기하 변환의 행렬 표현

선형 기하 변환을 숫자형 행렬로 나타낼 수 있습니다. 평행 이동, 스케일링, 회전, 반사와 같은 각 변환 유형은 요소가 특정 패턴을 따르는 행렬을 사용하여 정의됩니다. 변환을 나타내는 복합 행렬을 생성하여 여러 변환을 조합할 수 있습니다. 자세한 내용은 Create Composite 2-D Affine Transformations 항목을 참조하십시오.

2차원 아핀 변환

다음 표에는 2차원 아핀 변환과 이를 정의하는 데 사용되는 변환 행렬이 나열되어 있습니다. 2차원 아핀 변환의 경우 마지막 행은 [0 0 1]이어야 합니다.

• 2차원 평행 이동 행렬을 조합하여 평행 이동 변환을 나타내는 transltform2d 객체를 만듭니다.

• 2차원 평행 이동 행렬과 회전 행렬을 조합하여 비반사적 강체 변환을 나타내는 rigidtform2d 객체를 만듭니다.

• 2차원 평행 이동 행렬, 회전 행렬, 스케일링 행렬을 조합하여 비반사적 유사 변환을 나타내는 simtform2d 객체를 만듭니다.

• 2차원 변환 행렬을 조합하여 일반 아핀 변환을 나타내는 affinetform2d 객체를 만듭니다.

2차원 아핀 변환	예(원본 영상과 변환된 영상)	변환 행렬
평행 이동		$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$	tx는 x축을 따라 변위를 지정합니다. ty는 y축을 따라 변위를 지정합니다. 픽셀 좌표에 대한 자세한 내용은 영상 좌표계 항목을 참조하십시오.
스케일링		$$\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$	sx는 x축을 따라 스케일링 인자를 지정합니다. sy는 y축을 따라 스케일링 인자를 지정합니다.
전단		$$\left[\begin{array}{ccc}1& s{h}_x& 0\\ s{h}_y& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$	shx는 x축을 따라 전단 인자를 지정합니다. shy는 y축을 따라 전단 인자를 지정합니다.
반사		$$\left[\begin{array}{ccc}\text{cosd(2}\phi \text{)}& \text{sind(2}\phi \text{)}& 0\\ \text{sind(2}\phi \text{)}& -\text{cosd(2}\phi \text{)}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$	φ는 반사 축의 각도(단위: 도)를 지정합니다. 두 가지 일반적인 반사에는 세로 반사와 가로 반사가 있습니다. 세로 반사는 x축을 기준으로 한 반사이기 때문에 φ는 0이고 반사 행렬은 다음과 같이 단순화됩니다. [1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]. 가로 반사는 y축을 기준으로 한 반사이기 때문에 φ는 90이고 반사 행렬은 다음과 같이 단순화됩니다. [-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]
회전		$$\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{cosd}(\text{θ})& -\mathrm{sind}(\text{θ})& 0\\ \mathrm{sind}(\text{θ})& \mathrm{cosd}(\text{θ})& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$	θ는 원점을 중심으로 한 회전 각도(단위: 도)를 지정합니다.

2차원 사영 변환

사영 변환을 수행하면 영상의 평면을 기울일 수 있습니다(틸트 효과). 평행선들이 소실점 방향으로 수렴할 수 있기 때문에 깊이가 있는 것처럼 보이게 됩니다.

이 변환은 3×3 행렬입니다. 아핀 변환과 달리 변환 행렬의 마지막 행에 대한 제약이 없습니다. 2차원 아핀 행렬과 사영 변환 행렬을 합성하여 일반적인 사영 변환을 나타내는 projtform2d 객체를 만듭니다.

2차원 사영 변환	예	변환 행렬
틸트		$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ E& F& 1\end{array}\right]$$	E와 F는 소실점에 영향을 줍니다. E와 F가 크면 소실점이 원점에 더 가까워져서 평행선들이 더 빨리 수렴하는 것처럼 보입니다.

3차원 아핀 변환

다음 표에는 3차원 아핀 변환과 이를 정의하는 데 사용되는 변환 행렬이 나열되어 있습니다. 3차원의 경우에는 영상을 회전 또는 전단하려는 방식에 따라 행렬이 달라진다는 사실에 유의하십시오. 3차원 아핀 변환의 경우 마지막 행은 [0 0 0 1]이어야 합니다.

