taylor

테일러 급수

구문

T = taylor(f,var)

T = taylor(f,var,a)

T = taylor(___,Name=Value)

설명

T = taylor(f,var)은 점 var = 0에서 f의 5차까지의 테일러 급수 전개로 f를 근사합니다. var을 지정하지 않으면 taylor는 symvar(f,1)에서 결정된 디폴트 변수를 사용합니다.

T = taylor(f,var,a)는 점 var = a에서 f의 테일러 급수 전개로 f를 근사합니다.

T = taylor(___,Name=Value)는 위에 열거된 구문의 입력 인수 조합과 함께 하나 이상의 이름-값 인수를 사용하여 옵션을 지정합니다. 예를 들어 테일러 급수 전개의 전개 점, 절단 차수 또는 차수 모드를 지정할 수 있습니다.

예제

일변량 표현식의 매클로린 급수 구하기

지수, 사인, 코사인 함수의 매클로린 급수 전개를 5차까지 구합니다.

syms x
T1 = taylor(exp(x))

T1 = 
$$\frac{x^5}{120}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+x+1$$

T2 = taylor(sin(x))

T2 = 
$$\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x$$

T3 = taylor(cos(x))

T3 = 
$$\frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{2}+1$$

sympref 함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다. 다항식을 오름차순으로 다시 표시합니다.

sympref("PolynomialDisplayStyle","ascend");
T1

T1 = 
$$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}$$

T2

T2 = 
$$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$$

T3

T3 = 
$$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$

sympref 함수를 사용하여 설정한 표시 형식은 현재 세션뿐만 아니라 이후의 MATLAB® 세션까지 계속 적용됩니다. "default" 옵션을 지정하여 디폴트 값을 복원합니다.

sympref("default");

전개 점 지정하기

다음 함수에 대해 $\mathit{x}=1$에서 테일러 급수 전개를 구합니다. 디폴트 전개 점은 0입니다. 다른 전개 점을 지정하려면 ExpansionPoint를 사용하십시오.

syms x
T = taylor(log(x),x,ExpansionPoint=1)

T = 
$$x-\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}+\frac{{\left(x-1\right)}^3}{3}-\frac{{\left(x-1\right)}^4}{4}+\frac{{\left(x-1\right)}^5}{5}-1$$

또는 전개 점을 taylor의 세 번째 인수로 지정합니다.

T = taylor(acot(x),x,1)

T = 
$$\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}-\frac{{\left(x-1\right)}^3}{12}+\frac{{\left(x-1\right)}^5}{40}+\frac{1}{2}$$

절단 차수 지정하기

f = sin(x)/x에 대한 매클로린 급수 전개를 구합니다. 디폴트 절단 차수는 6입니다. 이 표현식의 테일러 급수 근사에는 5차 항이 없으므로 taylor는 이 표현식을 4차 다항식으로 근사합니다.

syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f,x);

Order를 사용하여 절단 차수를 제어합니다. 예를 들어, 동일한 표현식을 7차와 9차까지 근사합니다.

T8 = taylor(f,x,Order=8);
T10 = taylor(f,x,Order=10);

원래 표현식 f와 그 근사 T6, T8, T10을 플로팅합니다. 근사의 정확도가 절단 차수에 따라 어떻게 달라지는지 확인합니다.

fplot([T6 T8 T10 f])
xlim([-4 4])
grid on
legend("approximation of sin(x)/x with error O(x^6)", ...
       "approximation of sin(x)/x with error O(x^8)", ...
       "approximation of sin(x)/x with error O(x^{10})", ...
       "sin(x)/x",Location="Best")
title("Taylor Series Expansion")

상대 또는 절대로 절단 차수 지정하기

다음 표현식의 테일러 급수 전개를 구합니다. 기본적으로 taylor는 절대 차수를 사용합니다. 그리고, 그 차수에 맞춰 급수를 구합니다.

syms x
T = taylor(1/exp(x) - exp(x) + 2*x,x,Order=5)

T = 
$$-\frac{x^3}{3}$$

OrderMode를 사용하여 상대 절단 차수로 테일러 급수 전개를 구합니다. 일부 표현식의 경우 상대 절단 차수가 보다 정확한 근사를 제공합니다.

T = taylor(1/exp(x) - exp(x) + 2*x,x,Order=5,OrderMode="relative")

T = 
$$-\frac{x^7}{2520}-\frac{x^5}{60}-\frac{x^3}{3}$$

다변량 표현식의 매클로린 급수 구하기

다음 다변량 표형식의 매클로린 급수 전개를 구합니다. 변수로 구성된 벡터를 지정하지 않으면 taylor는 f를 하나의 독립 변수에 대한 함수로 취급합니다.

