place
극점 배치 설계
설명
극점 배치는 폐루프 극점을 지정된 위치에 할당하여 시스템 안정성을 보장하는 데 사용되는 최적 이득 행렬을 계산하는 방법입니다. 폐루프 극점 위치는 상승 시간, 정착 시간, 과도 진동과 같은 시간 응답 특성에 직접적인 영향을 미칩니다. 자세한 내용은 극점 배치 항목을 참조하십시오.
그림으로부터 다음과 같은 상태공간 형식의 선형 동적 시스템을 고려해 보겠습니다.
원하는 자기 켤레(self-conjugate) 폐루프 극점 위치로 구성된 벡터 p가 주어졌을 때 place는 상태 피드백 u = –Kx가 위치 p에 극점을 배치하도록 하는 이득 행렬 K를 계산합니다. 즉, A – BK의 고유값은 p의 요소와 일치합니다(순서까지 일치).
예제
이 예제에서는 다음 상태공간 행렬을 사용하는 간단한 2차 시스템을 살펴보겠습니다.
행렬을 입력하고, 상태공간 시스템을 만듭니다.
A = [-1,-2;1,0]; B = [2;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D);
개루프 극점을 계산하고, 개루프 시스템의 계단 응답을 확인합니다.
Pol = pole(sys)
Pol = 2×1 complex
-0.5000 + 1.3229i
-0.5000 - 1.3229i
figure(1)
step(sys)
hold on;
결과로 얻은 시스템은 부족감쇠됩니다. 따라서 복소 평면의 좌반면에서 실수 극점을 선택하여 진동을 제거합니다.
p = [-1,-2];
극점 배치를 사용하여 이득 행렬 K를 찾고, syscl의 폐루프 극점을 확인합니다.
K = place(A,B,p); Acl = A-B*K; syscl = ss(Acl,B,C,D); Pcl = pole(syscl)
Pcl = 2×1
-2.0000
-1.0000
이제 폐루프 시스템의 계단 응답을 비교합니다.
figure(1) step(syscl)
따라서 극점 배치를 사용하여 얻은 폐루프 시스템은 양호한 정상 상태 응답과 함께 안정적입니다.
허수축에서 더 멀리 떨어진 극점을 선택하면 응답 시간은 더 빨라지지만 시스템의 정상 상태 이득은 낮아집니다. 예를 들어 위의 시스템에 극점 [-2,-3]을 사용해 보십시오.
p = [-2, -3]; K2 = place(A,B,p); syscl2 = ss(A-B*K2,B,C,D); figure(1); step(syscl2);
stepinfo(syscl)
ans = struct with fields:
RiseTime: 2.5901
TransientTime: 4.6002
SettlingTime: 4.6002
SettlingMin: 0.9023
SettlingMax: 0.9992
Overshoot: 0
Undershoot: 0
Peak: 0.9992
PeakTime: 7.7827
stepinfo(syscl2)
ans = struct with fields:
RiseTime: 1.4130
TransientTime: 2.4766
SettlingTime: 2.4766
SettlingMin: 0.3003
SettlingMax: 0.3331
Overshoot: 0
Undershoot: 0
Peak: 0.3331
PeakTime: 4.1216
이 예제에서는 극점 위치 [-2e-13,-3e-4,-3e-3]이 있다고 가정하겠습니다. 실제 극점의 정밀도를 계산합니다.
A = [4,2,1;0,-1,2;0,1e-8,1]; B = [1,2;3,1;1e-6,0]; p = [-2e-13,-3e-4,3e-3]; [~,prec] = place(A,B,p)
prec = 2
계산된 정밀도 값은 2이며, 이는 실제 극점 위치가 소수점 이하 2자리까지 정확함을 나타냅니다.
이 예제에서는 에서 켤레 복소수 극점을 갖는 다음과 같은 전달 함수가 있다고 가정하겠습니다.
전달 함수 모델을 입력합니다. 그런 다음, place가 A 행렬과 B 행렬을 입력 인수로 사용하므로 이를 상태공간 형식으로 변환합니다.
s = tf('s');
systf = 8/(s^2+4*s+2);
sys = ss(systf);다음으로, 켤레 복소수 극점을 사용하여 이득 행렬 K를 계산합니다.
p = [-2+2i,-2-2i]; K = place(sys.A,sys.B,p)
K = 1×2
0 1.5000
극점이 자기 켤레이므로 이득 행렬의 값은 실수입니다. p에 자기 켤레 극점이 없는 경우 K의 값은 복소수입니다.
이제 폐루프 시스템의 계단 응답을 확인합니다.
syscl = ss(sys.A-sys.B*K,sys.B,sys.C,sys.D); step(syscl)
이 예제에서는 다음 SISO 상태공간 모델이 있다고 가정하겠습니다.
다음 상태공간 행렬로 정의된 SISO 상태공간 모델을 만듭니다.
A = [-1,-0.75;1,0]; B = [1;0]; C = [1,1]; D = 0; Plant = ss(A,B,C,D);
이제 플랜트에 펄스를 제공하고 lsim을 사용하여 시뮬레이션합니다. 출력을 플로팅합니다.
N = 250;
t = linspace(0,25,N);
u = [ones(N/2,1); zeros(N/2,1)];
x0 = [1;2];
[y,t,x] = lsim(Plant,u,t,x0);
figure
plot(t,y);
title('Output');
이 예제의 경우, 모든 상태 변수를 측정할 수는 없으며 출력만 측정한다고 가정합니다. 따라서 이 측정으로 관측기를 설계합니다. place를 사용하여 A 행렬을 전치하고 행렬 B를 C'으로 바꿔 추정기 이득을 계산합니다. 이 예에서는 원하는 극점 위치를 -2와 -3으로 선택합니다.
L = place(A',C',[-2,-3])';
쌍대성/분리의 원리를 사용하여 상태 행렬을 대체하고 추정된 상태공간 모델을 만들기 위해 추정기 이득을 사용합니다.
At = A-L*C; Bt = [B,L]; Ct = [C;eye(2)]; sysObserver = ss(At,Bt,Ct,0);
동일한 펄스 입력을 사용하여 시스템의 시간 응답을 시뮬레이션합니다.
[observerOutput,t] = lsim(sysObserver,[u,y],t); yHat = observerOutput(:,1); xHat = observerOutput(:,[2 3]);
실제 시스템의 응답과 추정된 시스템의 응답을 비교합니다.
figure; plot(t,x); hold on; plot(t,xHat,'--'); legend('x_1','x_2','xHat_1','xHat_2') title('Comparison - Actual vs. Estimated');
입력 인수
출력 인수
팁
극점 배치 관측기 설계에 보여지는 대로
A행렬을 전치하고 행렬B대신C'으로 바꿔place를 추정기 이득 선택을 위해 사용할 수 있습니다. 결과로 얻은 추정기 이득은estim을 사용하여 상태 추정기 워크플로에 사용할 수 있습니다.
참고 문헌
[1] Kautsky, J., N.K. Nichols, and P. Van Dooren, "Robust Pole Assignment in Linear State Feedback," International Journal of Control, 41 (1985), pp. 1129-1155.
[2] Laub, A.J. and M. Wette, Algorithms and Software for Pole Assignment and Observers, UCRL-15646 Rev. 1, EE Dept., Univ. of Calif., Santa Barbara, CA, Sept. 1984.
버전 내역
R2006a 이전에 개발됨
