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norm

벡터 노름(Vector Norm)과 행렬 노름(Matrix Norm)

구문

n = norm(v)

n = norm(v,p)

n = norm(X)

n = norm(X,p)

n = norm(X,"fro")

설명

n = norm(v)는 벡터 v의 유클리드 노름을 반환합니다. 이 노름은 2-노름, 벡터 크기 또는 유클리드 길이라고도 합니다.

n = norm(v,p)는 일반화된 벡터 p-노름을 반환합니다.

n = norm(X)는 대략 max(svd(X))인 행렬 X의 2-노름 또는 최대 특이값을 반환합니다.

n = norm(X,p)는 행렬 X의 p-노름을 반환합니다. 여기서 p는 1, 2, Inf 중 하나입니다.

• p = 1인 경우 n은 행렬의 열 절댓값의 최대 합입니다.

• p = 2인 경우 n은 대략 max(svd(X))입니다. 이 값은 norm(X)와 동일합니다.

• p = Inf인 경우 n은 행렬의 최대 절대 행 합입니다.

n = norm(X,"fro")는 행렬 또는 배열 X의 프로베니우스 노름을 반환합니다.

예제

벡터 크기

벡터를 만들고 크기를 계산합니다.

v = [1 -2 3];
n = norm(v)

n = 
3.7417

벡터의 1-노름

벡터의 1-노름을 계산합니다. 이는 요소 크기의 합입니다.

v = [-2 3 -1];
n = norm(v,1)

n = 
6

두 점 사이의 유클리드 거리

두 점 사이의 거리를 벡터 요소 간 차이의 노름으로 계산합니다.

유클리드 평면에 있는 두 점의 (x,y) 좌표를 나타내는 두 벡터를 만듭니다.

a = [0 3];
b = [-2 1];

norm을 사용하여 점 사이의 거리를 계산합니다.

d = norm(b-a)

d = 
2.8284

기하학적으로, 점 사이의 거리는 한 점에서 다른 점까지 연장되는 벡터의 크기와 같습니다.

$$\begin{array}{l}a=0\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+3\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ b=-2\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+1\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ \\ \begin{array}{rl}{d}_{(a,b)}& =||b-a||\\ & =\sqrt{(-2-0{)}^2+(1-3{)}^2}\\ & =\sqrt{8}\end{array}\end{array}$$

행렬의 2-노름

행렬의 2-노름을 계산합니다. 이는 최대 특이값입니다.

X = [2 0 1;-1 1 0;-3 3 0];
n = norm(X)

n = 
4.7234

N차원 배열의 프로베니우스 노름

4차원 배열 X의 프로베니우스 노름을 계산합니다. 이는 열 벡터 X(:)의 2-노름과 동일합니다.

X = rand(3,4,4,3);
n = norm(X,"fro")

n = 
7.1247

norm(X,2)는 희소 형식의 X를 지원하지 않으므로 프로베니우스 노름은 희소 행렬의 경우에도 유용합니다.

입력 인수

v — 입력 벡터

벡터

입력 벡터입니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

X — 입력 배열

행렬 | 배열

입력 배열로, 행렬 또는 배열로 지정됩니다. 대부분의 노름 유형에서 X는 행렬이어야 합니다. 그러나 프로베니우스 노름 계산의 경우 X는 배열일 수 있습니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

p — 노름 유형

2 (디폴트 값) | 양의 실수형 스칼라 | Inf | -Inf

노름 유형으로, 2(디폴트 값), 양의 실수형 스칼라, Inf 또는 -Inf로 지정됩니다. p의 유효한 값과 이러한 값이 반환하는 결과는 아래 표에 표시된 대로 norm에 대한 첫 번째 입력값이 행렬인지 또는 벡터인지에 따라 달라집니다.

