

반환된 결과 h = 0은 chi2gof가 디폴트 5% 유의수준에서 귀무가설을 기각하지 않음을 나타냅니다.

입력 인수

x — cdf를 계산할 지점의 값

스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

cdf를 계산할 지점의 값으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [pLo,pUp]을 계산하는 경우, x는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 x를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 mu 및 sigma를 지정하십시오. 입력 인수 x, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, normcdf 함수가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. p의 각 요소는 mu 및 sigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 cdf 값으로, x의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [-1,0,3,4]

데이터형: single | double

mu — 평균

0 (디폴트 값) | 스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

정규분포의 평균으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [pLo,pUp]을 계산하는 경우, mu는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 x를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 mu 및 sigma를 지정하십시오. 입력 인수 x, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, normcdf 함수가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. p의 각 요소는 mu 및 sigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 cdf 값으로, x의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [0 1 2; 0 1 2]

데이터형: single | double

sigma — 표준편차

1 (디폴트 값) | 음이 아닌 스칼라 값 | 음이 아닌 스칼라 값으로 구성된 배열

정규분포의 표준편차로, 음이 아닌 스칼라 값 또는 음이 아닌 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다.

sigma가 0인 경우, 출력값 p는 0 또는 1입니다. p는 x가 mu보다 작은 경우 0이고, 그렇지 않은 경우 1입니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [pLo,pUp]을 계산하는 경우, sigma는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 x를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 cdf를 계산하려면 배열을 사용하여 mu 및 sigma를 지정하십시오. 입력 인수 x, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, normcdf 함수가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. p의 각 요소는 mu 및 sigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 cdf 값으로, x의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [1 1 1; 2 2 2]

데이터형: single | double

pCov — 추정값의 공분산

2×2 숫자형 행렬

추정값 mu 및 sigma의 공분산으로, 2×2 행렬로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [pLo,pUp]을 계산하는 경우 x, mu, sigma는 스칼라 값이어야 합니다.

mu 및 sigma는 mle를 사용하여 추정하고, mu 및 sigma의 공분산은 normlike를 사용하여 추정할 수 있습니다. 예제는 정규 cdf 값에 대한 신뢰구간 항목을 참조하십시오.

데이터형: single | double

alpha — 유의수준

0.05 (디폴트 값) | 범위 (0,1)의 스칼라

신뢰구간에 대한 유의수준으로, 범위 (0,1)의 스칼라로 지정됩니다. 신뢰수준은 100(1–alpha)%입니다. 여기서 alpha는 신뢰구간에 실제 값이 포함되지 않을 확률입니다.

예: 0.01

데이터형: single | double

출력 인수

p — cdf 값

스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

x의 값에서 계산된 cdf 값으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. 필요한 스칼라 확장을 수행한 후 p는 x, mu 및 sigma와 크기가 같아집니다. p의 각 요소는 mu 및 sigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 cdf 값으로, x의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

pLo — p에 대한 신뢰 하한

스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

p에 대한 신뢰 하한으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. pLo는 p와 크기가 같습니다.

pUp — p에 대한 신뢰 상한

스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

p에 대한 신뢰 상한으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. pUp은 p와 크기가 같습니다.

세부 정보

정규분포

정규분포는 2-모수 곡선족입니다. 첫 번째 모수 µ는 평균입니다. 두 번째 모수 σ는 표준편차입니다.

표준 정규분포는 평균이 0이고 단위 표준편차를 가집니다.

정규 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.

$$p=F(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^x{e}^{\frac{-{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}}dt,\text{for}x\in ℝ.$$

p는 모수 μ 및 σ를 갖는 정규분포에서 하나의 관측값이 구간 (-∞,x]에 속할 확률입니다.

알고리즘

• normcdf 함수는 상보 오차 함수 erfc를 사용합니다. normcdf 및 erfc 간의 관계는 다음과 같습니다.

  $$\text{normcdf}(x)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right).$$

  상보 오차 함수 erfc(x)는 다음과 같이 정의됩니다.

  $$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt}.$$

• normcdf 함수는 델타 방법을 사용하여 p에 대한 신뢰한계를 계산합니다. normcdf(x,mu,sigma)는 normcdf((x–mu)/sigma,0,1)과 같습니다. 따라서 normcdf 함수는 델타 방법을 통해 mu 및 sigma의 공분산 행렬을 사용하여 (x–mu)/sigma에 대한 분산을 추정하고 이 분산에 대한 추정값을 사용하여 (x–mu)/sigma에 대한 신뢰한계를 구합니다. 그런 다음, 함수는 이 신뢰한계를 p의 스케일로 변환합니다. 계산된 신뢰한계는 대규모 표본에서 mu, sigma, pCov를 추정할 때 대략적으로 원하는 신뢰수준을 제공합니다.

대체 기능

• normcdf는 정규분포 전용 함수입니다. Statistics and Machine Learning Toolbox™는 다양한 확률 분포를 지원하는 일반 함수 cdf도 제공합니다. cdf를 사용하려면 NormalDistribution 확률 분포 객체를 생성하고 이 객체를 입력 인수로 전달하거나 확률 분포 이름과 해당 모수를 지정하십시오. 참고로, 분포 전용 함수 normcdf가 일반 함수 cdf보다 더 빠릅니다.

• 확률 분포 함수 앱을 사용하면 확률 분포에 대한 누적 분포 함수(cdf) 또는 확률 밀도 함수(pdf)의 대화형 방식 플롯을 생성할 수 있습니다.

참고 문헌

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

확장 기능

C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 GPU 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

cdf | normpdf | norminv | normfit | normlike | NormalDistribution | erfc

도움말 항목

• 정규분포