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f)

T = 
$$\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x+\cos \left(y\right)+{\mathrm{e}}^z$$

변수로 구성된 벡터를 지정하여 다변량 매클로린 급수 전개를 구합니다.

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f,[x,y,z])

T = 
$$\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x+\frac{y^4}{24}-\frac{y^2}{2}+\frac{z^5}{120}+\frac{z^4}{24}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^2}{2}+z+2$$

sympref 함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다. 다항식을 오름차순으로 다시 표시합니다.

sympref("PolynomialDisplayStyle","ascend");
T

T = 
$$2+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^4}{24}+\frac{z^5}{120}-\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{24}+x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$$

sympref를 사용하여 설정한 표시 형식은 현재 세션뿐만 아니라 이후의 MATLAB 세션까지 계속 적용됩니다. "default" 옵션을 지정하여 디폴트 값을 복원합니다.

sympref("default");

다변량 표현식에 대해 전개 점 지정하기

변수로 구성된 벡터와 전개 점을 정의하는 값으로 구성된 벡터를 지정하여 다변량 테일러 급수 전개를 구합니다.

syms x y
f = y*exp(x - 1) - x*log(y);
T = taylor(f,[x y],[1 1],Order=3)

T = 
$$x+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{2}$$

전개 점을 스칼라 a로 지정하면 taylor는 이 스칼라를 변수로 구성된 벡터와 길이가 같은 벡터로 변환합니다. 전개 벡터의 모든 요소는 a와 같습니다.

T = taylor(f,[x y],1,Order=3)

T = 
$$x+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{2}$$

테일러 근사에서의 오차 추정값

테일러 급수 전개를 사용하여 함수 $f\left(x\right)=\log (x+1)$을 근사할 경우의 오차 추정값을 구합니다. 여기서는 전개 점 $\mathit{n}=8$에서 7차까지의 테일러 근사(절단 차수 $\mathit{a}=0$ 포함)를 가정해 보겠습니다.

테일러 근사의 오차 또는 나머지는 라그랑주 형식으로 주어집니다.

$${\mathit{R}}_{\mathit{n}-1}\left(\mathit{x}\right)=\frac{{\mathit{f}}^{\mathit{n}}\left(\mathit{c}\right)}{\mathit{n}!}{\left(\mathit{x}-\mathit{a}\right)}^{\mathit{n}}.$$

오차 추정값의 상한은 $\mathit{a}$와 $\mathit{x}$ 사이의 모든 $\mathit{c}$에 대해 $\left|{\mathit{f}}^{\mathit{n}}\left(\mathit{c}\right)\right|\le \mathit{M}$이 되는 양의 실수 $\mathit{M}$을 구해 계산할 수 있습니다.

Order를 8로 지정하여 함수 $f\left(x\right)=\log (x+1)$의 테일러 급수 전개를 7차까지 구합니다.

syms x
f = log(x+1)

f = $$\log \left(x+1\right)$$

T = taylor(f,Order=8)

T = 
$$\frac{x^7}{7}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x$$

테일러 근사의 오차를 추정하려면 먼저 항 ${\mathit{f}}^8\left(\mathit{c}\right)$를 계산합니다.

syms c
fn(c) = subs(diff(f,8),x,c)

fn(c) = 
$$-\frac{5040}{{\left(c+1\right)}^8}$$

$\mathit{x}$의 양수 값의 경우 오차 추정값의 상한은 관계 $\left|{\mathit{f}}^8\left(\mathit{c}\right)\right|\le 5040$을 사용하여 계산할 수 있습니다($\mathit{c}$는 $0$과 양수 $\mathit{x}$ 사이의 양수 값이어야 하기 때문). 다음으로 라그랑주 형식 ${\mathit{R}}_7\left(\mathit{x}\right)$와 관계 $\left|{\mathit{f}}^8\left(\mathit{c}\right)\right|\le 5040$을 사용하여 오차 추정값 Rupper(x)의 상한을 구합니다.

Rupper(x) = 5040*x^8/factorial(8)

Rupper(x) = 
$$\frac{x^8}{8}$$

점 $\mathit{x}=0.5$에서 테일러 급수 전개를 계산합니다. 테일러 근사에서 오차 추정값의 상한을 구합니다.

