Main Content

이 번역 페이지는 최신 내용을 담고 있지 않습니다. 최신 내용을 영문으로 보려면 여기를 클릭하십시오.

taylor

설명

예제

T = taylor(f,var)은 점 var = 0에서 f의 5차까지의 테일러 급수 전개f를 근사합니다. var을 지정하지 않으면 taylorsymvar(f,1)에서 결정된 디폴트 변수를 사용합니다.

예제

T = taylor(f,var,a)는 점 var = a에서 f의 테일러 급수 전개로 f를 근사합니다.

예제

T = taylor(___,Name,Value)는 하나 이상의 Name,Value 쌍 인수로 지정된 추가 옵션을 사용합니다. 위에 열거된 구문에서 입력 인수 뒤에 Name,Value를 지정하면 됩니다.

예제

모두 축소

지수, 사인, 코사인 함수의 매클로린 급수 전개를 5차까지 구합니다.

syms x
T1 = taylor(exp(x))
T2 = taylor(sin(x))
T3 = taylor(cos(x))
T1 = 
x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1

T2 = 
x^5/120 - x^3/6 + x

T3 = 
x^4/24 - x^2/2 + 1

sympref 함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다. 다항식을 오름차순으로 다시 표시합니다.

sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
T1
T2
T3
T1 =
1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120
 
T2 =
x - x^3/6 + x^5/120
 
T3 =
1 - x^2/2 + x^4/24

sympref를 사용하여 설정한 표시 형식은 현재 세션뿐만 아니라 이후의 MATLAB® 세션까지 계속 적용됩니다. 'default' 옵션을 지정하여 디폴트 값을 복원합니다.

sympref('default');

다음 함수에 대해 x = 1에서 테일러 급수 전개를 구합니다. 디폴트 전개 점은 0입니다. 다른 전개 점을 지정하려면 ExpansionPoint를 사용하십시오.

syms x
T = taylor(log(x), x, 'ExpansionPoint', 1)
T = 
x - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + (x - 1)^5/5 - 1

또는 전개 점을 taylor의 세 번째 인수로 지정합니다.

T = taylor(acot(x), x, 1)
T = 
pi/4 - x/2 + (x - 1)^2/4 - (x - 1)^3/12 + (x - 1)^5/40 + 1/2

f = sin(x)/x에 대한 매클로린 급수 전개를 구합니다. 디폴트 절단 차수는 6입니다. 이 표현식의 테일러 급수 근사에는 5차 항이 없으므로 taylor는 이 표현식을 4차 다항식으로 근사합니다.

syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f, x);

Order를 사용하여 절단 차수를 제어합니다. 예를 들어, 동일한 표현식을 8차와 10차까지 근사합니다.

T8 = taylor(f, x, 'Order', 8);
T10 = taylor(f, x, 'Order', 10);

원래 표현식 f와 그 근사 T6, T8, T10을 플로팅합니다. 근사의 정확도가 절단 차수에 따라 어떻게 달라지는지 확인합니다.

fplot([T6 T8 T10 f])
xlim([-4 4])
grid on

legend('approximation of sin(x)/x up to O(x^6)',...
       'approximation of sin(x)/x up to O(x^8)',...
       'approximation of sin(x)/x up to O(x^{10})',...
       'sin(x)/x','Location','Best')
title('Taylor Series Expansion')

다음 표현식의 테일러 급수 전개를 구합니다. 기본적으로 taylor는 절대 차수를 사용합니다. 그리고, 그 차수에 맞춰 급수를 구합니다.

T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5)
T = 
-x^3/3

OrderMode를 사용하여 상대 절단 차수로 테일러 급수 전개를 구합니다. 일부 표현식의 경우 상대 절단 차수가 보다 정확한 근사를 제공합니다.

T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5, 'OrderMode', 'relative')
T = 
- x^7/2520 - x^5/60 - x^3/3

다음 다변량 표형식의 매클로린 급수 전개를 구합니다. 변수로 구성된 벡터를 지정하지 않으면 taylorf를 하나의 독립 변수에 대한 함수로 취급합니다.

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f)
T = 
x^5/120 - x^3/6 + x + cos(y) + exp(z)

변수로 구성된 벡터를 지정하여 다변량 매클로린 전개를 구합니다.