참고

이 표는 계산에 사용되는 실제 알고리즘을 반영한 것이 아닙니다.

p	행렬	벡터
1	max(sum(abs(X)))	sum(abs(v))
2	max(svd(X))	sum(abs(v).^2)^(1/2)
양의 실수 값 숫자형 스칼라	—	sum(abs(v).^p)^(1/p)
Inf	max(sum(abs(X')))	max(abs(v))
-Inf	—	min(abs(v))

출력 인수

n — 노름 값

스칼라

노름 값으로, 스칼라로 반환됩니다. 노름은 요소들의 크기에 대한 척도를 제공합니다. 일반적으로 다음과 같습니다.

• norm은 입력값에 NaN 값이 포함되어 있으면 NaN을 반환합니다.

• 빈 행렬의 노름은 0입니다.

세부 정보

유클리드 노름(Euclidean Norm)

요소를 N개 가진 벡터 v의 유클리드 노름(벡터 크기, 유클리드 길이 또는 2-노름이라고도 함)은 다음에 의해 정의됩니다.

$$\Vert v\Vert =\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^2}}.$$

일반 벡터 노름

N개 요소를 가진 벡터 v의 p-노름에 대한 일반 정의는 다음과 같습니다.

$${\Vert v\Vert }_p={\left[{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^p}\right]}^{1/p},$$

여기서 p는 임의의 양의 실수, Inf 또는 -Inf입니다.

• p = 1이면 결과로 생성되는 1-노름은 벡터 요소의 절댓값의 합입니다.

• p = 2이면 결과로 생성되는 2-노름은 벡터 크기 또는 벡터의 유클리드 길이를 제공합니다.

• p = Inf이면 $${\Vert v\Vert }_{\infty }={\max }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$입니다.

• p = -Inf이면 $${\Vert v\Vert }_{-\infty }={\min }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$입니다.

열별 요소의 절댓값 합 중 가장 큰 값

m,n >= 2인 m×n 행렬 X의 열별 요소의 절댓값 합 중 가장 큰 값은 다음에 의해 정의됩니다.

$${\Vert X\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\left|a_{ij}\right|}\right).$$

행별 요소의 절댓값 합 중 가장 큰 값

m,n >= 2인 m×n 행렬 X의 행별 요소의 절댓값 합 중 가장 큰 값은 다음에 의해 정의됩니다.

$${\Vert X\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le m}{\max }\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|}\right).$$

프로베니우스 노름(Frobenius Norm)

m,n >= 2인 m×n 행렬 X의 프로베니우스 노름은 다음에 의해 정의됩니다.

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|a_{ij}\right|}^2}}}=\sqrt{\text{trace}\left(X^{†}X\right)}.$$

또한 이 정의는 자연적으로 2차원 이상의 배열로 확장됩니다. 예를 들어, X가 크기가 m×n×p×...×q인 N차원 배열인 경우 프로베니우스 노름은 다음과 같습니다.

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\displaystyle \sum _{k=1}^p\mathrm{...}{\displaystyle \sum _{w=1}^q{\left|a_{ijk\mathrm{...}w}\right|}^2}}}}}.$$

팁

• 행렬이나 배열을 벡터의 모음으로 취급하여 지정된 차원을 따라 노름을 계산하려면 vecnorm을 사용하십시오. 예를 들어, vecnorm은 행렬에 있는 각 열의 노름을 계산할 수 있습니다.

확장 기능

tall형 배열

메모리에 담을 수 없을 정도로 많은 행을 가진 배열을 계산할 수 있습니다.

norm 함수는 tall형 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 tall형 배열 항목을 참조하십시오.

C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

norm 함수는 GPU 배열을 완전히 지원합니다. GPU에서 이 함수를 실행하려면 입력 데이터를 gpuArray (Parallel Computing Toolbox)로 지정하십시오. 자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

이 함수는 분산 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2025a: 코드 생성 지원

이 함수에 대한 C/C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

R2022a: 프로베니우스 노름은 N차원 배열을 지원함

norm(X,"fro") 형식의 노름 계산은 N차원 배열 입력값을 지원합니다.

참고 항목

vecnorm | pagenorm | normest | normalize | cond | hypot

외부 웹사이트

• Applied Linear Algebra (MathWorks Teaching Resources)