besselh

제3종 베셀 함수(Bessel Function Of Third Kind) (한켈 함수(Hankel Function))

구문

H = besselh(nu,Z)

H = besselh(nu,K,Z)

H = besselh(nu,K,Z,scale)

설명

H = besselh(nu,Z)는 배열 Z의 각 요소에 대해 제1종 한켈 함수 $$H_{\nu }^{\left(1\right)}\left(z\right)=J_{\nu }\left(z\right)+i{Y}_{\nu }\left(z\right)$$를 계산합니다.

H = besselh(nu,K,Z)는 배열 Z의 각 요소에 대해 제1종 또는 제2종 한켈 함수 $$H_{\nu }{}^{\left(K\right)}\left(z\right)$$를 계산합니다. 여기서 K는 1 또는 2입니다.

H = besselh(nu,K,Z,scale)은 오버플로나 정확도 손실을 방지하기 위해 한켈 함수를 스케일링할지 여부를 지정합니다. scale이 1이면 제1종 한켈 함수 $$H_{\nu }^{\left(1\right)}\left(z\right)$$는 $$e^{-iZ}$$배만큼 스케일링되고 제2종 한켈 함수 $$H_{\nu }^{\left(2\right)}\left(z\right)$$는 $$e^{+iZ}$$배만큼 스케일링됩니다.

예제

한켈 함수(Hankel Function)의 절댓값(Modulus)과 위상(Phase)

한켈 함수 $$H_0^{(1)}(z)$$의 절댓값과 위상으로 구성된 등고선 플롯을 생성합니다 [1].

영역 값에 대해 그리드를 생성합니다.

[X,Y] = meshgrid(-4:0.002:2,-1.5:0.002:1.5);

이 영역에 대해 한켈 함수(Hankel Function)를 계산한 다음 절댓값 등고선 플롯을 생성합니다.

H = besselh(0,X+1i*Y);
contour(X,Y,abs(H),0:0.2:3.2)
hold on

같은 Figure에 위상의 등고선 플롯을 추가합니다.

contour(X,Y,rad2deg(angle(H)),-180:10:180)
hold off

점근적 특성

제2종 한켈 함수의 실수부와 허수부를 플로팅하고 점근적 특성을 검토합니다.

구간 $\left[0.1,25\right]$에 대해 제2종 한켈 함수 ${\mathit{H}}_0^{\left(2\right)}\left(\mathit{z}\right)={\mathit{J}}_0\left(\mathit{z}\right)-\mathit{i}{\mathit{Y}}_0\left(\mathit{z}\right)$를 계산합니다.

k = 2;
nu = 0;
z = linspace(0.1,25,200);
H = besselh(nu,k,z);

함수의 실수부와 허수부를 플로팅합니다. 동일한 Figure에 선형 결합 $\sqrt{{\mathit{J}}_0^2\left(\mathit{z}\right)+{\mathit{Y}}_0^2\left(\mathit{z}\right)}$를 플로팅합니다. 플롯에서 실수부와 허수부 크기의 점근적 특성을 확인할 수 있습니다.

plot(z,real(H),z,imag(H))
grid on
hold on
M = sqrt(real(H).^2 + imag(H).^2);
plot(z,M,'--')
legend('$J_0(z)$', '$Y_0(z)$', '$\sqrt{J_0^2 (z) + Y_0^2 (z)}$','interpreter','latex')

지수적으로 스케일링된 한켈 함수

복소 평면에서 지수적으로 스케일링된 한켈 함수 ${\mathit{H}}_1^{\left(2\right)}\left(\mathit{z}\right){\cdot \mathit{e}}^{\mathrm{iz}}$을 계산하고 스케일링되지 않은 함수와 비교합니다.

복소 평면에서 스케일링되지 않은 2계 한켈 함수를 계산합니다. z가 큰 양의 허수부를 갖는 경우, 함수의 값이 빠르게 발산합니다. 이 현상으로 인해 계산 가능한 값의 범위가 제한됩니다.

k = 2;
nu = 1;
x = -5:0.4:15;
y = x';
z = x + 1i*y;
scaled = 1;
H = besselh(nu,k,z);
surf(x,y,imag(H))
xlabel('real(z)')
ylabel('imag(z)')

이번에는 복소 평면에서 ${\mathit{H}}_1^{\left(2\right)}\left(\mathit{z}\right){\cdot \mathit{e}}^{\mathrm{iz}}$을 계산하고 스케일링되지 않은 함수와 비교합니다. 스케일링된 함수는 z가 큰 양의 허수부를 갖는 경우 오버플로와 정확도 손실을 방지함으로써 계산 가능한 값의 범위를 늘립니다.

Hs = besselh(nu,k,z,scaled);
surf(x,y,imag(Hs))
xlabel('real(z)')
ylabel('imag(z)')

입력 인수

nu — 방정식 차수

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

방정식 차수로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 지정됩니다. nu는 한켈 함수의 차수를 지정합니다. nu와 Z는 크기가 동일하거나, 둘 중 하나가 스칼라일 수 있습니다.

