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pdist

관측값 쌍 간의 쌍별(Pairwise) 거리

구문

D = pdist(X)

D = pdist(X,Distance)

D = pdist(X,Distance,DistParameter)

설명

D = pdist(X)는 X에 포함된 관측값 쌍 간의 유클리드 거리를 반환합니다.

D = pdist(X,Distance)는 Distance로 지정된 방법을 사용하여 거리를 반환합니다.

D = pdist(X,Distance,DistParameter)는 Distance 및 DistParameter로 지정된 방법을 사용하여 거리를 반환합니다. Distance가 'seuclidean', 'minkowski' 또는 'mahalanobis'인 경우에만 DistParameter를 지정할 수 있습니다.

예제

유클리드 거리를 계산하고 거리 벡터를 행렬로 변환하기

관측값 쌍 간의 유클리드 거리를 계산하고 squareform을 사용하여 거리 벡터를 행렬로 변환합니다.

세 개의 관측값과 두 개의 변수를 갖는 행렬을 생성합니다.

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);

유클리드 거리를 계산합니다.

D = pdist(X)

D = 1×3

    0.2954    1.0670    0.9448

쌍별(Pairwise) 거리가 인덱스 (2,1), (3,1), (3,2)에 배열됩니다. squareform을 사용하여 관측값 i와 관측값 j 간의 거리를 쉽게 확인할 수 있습니다.

Z = squareform(D)

Z = 3×3

         0    0.2954    1.0670
    0.2954         0    0.9448
    1.0670    0.9448         0

squareform은 대칭 행렬을 반환합니다. 이 대칭 행렬에서 Z(i,j)는 관측값 i와 j 간의 쌍별 거리를 나타냅니다. 예를 들어, 관측값 2와 관측값 3 간의 거리를 구할 수 있습니다.

Z(2,3)

ans = 0.9448

Z를 squareform 함수에 전달하여 pdist 함수의 출력값을 재현합니다.

y = squareform(Z)

y = 1×3

    0.2954    1.0670    0.9448

squareform의 출력값 y와 pdist의 출력값 D는 같습니다.

민코프스키 거리 계산하기

세 개의 관측값과 두 개의 변수를 갖는 행렬을 생성합니다.

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);

디폴트 지수 2를 사용하여 민코프스키 거리를 계산합니다.

D1 = pdist(X,'minkowski')

D1 = 1×3

    0.2954    1.0670    0.9448

지수로 1을 사용하여 민코프스키 거리를 계산합니다. 이는 도시 블록 거리와 같습니다.

D2 = pdist(X,'minkowski',1)

D2 = 1×3

    0.3721    1.5036    1.3136

D3 = pdist(X,'cityblock')

D3 = 1×3

    0.3721    1.5036    1.3136

사용자 지정 거리 함수를 사용하여 결측 요소를 가진 쌍별(Pairwise) 거리 계산하기

NaN 값을 갖는 좌표를 무시하는 사용자 지정 거리 함수를 정의하고 이 사용자 지정 거리 함수를 사용하여 쌍별 거리를 계산합니다.

세 개의 관측값과 두 개의 변수를 갖는 행렬을 생성합니다.

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);

첫 번째 관측값의 첫 번째 요소가 결측되었다고 가정합니다.

X(1,1) = NaN;

유클리드 거리를 계산합니다.

D1 = pdist(X)

D1 =

       NaN       NaN    0.9448

관측값 i 또는 관측값 j가 NaN 값을 포함하는 경우 함수 pdist는 i와 j 간의 쌍별 거리로 NaN을 반환합니다. 따라서, D1(1) 및 D1(2), 즉 쌍별 거리 (2,1) 및 (3,1)은 NaN 값입니다.

NaN 값을 갖는 좌표를 무시하는 사용자 지정 거리 함수 naneucdist를 정의하고 유클리드 거리를 반환합니다.

function D2 = naneucdist(XI,XJ)  
%NANEUCDIST Euclidean distance ignoring coordinates with NaNs
n = size(XI,2);
sqdx = (XI-XJ).^2;
nstar = sum(~isnan(sqdx),2); % Number of pairs that do not contain NaNs
nstar(nstar == 0) = NaN; % To return NaN if all pairs include NaNs
D2squared = nansum(sqdx,2).*n./nstar; % Correction for missing coordinates
D2 = sqrt(D2squared);

naneucdist를 사용하고 pdist의 입력 인수로 함수 핸들을 전달하여 거리를 계산합니다.