• 3차원 평행 이동 행렬을 조합하여 평행 이동 변환을 나타내는 transltform3d 객체를 만듭니다.

• 3차원 평행 이동 행렬과 회전 행렬을 조합하여 비반사적 강체 변환을 나타내는 rigidtform3d 객체를 만듭니다.

• 3차원 평행 이동 행렬, 회전 행렬, 스케일링 행렬을 조합하여 비반사적 유사 변환을 나타내는 simtform3d 객체를 만듭니다.

• 3차원 변환 행렬을 조합하여 일반 아핀 변환을 나타내는 affinetform3d 객체를 만듭니다.

3차원 아핀 변환	변환 행렬
평행 이동	x, y, z 방향에서 각각 크기 tx, ty, tz만큼 평행 이동: $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
스케일링	x, y, z 차원에서 각각 스케일링 인자 sx, sy, sz만큼 스케일링: $$\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
전단	y-z 평면 내 전단: $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ s{h}_{xy}& 1& 0& 0\\ s{h}_{xz}& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ 이 때 $$\begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=y+s{h}_{xy}x\\ z\text{'}=z+s{h}_{xz}x\end{array}$$	x-z 평면 내 전단: $$\left[\begin{array}{cccc}1& s{h}_{yx}& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& s{h}_{yz}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ 이 때 $$\begin{array}{l}x\text{'}=x+s{h}_{yx}y\\ y\text{'}=y\\ z\text{'}=z+s{h}_{yz}y\end{array}$$	x-y 평면 내 전단: $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& s{h}_{zx}& 0\\ 0& 1& s{h}_{zy}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ 이 때 $$\begin{array}{l}x\text{'}=x+s{h}_{zx}z\\ y\text{'}=y+s{h}_{zy}z\\ z\text{'}=z\end{array}$$
반사	y-z 평면에 걸친 반사, x 좌표 부정: $$\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$	x-z 평면에 걸친 반사, y 좌표 부정: $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$	x-y 평면에 걸친 반사, z 좌표 부정: $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
회전	y-z 평면 내에서 x축을 기준으로 각도 θx만큼 회전(단위: 도): $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \text{cosd}({\theta }_x)& -\text{sind}({\theta }_x)& 0\\ 0& \text{sind}({\theta }_x)& \text{cosd}({\theta }_x)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$	x-z 평면 내에서 y축을 기준으로 각도 θy만큼 회전(단위: 도): $$\left[\begin{array}{cccc}\text{cosd}({\theta }_y)& 0& \text{sind}({\theta }_y)& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\mathrm{sind}({\theta }_y)& 0& \text{cosd}({\theta }_y)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$	x-y 평면 내에서 z축을 기준으로 각도 θz만큼 회전(단위: 도): $$\left[\begin{array}{cccc}\text{cosd}({\theta }_z)& -\text{sind}({\theta }_z)& 0& 0\\ \text{sind}({\theta }_z)& \text{cosd}({\theta }_z)& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

3차원 사영 및 N차원 변환

imwarp 함수는 3차원 사영 변환 또는 N차원 아핀 및 사영 변환을 지원하지 않습니다. 대신 maketform 함수를 사용하여 기하 변환 행렬에서 공간 변환 구조체를 만들 수 있습니다. 그런 다음 tformarray 함수를 사용하여 변환을 영상에 적용합니다. 자세한 내용은 N-Dimensional Spatial Transformations 항목을 참조하십시오.

변환 행렬의 차원은 (N+1)×(N+1)이어야 합니다. maketform 및 tformarray 함수는 후위곱 행렬 규칙을 사용합니다. 후위곱 규칙의 기하 변환 행렬은 전위곱 규칙의 행렬의 전치입니다. 따라서 N차원 아핀 변환 행렬의 경우 마지막 열에는 [zeros(N,1); 1]이 포함되어야 하며 마지막 행의 값에는 제한이 없습니다.

참고 항목

imwarp | fitgeotform2d | affinetform2d | affinetform3d | projtform2d

관련 예제

• Create Composite 2-D Affine Transformations
• Perform Simple 2-D Translation Transformation

세부 정보

• 2차원과 3차원 기하 변환 과정 개요