besselk

제2종 변형 베셀 함수(Modified Bessel Function Of Second Kind)

구문

K = besselk(nu,Z)

K = besselk(nu,Z,scale)

설명

K = besselk(nu,Z)는 배열 Z의 각 요소에 대해 제2종 변형 베셀 함수 K_ν(z)를 계산합니다.

K = besselk(nu,Z,scale)은 언더플로나 정확도 손실을 방지하기 위해 제2종 변형 베셀 함수를 지수적으로 스케일링할지 여부를 지정합니다. scale이 1이면 besselk의 출력값은 exp(Z)배만큼 스케일링됩니다.

예제

제2종 변형 베셀 함수 플로팅

영역을 정의합니다.

z = 0:0.01:5;

처음 5개의 제2종 변형 베셀 함수를 계산합니다. K의 각 행은 z의 점에서 평가된 한 차수에서의 베셀 함수 값을 포함합니다.

K = zeros(5,501);
for i = 0:4
    K(i+1,:) = besselk(i,z);
end

모든 함수를 동일한 Figure에 플로팅합니다.

plot(z,K)
axis([0 5 0 8])
grid on
legend('K_0','K_1','K_2','K_3','K_4','Location','Best')
title('Modified Bessel Functions of the Second Kind for $\nu \in [0,4]$','interpreter','latex')
xlabel('z','interpreter','latex')
ylabel('$K_\nu(z)$','interpreter','latex')

지수적으로 스케일링된 변형 베셀 함수 계산하기

구간 $\left[0,5\right]$에 있는 $\mathit{z}$의 값에 대해 그리고 0과 3 사이의 차수 $\nu$에 대해 스케일링된 제2종 변형 베셀 함수 ${\mathit{K}}_{\nu }\left(\mathit{z}\right)\cdot {\mathit{e}}^{\mathit{z}}$을 계산합니다.

z = linspace(0,5);
scale = 1;
Ks = zeros(4,100);
for nu = 0:3
  Ks(nu+1,:) = besselk(nu,z,scale);
end

모든 함수를 동일한 Figure에 플로팅합니다. 스케일링된 함수는 $\mathit{z}$의 값이 큰 경우에도 스케일링되지 않은 함수만큼 빠르게 배정밀도의 제한보다 언더플로되지 않으므로 더 큰 계산 가능 범위를 가집니다.

plot(z,Ks)
ylim([0 3])
legend('K_0','K_1','K_2','K_3')
title('Scaled Mod. Bessel Functions of the Second Kind for $\nu \in \left[0, 3 \right]$','interpreter','latex')
xlabel('z','interpreter','latex')
ylabel('$K_\nu(z) \cdot e^{z}$','interpreter','latex')

입력 인수

nu — 방정식 차수

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

방정식 차수로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 지정됩니다. nu는 제2종 변형 베셀 함수의 차수를 지정하는 실수입니다. nu와 Z는 크기가 동일하거나, 둘 중 하나가 스칼라일 수 있습니다.

예: besselk(3,Z)

데이터형: single | double

Z — 함수 정의역

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

함수 정의역으로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 지정됩니다. besselk는 Z가 양수이면 실수 값을 갖습니다. nu와 Z는 크기가 동일하거나, 둘 중 하나가 스칼라일 수 있습니다.

예: besselk(nu,0:3)

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

scale — 함수 스케일링 여부

0 (디폴트 값) | 1

함수 스케일링 여부로, 다음 값 중 하나로 지정됩니다.

• 0(디폴트 값) — 스케일링 안 함

• 1 — besselk의 출력값을 exp(Z)배만큼 스케일링

besselk의 값은 Z의 값이 증가함에 따라 빠르게 작아지므로, Z의 값이 커서 결과값의 정확도가 손실되거나 배정밀도의 제한보다 언더플로되기 쉬운 경우에는 출력값을 지수적으로 스케일링하는 것이 유용합니다.

예: besselk(nu,Z,1)

세부 정보

변형 베셀 함수

다음 미분 방정식은 변형 베셀 방정식이라고 합니다. 여기서 ν는 실수형 상수입니다.

$$z^2\frac{d^{2}y}{d{z}^2}+z\frac{dy}{dz}-\left(z^2+{\nu }^2\right)y=0.$$

그 해는 변형 베셀 함수라고 합니다.

I_ν(z)와 I_–ν(z)로 표현되는 제1종 변형 베셀 함수는 변형 베셀 방정식의 기본 해 집합을 구성합니다. I_ν(z)는 다음과 같이 정의됩니다.

$$I_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }{\displaystyle \sum }_{(k=0)}^{\infty }\frac{{\left(\frac{z^2}{4}\right)}^k}{k!\Gamma (\nu +k+1)}.$$

제1종 변형 베셀 함수는 besseli를 사용하여 계산할 수 있습니다.

K_ν(z)로 표현되는 제2종 변형 베셀 함수는 I_ν(z)의 두 번째 독립 해를 구성하며 다음과 같이 지정됩니다.

$$K_{\nu }(z)=\left(\frac{\pi }{2}\right)\frac{I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )}.$$

참고 문헌

[1] Amos, D. E. “Algorithm 644: A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order.” ACM Transactions on Mathematical Software 12, no. 3 (September 1986): 265–273. https://dl.acm.org/doi/10.1145/7921.214331.

확장 기능

tall형 배열

메모리에 담을 수 없을 정도로 많은 행을 가진 배열을 계산할 수 있습니다.

besselk 함수는 tall형 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 tall형 배열 항목을 참조하십시오.

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 항상 복소수 결과를 반환합니다.

• 엄격한 단정밀도 계산은 지원되지 않습니다. 생성된 코드에서, 단정밀도 입력값은 단정밀도 출력값을 생성합니다. 그러나 함수 내의 변수는 배정밀도일 수 있습니다.

GPU 코드 생성

GPU Coder™를 사용하여 NVIDIA® GPU용 CUDA® 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 항상 복소수 결과를 반환합니다.

• 엄격한 단정밀도 계산은 지원되지 않습니다. 생성된 코드에서, 단정밀도 입력값은 단정밀도 출력값을 생성합니다. 그러나 함수 내의 변수는 배정밀도일 수 있습니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

besselk 함수는 GPU 배열 입력값을 지원하지만 다음과 같은 사용법 관련 참고 및 제한 사항이 있습니다.

• 차수 nu는 음이 아닌 실수 값을 포함해야 합니다.

• 인수 Z는 음이 아닌 실수 값을 포함해야 합니다.

자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

이 함수는 분산 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

airy | besselh | besseli | besselj | bessely