D2 = pdist(X,@naneucdist)

D2 =

    0.3974    1.1538    0.9448

입력 인수

X — 입력 데이터

숫자형 행렬

입력 데이터로, 크기가 mxn인 숫자형 행렬로 지정됩니다. 행은 개별 관측값에 대응되고, 열은 개별 변수에 대응됩니다.

데이터형: single | double

Distance — 거리 측정법

문자형 벡터 | string형 스칼라 | 함수 핸들

거리 측정법으로, 다음 표에 설명된 대로 문자형 벡터, string형 스칼라 또는 함수 핸들로 지정됩니다.

값	설명
'euclidean'	유클리드 거리입니다(디폴트 값).
'squaredeuclidean'	제곱 유클리드 거리입니다. (이 옵션은 효율성을 위해서만 제공됩니다. 삼각 부등식을 충족하지 않습니다.)
'seuclidean'	표준화된 유클리드 거리입니다. 관측값 간의 각 좌표 차이는 표준편차 S = nanstd(X)의 대응 요소로 나누어져 스케일링됩니다. S에 대해 다른 값을 지정하려면 DistParameter를 사용하십시오.
'mahalanobis'	X의 표본 공분산 C = nancov(X)를 사용하는 마할라노비스 거리입니다. C에 대해 다른 값을 지정하려면 DistParameter를 사용하십시오. 여기서 행렬 C는 양의 정부호 대칭 행렬입니다.
'cityblock'	도시 블록 거리입니다.
'minkowski'	민코프스키 거리입니다. 디폴트 지수는 2입니다. 다른 지수 P를 지정하려면 DistParameter를 사용하십시오. 여기서 P는 지수의 양의 스칼라 값입니다.
'chebychev'	체비쇼프 거리(최대 좌표 차이)입니다.
'cosine'	1에서 점 간의 끼인각에 대한 코사인을 뺀 값입니다(벡터로 처리됨).
'correlation'	1에서 점 간의 표본 상관을 뺀 값입니다(일련의 값으로 처리됨).
'hamming'	해밍 거리로, 서로 다른 좌표의 비율입니다.
'jaccard'	1에서 서로 다른, 0이 아닌 좌표의 백분율인 자카드 계수를 뺀 값입니다.
'spearman'	1에서 관측값 간 표본 스피어만의 순위 상관 계수를 뺀 값입니다(일련의 값으로 처리됨).
@distfun	사용자 지정 거리 함수 핸들입니다. 거리 함수의 형식은 다음과 같습니다. function D2 = distfun(ZI,ZJ) % calculation of distance ... 여기서 ZI는 단일 관측값을 포함하는 1xn 벡터입니다. ZJ는 여러 관측값을 포함하는 m2xn 행렬입니다. distfun은 임의 개수의 관측값을 갖는 행렬 ZJ를 받아야 합니다. D2는 거리에 대한 m2x1 벡터이고, D2(k)는 관측값 ZI와 ZJ(k,:) 간의 거리입니다. 데이터가 희소가 아닌 경우 일반적으로 함수 핸들 대신 내장 거리 함수를 사용하면 더욱 신속하게 거리를 계산할 수 있습니다.

정의는 거리 측정법 항목을 참조하십시오.

'seuclidean', 'minkowski' 또는 'mahalanobis'를 사용하는 경우, 입력 인수 DistParameter를 추가로 지정하여 이러한 측정법을 제어할 수 있습니다. DistParameter의 디폴트 값을 사용한다면 다른 측정법과 같은 방식으로 이러한 측정법을 사용할 수도 있습니다.

예: 'minkowski'

DistParameter — 거리 측정법 파라미터 값

양의 스칼라 | 숫자형 벡터 | 숫자형 행렬

거리 측정법 파라미터 값으로, 양의 스칼라, 숫자형 벡터 또는 숫자형 행렬로 지정됩니다. 이 인수는 Distance를 'seuclidean', 'minkowski' 또는 'mahalanobis'로 지정하는 경우에만 유효합니다.

