integrateByParts

부분 적분

구문

G = integrateByParts(F,du)

설명

G = integrateByParts(F,du)는 F의 적분에 부분 적분을 적용하는데, 여기서는 미분 du가 적분됩니다. 자세한 내용은 부분 적분 항목을 참조하십시오.

F에서 적분을 지정하는 경우 'Hold' 옵션을 true로 설정한 상태로 int 함수를 사용하여 미평가 적분 형식을 반환할 수 있습니다. 그런 다음 integrateByParts를 사용하여 부분 적분의 단계를 표시할 수 있습니다.

예제

함수의 곱

함수의 곱의 적분인 기호 표현식 F를 만듭니다.

syms u(x) v(x)
F = int(u*diff(v))

F(x) = 
$$\int u\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }v\left(x\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

F에 부분 적분을 적용합니다.

g = integrateByParts(F,diff(u))

g = 
$$u\left(x\right)\hspace{0.17em}v\left(x\right)-\int v\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

지수 함수

적분 $\int {\mathit{x}}^2{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathit{dx}$에 부분 적분을 적용합니다.

int 함수를 사용하여 적분을 정의합니다. 'Hold' 옵션을 true로 설정하여 적분을 계산하지 않고 결과를 표시합니다.

syms x
F = int(x^2*exp(x),'Hold',true)

F = 
$$\int x^2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

적분의 단계를 표시하려면 부분 적분을 F에 적용하고 exp(x)를 적분할 미분으로 사용하십시오.

G = integrateByParts(F,exp(x))

G = 
$$x^2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-\int 2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

H = integrateByParts(G,exp(x))

H = 
$$x^2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x+\int 2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

release 함수를 사용해 'Hold' 옵션을 무시하여 H에서 적분을 계산합니다.

F1 = release(H)

F1 = $$2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x+x^2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x$$

'Hold' 옵션을 true로 설정하지 않은 상태로 결과를 int 함수에서 반환된 적분 결과와 비교합니다.

F2 = int(x^2*exp(x))

F2 = $${\mathrm{e}}^x\hspace{0.17em}\left(x^2-2\hspace{0.17em}x+2\right)$$

지수 함수와 삼각 함수

적분 $\int {\mathit{e}}^{\mathit{ax}}\sin \left(\mathit{bx}\right)\mathit{dx}$에 부분 적분을 적용합니다.

int 함수를 사용하여 적분을 정의합니다. 'Hold' 옵션을 true로 설정하여 적분을 계산하지 않고 표시합니다.

syms x a b
F = int(exp(a*x)*sin(b*x),'Hold',true)

F = 
$$\int {\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

적분의 단계를 표시하려면 부분 적분을 F에 적용하고 ${\mathit{u}}^{\prime }\left(\mathit{x}\right)={\mathit{e}}^{\mathit{ax}}$를 적분할 미분으로 사용하십시오.

G = integrateByParts(F,exp(a*x))

G = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)}{a}-\int \frac{b\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\cos \left(b\hspace{0.17em}x\right)}{a}\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

release 함수를 사용해 'Hold' 옵션을 무시하여 G에서 적분을 계산합니다.

F1 = release(G)

F1 = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)}{a}-\frac{b\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\left(a\hspace{0.17em}\cos \left(b\hspace{0.17em}x\right)+b\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)\right)}{a\hspace{0.17em}\left(a^2+b^2\right)}$$

결과를 단순화합니다.

F2 = simplify(F1)

F2 = 
$$-\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\left(b\hspace{0.17em}\cos \left(b\hspace{0.17em}x\right)-a\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)\right)}{a^2+b^2}$$

입력 인수

F — 적분을 포함하는 표현식

기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬

적분을 포함하는 표현식으로, 기호 표현식, 기호 함수, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다.

예: int(u*diff(v))

du — 적분할 미분

기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수

적분할 미분으로, 기호 변수, 기호 표현식 또는 기호 함수로 지정됩니다.

예: diff(u)

세부 정보

부분 적분

수학적으로, 부분 적분의 규칙은 부정적분의 경우 형식적으로 다음과 같이 정의되고

$${\displaystyle \int u\text{'}(x)v(x)dx=u(x)v(x)-{\displaystyle \int u(x)v\text{'}(x)dx}}$$

정적분의 경우 형식적으로 다음과 같이 정의됩니다.

$${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}u\text{'}(x)v(x)dx}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v\text{'}(x)dx}.$$

버전 내역

R2019b에 개발됨

참고 항목

changeIntegrationVariable | release | int | diff | vpaintegral