logninv

로그정규분포의 역누적 분포 함수

구문

x = logninv(p)

x = logninv(p,mu)

x = logninv(p,mu,sigma)

[x,xLo,xUp] = logninv(p,mu,sigma,pCov)

[x,xLo,xUp] = logninv(p,mu,sigma,pCov,alpha)

설명

x = logninv(p)는 표준 로그정규 누적 분포 함수(cdf)의 역함수를 p의 확률 값에서 계산하여 반환합니다. 표준 로그정규분포에서 로그 값의 평균과 표준편차는 각각 0과 1입니다.

x = logninv(p,mu)는 분포 모수 mu(로그 값의 평균) 및 1(로그 값의 표준편차)을 갖는 로그정규 cdf의 역함수를 p의 확률 값에서 계산하여 반환합니다.

x = logninv(p,mu,sigma)는 분포 모수 mu(로그 값의 평균) 및 sigma(로그 값의 표준편차)를 갖는 로그정규 cdf의 역함수를 p의 확률 값에서 계산하여 반환합니다.

[x,xLo,xUp] = logninv(p,mu,sigma,pCov)는 추정된 모수(mu 및 sigma)와 해당 공분산 행렬 pCov를 사용하여 x의 95% 신뢰한계 [xLo,xUp]도 반환합니다.

[x,xLo,xUp] = logninv(p,mu,sigma,pCov,alpha)는 신뢰구간 [xLo,xUp]에 대한 신뢰수준을 100(1–alpha)%로 지정합니다.

예제

로그정규분포 cdf의 역함수

평균 mu 및 표준편차 sigma를 갖는 로그정규분포에 대해 p의 확률 값에서 cdf 값의 역함수를 계산합니다.

p = 0.005:0.01:0.995;
mu = 1;
sigma = 0.5;
x = logninv(p,mu,sigma);

역 cdf를 플로팅합니다.

plot(p,x)
grid on
xlabel('p');
ylabel('x');

로그정규분포 cdf 값의 역함수에 대한 신뢰구간

로그정규분포 모수에 대한 최대가능도 추정값(MLE)을 구한 후 대응되는 역 cdf 값에 대한 신뢰구간을 구합니다.

모수 5와 2를 갖는 로그정규분포에서 1000개의 난수를 생성합니다.

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = lognrnd(5,2,[n,1]);

mle를 사용하여 분포 모수인 로그 값의 평균과 표준편차에 대한 MLE를 구합니다.

phat = mle(x,'distribution','LogNormal')

phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

lognlike를 사용하여 분포 모수에 대한 공분산을 추정합니다. 함수 lognlike는 MLE를 추정하는 데 사용되는 표본과 함께 MLE를 전달하는 경우 점근적 공분산 행렬에 대한 근삿값을 반환합니다.

[~,pCov] = lognlike(phat,x)

pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

0.5 및 해당 99% 신뢰구간에서 역 cdf 값을 구합니다.

[x,xLo,xUp] = logninv(0.5,muHat,sigmaHat,pCov,0.01)

x = 
139.0364

xLo = 
118.1643

xUp = 
163.5953

x는 모수 muHat 및 sigmaHat을 갖는 로그정규분포를 사용하는 역 cdf 값입니다. 구간 [xLo,xUp]은 0.5에서 계산된 역 cdf 값에 대한 99% 신뢰구간입니다. pCov를 사용할 때 muHat 및 sigmaHat은 불확실한 것으로 간주합니다. 99% 신뢰구간은 [xLo,xUp]이 실제 역 cdf 값을 포함하는 확률이 0.99임을 의미합니다.

입력 인수

p — cdf에 대한 역을 계산할 지점의 확률 값

[0,1]의 스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

cdf에 대한 역(icdf)을 계산할 지점의 확률 값으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다. 여기서 각 요소는 범위 [0,1]에 있습니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [xLo,xUp]을 계산하는 경우, p는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 icdf를 계산하려면 배열을 사용하여 p를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 icdf를 계산하려면 배열을 사용하여 mu 및 sigma를 지정하십시오. 입력 인수 p, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, logninv 함수가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. x의 각 요소는 mu 및 sigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 icdf 값으로, p의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [0.1,0.5,0.9]

데이터형: single | double

mu — 로그 값의 평균

0 (디폴트 값) | 스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

로그정규분포에 대한 로그 값의 평균으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [xLo,xUp]을 계산하는 경우, mu는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 icdf를 계산하려면 배열을 사용하여 p를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 icdf를 계산하려면 배열을 사용하여 mu 및 sigma를 지정하십시오. 입력 인수 p, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, logninv 함수가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. x의 각 요소는 mu 및 sigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 icdf 값으로, p의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [0 1 2; 0 1 2]

데이터형: single | double

sigma — 로그 값의 표준편차

1 (디폴트 값) | 양의 스칼라 값 | 양의 스칼라 값으로 구성된 배열

로그정규분포에 대한 로그 값의 표준편차로, 양의 스칼라 값 또는 양의 스칼라 값으로 구성된 배열로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [xLo,xUp]을 계산하는 경우, sigma는 스칼라 값이어야 합니다.