Teval = subs(T,x,0.5)

Teval = 
$$\frac{909}{2240}$$

Rmax = double(Rupper(0.5))

Rmax = 
4.8828e-04

비교를 위해 $\mathit{x}=0.5$에서 엄밀한 함수를 계산하고 테일러 근사에서 나머지를 구합니다.

feval = subs(f,x,0.5)

feval = 
$$\log \left(\frac{3}{2}\right)$$

R = double(abs(feval-Teval))

R = 
3.3846e-04

입력 인수

f — 근사할 입력값

기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬 | 기호 다차원 배열

근사할 입력값으로, 기호 표현식 또는 기호 함수로 지정됩니다. 또한, 기호 표현식 또는 기호 함수로 구성된 벡터, 행렬 또는 다차원 배열일 수 있습니다.

var — 전개 변수

기호 변수

전개 변수로, 기호 변수로 지정됩니다. var을 지정하지 않으면 taylor는 symvar(f,1)에서 결정된 디폴트 변수를 사용합니다.

a — 전개 점

0 (디폴트 값) | 숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 함수 | 기호 표현식

전개 점으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 함수 또는 기호 표현식으로 지정됩니다. 전개 점은 전개 변수에 종속될 수 없습니다. 전개 점을 이름-값 인수로 지정할 수도 있습니다. 전개 점을 두 가지 방법으로 지정하면 이름-값 인수가 우선합니다.

이름-값 인수

선택적 인수 쌍을 Name1=Value1,...,NameN=ValueN으로 지정합니다. 여기서 Name은 인수 이름이고 Value는 대응값입니다. 이름-값 인수는 다른 인수 뒤에 와야 하지만, 인수 쌍의 순서는 상관없습니다.

예: taylor(log(x),x,ExpansionPoint=1,Order=9)

R2021a 이전 릴리스에서는 쉼표를 사용하여 각 이름과 값을 구분하고 Name을 따옴표로 묶으십시오.

ExpansionPoint — 전개 점

0 (디폴트 값) | 숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 함수 | 기호 표현식

전개 점으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 함수 또는 기호 표현식으로 지정됩니다. 전개 점은 전개 변수에 종속될 수 없습니다. 입력 인수 a를 사용하여 전개 점을 지정할 수도 있습니다. 전개 점을 두 가지 방법으로 지정하면 이름-값 인수가 우선합니다.

Order — 테일러 급수 전개의 절단 차수

6 (디폴트 값) | 양의 정수 | 양의 기호 정수

테일러 급수 전개의 절단 차수로, 양의 정수 또는 양의 기호 정수로 지정됩니다. taylor는 차수 n - 1을 사용하여 테일러 급수 근사를 계산합니다. 절단 차수 n은 O항 즉, O(varⁿ)의 지수입니다.

OrderMode — 차수 모드 표시자

"absolute" (디폴트 값) | "relative"

차수 모드 표시자로, "absolute" 또는 "relative"로 지정됩니다. 이 표시자는 테일러 다항식 근사를 구할 때 절대 차수와 상대 차수 중 어느 것을 사용할지 지정합니다.

절대 차수는 어떤 차수에서 잘라 급수를 구할지 나타냅니다. 상대 차수 n은 계산된 급수에서 var의 지수 범위가 선행 차수 m부터 가장 큰 지수 m + n - 1까지라는 것을 의미합니다. 여기서 m + n은 O항 즉, O(var^{m + n})에 있는 var의 지수입니다.

세부 정보

테일러 급수 전개

테일러 급수 전개는 다음과 같이 전개 점 x = a를 중심으로 하는 항들의 무한 합으로 해석 함수 f(x)를 나타냅니다.

$$f(x)=f\left(a\right)+\frac{f^{\prime }\left(a\right)}{1!}\left(x-a\right)+\frac{f^{″}\left(a\right)}{2!}{\left(x-a\right)}^2+\dots ={\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\frac{f^{(m)}(a)}{m!}\cdot {\left(x-a\right)}^m}$$

테일러 급수 전개에서는 함수가 전개 점 주위에서 도함수를 무한 차수까지 가져야 합니다.

매클로린 급수 전개

다음과 같이 x = 0을 중심으로 하는 테일러 급수 전개를 매클로린 급수 전개라고 합니다.

$$f(x)=f\left(0\right)+\frac{f^{\prime }\left(0\right)}{1!}x+\frac{f^{″}\left(0\right)}{2!}{x}^2+\dots ={\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\frac{f^{(m)}(0)}{m!}{x}^m}$$

팁

• 세 번째 인수 a와 ExpansionPoint를 둘 다 사용하여 전개 점을 지정하면 ExpansionPoint로 지정된 값이 우선합니다.

• var이 벡터이면 전개 점 a는 스칼라이거나 var과 같은 길이의 벡터여야 합니다. var이 벡터이고 a가 스칼라이면 a는 모든 요소가 a와 같고 길이가 var과 같은 벡터로 확장됩니다.

• 전개 점이 무한대 또는 음의 무한대이면 taylor는 1/var의 멱급수인 로랑 급수 전개를 구합니다.

• sympref 함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다.

• taylor가 테일러 급수 전개를 구할 수 없으면 series를 사용하여 더 일반적인 퓌죠 급수 전개를 구합니다.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

pade | series | symvar | coeffs | polynomialDegree | sympref

도움말 항목

• 테일러 급수