• Distance가 'seuclidean'이면 DistParameter는 각 차원에 대한 스케일링 인자로 구성된 벡터이며 양의 벡터로 지정됩니다. 디폴트 값은 nanstd(X)입니다.

• Distance가 'minkowski'이면 DistParameter는 민코프스키 거리의 지수이며 양의 스칼라로 지정됩니다. 디폴트 값은 2입니다.

• Distance가 'mahalanobis'이면 DistParameter는 공분산 행렬이며 숫자형 행렬로 지정됩니다. 디폴트 값은 nancov(X)입니다. DistParameter는 양의 정부호 대칭 행렬이어야 합니다.

예: 'minkowski',3

데이터형: single | double

출력 인수

D — 쌍별(Pairwise) 거리

숫자형 행 벡터

쌍별(Pairwise) 거리로, 관측값 쌍에 대응되는 길이가 m(m–1)/2인 숫자형 행 벡터로 반환됩니다. 여기서 m은 X에 포함된 관측값의 개수입니다.

거리는 (2,1), (3,1), ..., (m,1), (3,2), ..., (m,2), ..., (m,m–1), 즉 mxm 거리 행렬의 왼쪽 아래 삼각 부분이 열 순서대로 배열됩니다. 관측값 i와 관측값 j 간의 쌍별 거리는 i≤j에 대해 D((i-1)*(m-i/2)+j-i)로 정의됩니다.

squareform 함수를 사용하여 D를 대칭 행렬로 변환할 수 있습니다. Z = squareform(D)는 mxm 행렬을 반환합니다. 여기서 Z(i,j)는 관측값 i와 관측값 j 간의 쌍별 거리를 나타냅니다.

내장 거리 함수의 경우, 관측값 i나 관측값 j가 NaN을 포함하면 D의 대응값은 NaN이 됩니다.

D는 군집화 또는 다차원 스케일링에서 비유사성 행렬로 주로 사용됩니다. 자세한 내용은 계층적 군집화 항목과 cmdscale, cophenet, linkage, mdscale, optimalleaforder의 함수 도움말 페이지를 참조하십시오. 이들 함수는 D를 입력 인수로 받습니다.

세부 정보

거리 측정법

거리 측정법은 두 관측값 간의 거리를 정의하는 함수입니다. pdist는 다음과 같은 다양한 거리 측정법을 지원합니다. 유클리드 거리, 표준화된 유클리드 거리, 마할라노비스 거리, 도시 블록 거리, 민코프스키 거리, 체비쇼프 거리, 코사인 거리, 상관관계 거리, 해밍 거리, 자카드 거리, 스피어만 거리.

mxn 데이터 행렬 X가 주어진 경우, 이는 m(1xn)개 행 벡터 x₁, x₂, ..., x_m으로 처리되며, 벡터 x_s와 벡터 x_t 간의 다양한 거리는 다음과 같이 정의됩니다.

• 유클리드 거리(Euclidean Distance)

  $$d_{st}^2=(x_s-x_t)(x_s-x_t{)}^{\prime }.$$

  유클리드 거리는 p = 2인 민코프스키 거리의 특수한 사례입니다.

• 표준화된 유클리드 거리

  $$d_{st}^2=(x_s-x_t)V^{-1}(x_s-x_t{)}^{\prime },$$

  여기서 V는 j번째 대각선 요소가 (S(j))²인 nxn 대각 행렬입니다(여기서 S는 각 차원의 스케일링 인자로 구성된 벡터임).

• 마할라노비스 거리

  $$d_{st}^2=(x_s-x_t)C^{-1}(x_s-x_t{)}^{\prime },$$

  여기서 C는 공분산 행렬입니다.

• 도시 블록 거리

  $$d_{st}={\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|x_{sj}-x_{tj}\right|}.$$

  도시 블록 거리는 p = 1인 민코프스키 거리의 특수한 사례입니다.

• 민코프스키 거리

  $$d_{st}=\sqrt[p]{{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|x_{sj}-x_{tj}\right|}^p}}.$$

  p = 1인 특수한 사례에서 민코프스키 거리는 도시 블록 거리와 동일합니다. p = 2인 특수한 사례에서 민코프스키 거리는 유클리드 거리와 동일합니다. p = ∞인 특수한 사례에서 민코프스키 거리는 체비쇼프 거리와 동일합니다.