예: besselh(3,Z)

데이터형: single | double

K — 한켈 함수의 종류

1 (디폴트 값) | 2

한켈 함수의 종류로, 1 또는 2로 지정됩니다.

• K = 1이면 besselh는 제1종 한켈 함수 $$H_{\nu }^{\left(1\right)}\left(z\right)=J_{\nu }\left(z\right)+i{Y}_{\nu }\left(z\right)$$를 계산합니다.

• K = 2이면 besselh는 제2종 한켈 함수 $$H_{\nu }^{\left(2\right)}\left(z\right)=J_{\nu }\left(z\right)-i{Y}_{\nu }\left(z\right)$$를 계산합니다.

예: besselh(nu,2,Z)

Z — 함수 정의역

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

함수 정의역으로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 지정됩니다. nu와 Z는 크기가 동일하거나, 둘 중 하나가 스칼라일 수 있습니다.

예: besselh(nu,[1-1i 1+0i 1+1i])

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

scale — 함수 스케일링 여부

0 (디폴트 값) | 1

함수 스케일링 여부로, 다음 값 중 하나로 지정됩니다.

• 0(디폴트 값) — 스케일링 안 함

• 1 — K의 값에 따라 다음과 같이 besselh의 출력값을 스케일링합니다.

  • K = 1이면 제1종 한켈 함수 $$H_{\nu }^{\left(1\right)}\left(z\right)$$를 $$e^{-iZ}$$배만큼 스케일링합니다.

  • K = 2이면 제2종 한켈 함수 $$H_{\nu }^{\left(2\right)}\left(z\right)$$를 $$e^{+iZ}$$배만큼 스케일링합니다.

  복소 평면에서 imag(Z)의 값이 크고 음수이면 $$H_{\nu }^{\left(1\right)}\left(z\right)$$가 오버플로됩니다. 마찬가지로, imag(Z)의 값이 크고 양수이면 $$H_{\nu }^{\left(2\right)}\left(z\right)$$가 오버플로됩니다. besselh는 정확도를 손실하거나 배정밀도의 제한을 오버플로하기 쉬우므로 위 두 경우에 이 함수의 출력값을 지수적으로 스케일링하는 것이 유용합니다.

예: besselh(nu,K,Z,1)

세부 정보

한켈 함수와 베셀 방정식

다음 미분 방정식은 베셀 방정식이라고 합니다. 여기서 ν는 실수형 상수입니다.

$$z^2\frac{d^{2}y}{d{z}^2}+z\frac{dy}{dz}+\left(z^2-{\nu }^2\right)y=0.$$

그 해는 베셀 함수라고 합니다.

J_ν(z)와 J_–ν(z)로 표현되는 제1종 베셀 함수는 정수가 아닌 ν에 대해 베셀 방정식의 기본 해 집합을 구성합니다. Y_ν(z)로 표현되는 제2종 베셀 함수는 베셀 방정식의 두 번째 해(J_ν(z)의 선형 독립 해)를 구성하며 다음과 같이 정의됩니다.

$$Y_{\nu }(z)=\frac{J_{\nu }(z)\cos (\nu \pi )-J_{-\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )}.$$

제1종 및 제2종 한켈 함수라고도 불리는 제3종 베셀 함수는 베셀 함수들의 선형 결합으로 정의됩니다. 여기서 J_ν(z)는 besselj이고 Y_ν(z)는 bessely입니다.

$$\begin{array}{l}{H}_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+i{Y}_{\nu }(z)\\ H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-i{Y}_{\nu }(z).\end{array}$$

참고 문헌

[1] Abramowitz, M., and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55, Dover Publications, 1965.

[2] Amos, D. E. “Algorithm 644: A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order.” ACM Transactions on Mathematical Software 12, no. 3 (September 1986): 265–273. https://dl.acm.org/doi/10.1145/7921.214331.

확장 기능

tall형 배열

메모리에 담을 수 없을 정도로 많은 행을 가진 배열을 계산할 수 있습니다.

besselh 함수는 tall형 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 tall형 배열 항목을 참조하십시오.

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 항상 복소수 결과를 반환합니다.

• 엄격한 단정밀도 계산은 지원되지 않습니다. 생성된 코드에서, 단정밀도 입력값은 단정밀도 출력값을 생성합니다. 그러나 함수 내의 변수는 배정밀도일 수 있습니다.

GPU 코드 생성

GPU Coder™를 사용하여 NVIDIA® GPU용 CUDA® 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 항상 복소수 결과를 반환합니다.

• 엄격한 단정밀도 계산은 지원되지 않습니다. 생성된 코드에서, 단정밀도 입력값은 단정밀도 출력값을 생성합니다. 그러나 함수 내의 변수는 배정밀도일 수 있습니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

이 함수는 분산 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

besselj | bessely | besseli | besselk