여러 값에서 icdf를 계산하려면 배열을 사용하여 p를 지정하십시오. 여러 분포에 대한 icdf를 계산하려면 배열을 사용하여 mu 및 sigma를 지정하십시오. 입력 인수 p, mu, sigma 중 하나 이상이 배열인 경우 배열 크기가 서로 같아야 합니다. 이 경우, logninv 함수가 각각의 스칼라 입력값을 배열 입력값과 동일한 크기의 상수 배열로 확장합니다. x의 각 요소는 mu 및 sigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 icdf 값으로, p의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

예: [1 1 1; 2 2 2]

데이터형: single | double

pCov — 추정값의 공분산

2×2 숫자형 행렬

추정값 mu 및 sigma의 공분산으로, 2×2 행렬로 지정됩니다.

pCov를 지정하여 신뢰구간 [xLo,xUp]을 계산하는 경우 p, mu, sigma는 스칼라 값이어야 합니다.

mu 및 sigma의 최대가능도 추정값은 mle를 사용하여 추정하고, mu 및 sigma의 공분산은 lognlike를 사용하여 추정할 수 있습니다. 예제는 로그정규분포 cdf 값의 역함수에 대한 신뢰구간 항목을 참조하십시오.

데이터형: single | double

alpha — 유의수준

0.05 (디폴트 값) | 범위 (0,1)의 스칼라

신뢰구간에 대한 유의수준으로, 범위 (0,1)의 스칼라로 지정됩니다. 신뢰수준은 100(1–alpha)%입니다. 여기서 alpha는 신뢰구간에 실제 값이 포함되지 않을 확률입니다.

예: 0.01

데이터형: single | double

출력 인수

x — icdf 값

스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

p의 확률 값에서 계산된 icdf 값으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. 필요한 스칼라 확장을 수행한 후 x는 p, mu 및 sigma와 크기가 같아집니다. x의 각 요소는 mu 및 sigma에서 대응되는 요소로 지정된 분포에 대한 icdf 값으로, p의 대응되는 요소에서 계산됩니다.

xLo — x에 대한 신뢰 하한

스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

x에 대한 신뢰 하한으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. xLo는 x와 크기가 같습니다.

xUp — x에 대한 신뢰 상한

스칼라 값 | 스칼라 값으로 구성된 배열

x에 대한 신뢰 상한으로, 스칼라 값 또는 스칼라 값으로 구성된 배열로 반환됩니다. xUp은 x와 크기가 같습니다.

세부 정보

로그정규분포

로그정규분포는 로그가 정규분포를 갖는 확률 분포입니다.

로그정규분포 역함수는 다음과 같이 로그정규분포 cdf로 정의됩니다.

$$x=F^{-1}(p|\mu ,\sigma )=\{x:F(x|\mu ,\sigma )=p\}$$

여기서

$$p=F(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^x\frac{1}{t}}\exp \left\{\frac{-{(\log t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\right\}dt,\text{for}x>0.$$

알고리즘

• 함수 logninv는 상보 오차 역함수 erfcinv를 사용합니다. logninv 및 erfcinv 간의 관계는 다음과 같습니다.

  $$\text{logninv}(p,0,1)=\exp \left(-\sqrt{2}\text{erfcinv}(2p)\right).$$

  상보 오차 역함수 erfcinv(x)는 erfcinv(erfc(x))=x로 정의되고, 상보 오차 함수 erfc(x)는 다음과 같이 정의됩니다.

  $$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt}.$$

• logninv 함수는 델타 방법을 사용하여 x에 대한 신뢰한계를 계산합니다. log(logninv(p,mu,sigma))는 mu + sigma*log(logninv(p,0,1))과 같습니다. 따라서 logninv 함수는 델타 방법을 통해 mu 및 sigma의 공분산 행렬을 사용하여 mu + sigma*log(logninv(p,0,1))에 대한 분산을 추정하고 이 분산에 대한 추정값을 사용하여 신뢰한계를 구합니다. 계산된 신뢰한계는 대규모 표본에서 mu, sigma, pCov를 추정할 때 대략적으로 원하는 신뢰수준을 제공합니다.

대체 기능

• logninv는 로그정규분포 전용 함수입니다. Statistics and Machine Learning Toolbox™는 다양한 확률 분포를 지원하는 일반 함수 icdf도 제공합니다. icdf를 사용하려면 LognormalDistribution 확률 분포 객체를 생성하고 이 객체를 입력 인수로 전달하거나 확률 분포 이름과 그 모수를 지정하십시오. 참고로, 분포 전용 함수 logninv가 일반 함수 icdf보다 더 빠릅니다.

참고 문헌

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2000. pp. 102–105.

확장 기능

C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 GPU 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

icdf | logncdf | lognpdf | lognstat | lognfit | lognlike | lognrnd | LognormalDistribution | erfcinv

도움말 항목

• 로그정규분포