주파수 응답

주파수 응답은 다양한 주파수의 정현파 입력값에 대한 시스템의 정상 상태 응답을 말하며, 제어 엔지니어는 이를 통해 주파수 영역의 제어 시스템을 분석 및 설계할 수 있습니다.

주파수 영역이 중요한 이유를 이해하기 위해 어쿠스틱 기타를 예로 들어 보겠습니다. 기타의 공명판 가까이에 마이크를 두고 기타현을 튕기면(그림 1, 왼쪽) 진동하는 현이 기타 내부의 공명 공간에서 공진을 일으키면서 음파를 생성하고, 마이크는 이 음파를 수집합니다. 수집된 신호의 시간 파형(그림 1, 오른쪽)을 살펴보면 현재 어떤 현상이 일어나고 있는지에 대한 정보를 빠르게 파악하기는 어렵습니다.

동일한 신호를 스펙트럼 분석기에서 주파수 영역으로 보거나 시간 영역 신호에 대해 FFT(고속 푸리에 변환)를 수행하면 일부 주파수에서 진폭 피크를 볼 수 있습니다. (그림 2, 왼쪽) 이 피크 주파수는 방금 연주한 음을 형성하는 기저 음조입니다. 기타의 튜너 노브를 조정하거나 기타 넥 쪽으로 현을 누르면 그 현의 초기장력 또는 실질적인 길이가 변경됩니다. 이렇게 되면 현이 위나 아래로 공명할 때의 주파수가 바뀌면서 다른 음을 생성하게 됩니다. (그림 2, 오른쪽) 이처럼 간단한 주파수 영역 내 분석을 통해 기타(시스템)가 현의 튕김(시스템 입력값)에 어떻게 응답하는지를 볼 수 있습니다.

이 비유는 환경으로부터의 자극이나 입력값에 대한 시스템의 응답을 파악하고자 하는 다른 시스템에 적용할 수 있습니다. 폐루프 시스템의 공진 피크 주파수, DC 이득, 대역폭, 위상 지연, 위상 및 이득 여유와 같은 시스템 동역학에 대한 이해를 할 수 있습니다.

시스템의 주파수 응답 구하기

아래 차트를 통해 MATLAB^® 및 Simulink^®를 사용하여 시스템의 주파수 응답을 구하기 위한 접근법(회색으로 표시된 부분)을 파악할 수 있습니다.

1. 전달 함수 또는 상태공간 모델 형태로 된 시스템의 선형 표현이 있는 경우에는 보드 플롯, 나이퀴스트 플롯 또는 니콜스 차트 중 하나를 사용하여 주파수 응답을 플로팅할 수 있습니다. 보드 플롯은 가진 신호 주파수의 함수로 크기와 위상을 표시합니다. (그림 4)

예를 들어 다음과 같은 시스템의 전달 함수 표현 \((H)\)를 보겠습니다.

$$H(s) = {s^2+ 0.1s + 7.5\over s^4+0.12s^3+9s^2}.$$

이 경우 다음 명령을 사용하여 MATLAB에서 주파수 응답을 플로팅할 수 있습니다.

\(H = {tf([1 \quad 0.1\quad 7.5], [1 \quad 0.12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});\)

\(bode(H)\)

경우에 따라서는 시스템의 선형 표현을 사용하지 못할 수도 있습니다.

2. 이 경우에는 물리 시스템의 입력-출력 테스트 데이터에 액세스할 수 있다면 System Identification Toolbox™에서 데이터 주도 모델링 접근법을 사용하여 시스템의 전달 함수, 상태공간 표현 및 주파수 응답 모델을 식별할 수 있습니다.
3. Simulink를 사용하여 시스템 동역학을 모델링하는 경우에는 Simulink Control Design™의 모델 선형기 앱을 사용하여 모델을 선형화해서 Simulink 모델의 선형 상태공간 근사치를 생성하고 주파수 응답을 플로팅할 수 있습니다.
4. 불연속성으로 인해 Simulink 모델의 선형화가 불가능한 경우에는 주파수 응답 추정을 사용하여 주파수 응답 모델을 직접 추정할 수 있습니다. 전력전자 모델과 같이 주기적 여기 또는 자체 진동으로 인해 불연속성이 발생하는 시스템의 경우, Simulink Control Design을 사용하여 주기적 정상 상태 동작점을 계산할 수 있습니다. 이후 이 주기 정상 상태 동작점을 기준으로 주파수 응답 추정을 수행하면 필요한 시뮬레이션 시간을 최소화할 수 있습니다.

Simulink Control Design은 시스템의 주파수 응답 모델을 추정하는 두 가지 접근법을 제공합니다.

오프라인 주파수 응답 추정
모델 선형기 앱이 지정된 주파수에서 입력 섭동 신호로 시스템을 가진하고 모델 출력값의 응답을 기록합니다. (그림 5) 시뮬레이션 후에는 기록된 입력 및 출력 신호가 처리되어 모델의 주파수 응답을 계산합니다.

온라인 주파수 응답 추정
Frequency Response Estimator 블록을 통해 물리적 플랜트의 주파수 응답이 추정됩니다. 이 블록은 공칭 동작점에 있는 플랜트 안으로 정현파 테스트 신호를 주입하며, 주파수 응답은 출력 신호 데이터가 수집될 때 지속적으로 조정됩니다.

다음 표에서는 주파수 범위, 정확도 및 추정 속도 등의 추정 요건에 따라 주입 가능한 섭동 신호를 볼 수 있습니다.

요약하면, 시스템의 주파수 응답 계산은 제어 분석과 설계에서 중요한 위치를 차지합니다. MATLAB 및 Simulink는 시스템의 주파수 응답을 구하는 데 사용할 수 있는 다양한 접근법을 제공합니다. 이와 같은 접근법에 대해 자세히 알아보려면 아래의 예제와 참조 자료를 확인하십시오.