• 체비쇼프 거리

  $$d_{st}={\max }_j\left\{\left|x_{sj}-x_{tj}\right|\right\}.$$

  체비쇼프 거리는 p = ∞인 민코프스키 거리의 특수한 사례입니다.

• 코사인 거리

  $$d_{st}=1-\frac{x_s{x^{\prime }}_t}{\sqrt{\left(x_s{x^{\prime }}_s\right)\left(x_t{x^{\prime }}_t\right)}}.$$

• 상관관계 거리

  $$d_{st}=1-\frac{\left(x_s-{\overline{x}}_s\right){\left(x_t-{\overline{x}}_t\right)}^{\prime }}{\sqrt{\left(x_s-{\overline{x}}_s\right){\left(x_s-{\overline{x}}_s\right)}^{\prime }}\sqrt{\left(x_t-{\overline{x}}_t\right){\left(x_t-{\overline{x}}_t\right)}^{\prime }}},$$

  여기서는 다음을 조건으로 합니다.

  $${\overline{x}}_s=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _j{x}_{sj}}$$이고 $${\overline{x}}_t=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _j{x}_{tj}}$$입니다.

• 해밍 거리(Hamming Distance)

  $$d_{st}=(\#(x_{sj}\ne x_{tj})/n).$$

• 자카드 거리(Jaccard Distance)

  $$d_{st}=\frac{\#\left[\left(x_{sj}\ne x_{tj}\right)\cap \left(\left(x_{sj}\ne 0\right)\cup \left(x_{tj}\ne 0\right)\right)\right]}{\#\left[\left(x_{sj}\ne 0\right)\cup \left(x_{tj}\ne 0\right)\right]}.$$

• 스피어만 거리(Spearman Distance)

  $$d_{st}=1-\frac{\left(r_s-{\overline{r}}_s\right){\left(r_t-{\overline{r}}_t\right)}^{\prime }}{\sqrt{\left(r_s-{\overline{r}}_s\right){\left(r_s-{\overline{r}}_s\right)}^{\prime }}\sqrt{\left(r_t-{\overline{r}}_t\right){\left(r_t-{\overline{r}}_t\right)}^{\prime }}},$$

  여기서는 다음을 조건으로 합니다.

  • r_sj는 x_1j, x_2j, ...x_mj에 대해 얻은 x_sj의 순위로, tiedrank에 의해 계산됩니다.

  • r_s 및 r_t는 x_s와 x_t로 구성된 좌표별 순위 벡터입니다. 즉, r_s = (r_s1, r_s2, ... r_sn)입니다.

  • $${\overline{r}}_s=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _j{r}_{sj}}=\frac{\left(n+1\right)}{2}$$.

  • $${\overline{r}}_t=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _j{r}_{tj}}=\frac{\left(n+1\right)}{2}$$.

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 거리 입력 인수 값(Distance)은 컴파일타임 상수여야 합니다. 예를 들어, 민코프스키 거리를 사용하려면 codegen의 -args 값에 coder.Constant('Minkowski')를 포함시키십시오.

• 거리 입력 인수 값(Distance)은 사용자 지정 거리 함수일 수 없습니다.

• 코드 생성 시 pdist는 parfor(디폴트 값)를 사용하여 지원되는 공유 메모리 다중코어 플랫폼에서 병렬로 실행되는 루프를 생성합니다. 컴파일러에서 OpenMP(Open Multiprocessing) 응용 프로그램 인터페이스를 지원하지 않거나 OpenMP 라이브러리를 비활성화한 경우, MATLAB^® Coder™가 parfor 루프를 for 루프로 처리합니다. 지원되는 컴파일러를 확인하려면 지원되는 컴파일러를 참조하십시오. OpenMP 라이브러리를 비활성화하려면 codegen 구성 객체의 EnableOpenMP 속성을 false로 지정하십시오. 자세한 내용은 coder.CodeConfig를 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• Distance 인수는 문자형 벡터로 지정해야 합니다.

자세한 내용은 Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

참고 항목

cluster | clusterdata | cmdscale | cophenet | dendrogram | inconsistent | linkage | pdist2 | silhouette | squareform

도움말 항목

• Introduction to Cluster Analysis
• 계층적 군집화

R2006a 이전에 개발됨