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f, [x, y, z])
T =
x^5/120 - x^3/6 + x + y^4/24 - y^2/2 + z^5/120 + z^4/24 + z^3/6 + z^2/2 + z + 2

sympref 함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다. 다항식을 오름차순으로 다시 표시합니다.

sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
T
T =
2 + z + z^2/2 + z^3/6 + z^4/24 + z^5/120 - y^2/2 + y^4/24 + x - x^3/6 + x^5/120

sympref를 사용하여 설정한 표시 형식은 현재 세션뿐만 아니라 이후의 MATLAB 세션까지 계속 적용됩니다. 'default' 옵션을 지정하여 디폴트 값을 복원합니다.

sympref('default');

변수로 구성된 벡터와 전개 점을 정의하는 값으로 구성된 벡터를 지정하여 다변량 테일러 전개를 구합니다.

syms x y
f = y*exp(x - 1) - x*log(y);
T = taylor(f, [x, y], [1, 1], 'Order', 3)
T = 
x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2

전개 점을 스칼라 a로 지정하면 taylor는 이 스칼라를 변수로 구성된 벡터와 길이가 같은 벡터로 변환합니다. 전개 벡터의 모든 요소는 a와 같습니다.

T = taylor(f, [x, y], 1, 'Order', 3)
T = 
x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2

입력 인수

모두 축소

근사할 입력값으로, 기호 표현식 또는 기호 함수로 지정됩니다. 또한, 기호 표현식 또는 기호 함수로 구성된 벡터, 행렬 또는 다차원 배열일 수 있습니다.

전개 변수로, 기호 변수로 지정됩니다. var을 지정하지 않으면 taylorsymvar(f,1)에서 결정된 디폴트 변수를 사용합니다.

전개 점으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 함수 또는 기호 표현식으로 지정됩니다. 전개 점은 전개 변수에 종속될 수 없습니다. 전개 점을 Name,Value 쌍의 인수로 지정할 수도 있습니다. 전개 점을 두 가지 방법으로 지정하면 Name,Value 쌍의 인수가 우선합니다.

이름-값 쌍의 인수

선택적으로 Name,Value 인수가 쉼표로 구분되어 지정됩니다. 여기서 Name은 인수 이름이고 Value는 대응값입니다. Name은 따옴표 안에 표시해야 합니다. Name1,Value1,...,NameN,ValueN과 같이 여러 개의 이름-값 쌍의 인수를 어떤 순서로든 지정할 수 있습니다.

예: taylor(log(x),x,'ExpansionPoint',1,'Order',9)

전개 점으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 함수 또는 기호 표현식으로 지정됩니다. 전개 점은 전개 변수에 종속될 수 없습니다. 입력 인수 a를 사용하여 전개 점을 지정할 수도 있습니다. 전개 점을 두 가지 방법으로 지정하면 Name,Value 쌍의 인수가 우선합니다.

테일러 급수 전개의 절단 차수로, 양의 정수 또는 양의 기호 정수로 지정됩니다. taylor는 차수 n - 1을 사용하여 테일러 급수 근사를 구합니다. 절단 차수 n은 O항 즉, O(varn)의 지수입니다.

차수 모드 표시자로, 'absolute' 또는 'relative'로 지정됩니다. 이 표시자는 테일러 다항식 근사를 구할 때 절대 차수와 상대 차수 중 어느 것을 사용할지 지정합니다.

절대 차수는 어떤 차수에서 잘라 급수를 구할지 나타냅니다. 상대 차수 n은 결과 급수에서 var의 지수 범위가 선행 차수 m부터 가장 큰 지수 m + n - 1까지라는 것을 의미합니다. 여기서 m + n은 O항 즉, O(varm + n)에 있는 var의 지수 입니다.

세부 정보

모두 축소

테일러 급수 전개

테일러 급수 전개는 해석 함수 f(x)를 전개 점 x = a를 중심으로 하는 항들의 무한 합으로 나타냅니다.

f(x)=f(a)+f(a)1!(xa)+f(a)2!(xa)2+=m=0f(m)(a)m!(xa)m

테일러 급수 전개에서는 함수가 전개 점 중심에서 도함수를 무한 차수까지 가져야 합니다.

매클로린 급수 전개

다음과 같이 x = 0을 중심으로 하는 테일러 급수 전개를 매클로린 급수 전개라고 합니다.

f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!x2+=m=0f(m)(0)m!xm

  • 세 번째 인수 aExpansionPoint 둘 다를 사용하여 전개 점을 지정하면 ExpansionPoint로 지정된 값이 우선합니다.

  • var이 벡터이면 전개 점 a는 스칼라이거나 var과 같은 길이의 벡터여야 합니다. var이 벡터이고 a가 스칼라이면 a는 모든 요소가 a와 같고 길이가 var과 같은 벡터로 확장됩니다.

  • 전개 점이 무한대 또는 음의 무한대이면 taylor1/var의 멱급수인 로랑 급수 전개를 구합니다.

  • sympref 함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다.

참고 항목

| | | | |

도움말 항목

R2006a 이전에 개발됨