주파수 응답이란?

주파수 응답은 다양한 주파수의 정현파 입력값에 대한 시스템의 정상 상태 응답을 말하며, 제어 엔지니어는 이를 통해 주파수 영역의 제어 시스템을 분석 및 설계할 수 있습니다.

주파수 영역이 중요한 이유를 이해하기 위해 어쿠스틱 기타를 예로 들어 보겠습니다. 기타의 공명판 가까이에 마이크를 두고 기타현을 튕기면(그림 1, 왼쪽) 진동하는 현이 기타 캐비티 안에 공명을 일으키면서 음파를 생성하고, 마이크는 이 음파를 수집합니다. 수집된 신호의 시간 추적(그림 1, 오른쪽)을 보는 것만으로 현재 상태의 정보를 신속하게 추출하기란 어렵습니다.

진동이 기타 캐비티 안에서 공명하며 음파를 생성합니다.

그림 1: 진동이 기타 캐비티 안에서 공명하며 음파를 생성합니다(왼쪽). 시간 영역 내 신호의 시간 추적(오른쪽).

동일한 신호를 스펙트럼 분석기에서 주파수 영역으로 보거나 시간 영역 신호에 대해 FFT(고속 푸리에 변환)를 수행하면 일부 주파수에서 진폭 피크를 볼 수 있습니다(그림 2, 왼쪽). 이 피크 주파수는 방금 연주한 음을 형성하는 기저 음조입니다. 기타의 튜너 노브를 조정하거나 기타 넥 쪽으로 현을 누르면 그 현의 초기장력 또는 실질적인 길이가 변경됩니다. 이렇게 되면 현이 위나 아래로 공명할 때의 주파수가 바뀌면서 다른 음을 생성하게 됩니다(그림 2, 오른쪽). 이처럼 간단한 주파수 영역 내 분석을 통해 기타(시스템)가 현의 튕김(시스템 입력값)에 어떻게 응답하는지를 볼 수 있습니다.

그림 2: 주파수 영역에서 보여지는 동일한 신호.

그림 2: 주파수 영역에서 보여지는 동일한 신호(왼쪽). 현의 초기장력을 조정을 통한 현의 공명 주파수 변경(오른쪽).

이 비유는 환경으로부터의 자극이나 입력값에 대한 시스템의 응답을 파악하고자 하는 다른 시스템에 적용할 수 있습니다. 폐루프 시스템의 공명 피크 주파수, DC 이득, 대역폭, 위상 지연, 위상 및 이득 여유와 같은 시스템 동특성에 대한 이해를 할 수 있습니다.

시스템의 주파수 응답 구하기

아래 차트를 통해 MATLAB® 및 Simulink®를 사용하여 시스템의 주파수 응답을 구하기 위한 접근법(회색으로 표시된 부분)을 파악할 수 있습니다.

그림 3: MATLAB 및 Simulink를 사용하여 시스템의 주파수 응답 구하기.

그림 3: MATLAB 및 Simulink를 사용하여 시스템의 주파수 응답 구하기.

  1. 전달 함수 또는 상태공간 모델 형태로 된 시스템의 선형 표현이 있는 경우에는 보드 플롯, 나이퀴스트 플롯 또는 니콜스 차트 중 하나를 사용하여 주파수 응답을 플로팅할 수 있습니다. 보드 플롯은 가진 신호 주파수의 함수로 크기와 위상을 표시합니다. (그림 4)
  2. 예를 들어 다음과 같은 시스템의 전달 함수 표현 \((H)\)를 보겠습니다.

    $$H(s) = {s^2+ 0.1s + 7.5\over s^4+0.12s^3+9s^2}.$$

    이 경우 다음 명령을 사용하여 MATLAB에서 주파수 응답을 플로팅할 수 있습니다.

    \(H = {tf([1 \quad 0.1\quad 7.5], [1 \quad 0.12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});\)

    \(bode(H)\)

그림 4: 보드 플롯.

그림 4: 보드 플롯.

경우에 따라서는 시스템의 선형 표현을 사용하지 못할 수도 있습니다.

  1. 이 경우에는 물리적 시스템의 입력-출력 테스트 데이터에 액세스할 수 있다면 System Identification Toolbox™에서 데이터 주도 모델링 접근법을 사용하여 시스템의 전달 함수, 상태공간 표현 및 주파수 응답 모델을 식별할 수 있습니다.
  2. Simulink를 사용하여 시스템 동특성을 모델링하는 경우에는 Simulink Control Design™의 Model Linearizer 앱을 사용하여 모델을 선형화해서 Simulink 모델의 선형 상태공간 근사치를 생성하고 주파수 응답을 플로팅할 수 있습니다.
  3. 불연속성으로 인해 Simulink 모델의 선형화가 불가능한 경우에는 주파수 응답 추정을 사용하여 주파수 응답 모델을 직접 추정할 수 있습니다.
그림 5: Simulink의 주파수 응답 추정.

그림 5: Simulink의 주파수 응답 추정.

Simulink Control Design은 시스템의 주파수 응답 모델을 추정하는 두 가지 접근법을 제공합니다.

오프라인 주파수 응답 추정
시뮬레이션 중에 Model Linearizer 앱이 지정된 주파수에서 입력 섭동 신호로 시스템을 가진하고 모델 출력값의 응답을 기록합니다(그림 5). 시뮬레이션 후에는 기록된 입력 및 출력 신호가 처리되어 모델의 주파수 응답을 계산합니다.

온라인 주파수 응답 추정
실시간 작업 중에 Frequency Response Estimator 블록을 통해 물리적 플랜트의 주파수 응답이 추정됩니다. 이 블록은 공칭 동작점에 있는 플랜트 안으로 정현파 테스트 신호를 주입하며, 주파수 응답은 출력 신호 데이터가 수집될 때 지속적으로 조정됩니다.

다음 표에서는 주파수 범위, 정확도 및 추정 속도 등의 추정 요건에 따라 주입 가능한 섭동 신호를 볼 수 있습니다.

입력 신호 유형 오프라인/온라인 추정의 가용성 주파수 범위 (협대역/광대역) 정확도 추정 속도 다음 경우에 유용함
      척도: 1(낮음)부터 5(높음)까지  
사인스트림 오프라인, 온라인 협대역 ★★★★★ 시스템에 강력한 비선형성이 포함되거나 높은 정확도의 주파수 응답 모델이 필요한 경우에 유용합니다.
처프 오프라인 광대역 ★★ ★★★ 시스템이 주파수 범위에서 거의 선형인 경우에 유용합니다. 다수의 주파수 지점에 대한 응답을 신속하게 구해야 하는 경우에도 유용합니다.
PRBS 오프라인 광대역 ★★ ★★★ 통신 및 전력 전자 시스템처럼 고주파 스위칭 구성요소가 시스템에 포함된 경우에 유용합니다.
계단 오프라인 광대역 ★★★ 나이퀴스트 주파수까지의 모든 주파수에서 균일하게 시스템을 가진하는 경우에 유용합니다.
랜덤 오프라인 광대역 ★★ ★★★ 추정하려는 시스템을 잘 알지 못하는 경우에 유용합니다.

요약하면, 시스템의 주파수 응답 계산은 제어 분석과 설계에서 중요한 위치를 차지합니다. MATLAB 및 Simulink는 시스템의 주파수 응답을 구하는 데 사용할 수 있는 다양한 접근법을 제공합니다. 이와 같은 접근법에 대해 자세히 알아보려면 아래의 예제와 참조 자료를 확인하십시오.



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