극점 배치

폐루프 극점 위치는 상승 시간, 정착 시간, 과도 진동과 같은 시간 응답 특성에 직접적인 영향을 미칩니다. 근궤적은 보상기 이득을 사용하여 폐루프 극점을 이동함으로써 SISO 시스템에 대한 설계 사양을 달성합니다. 그러나 상태공간 기법을 사용하여 폐루프 극점을 할당할 수도 있습니다. 이 설계 기법을 극점 배치라고 하며, 근궤적과는 다음과 같은 차이를 갖습니다.

• 극점 배치 기법을 사용하면 동적 보상기를 설계할 수 있습니다.

• 극점 배치 기법은 MIMO 시스템에 적용할 수 있습니다.

극점 배치를 사용하려면 시스템의 상태공간 모델이 필요합니다(다른 모델 형식을 상태공간으로 변환하려면 ss를 사용하십시오). 연속시간에서는 이러한 모델이 다음 형식을 갖습니다.

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

여기서 u는 제어 입력으로 구성된 벡터이고 x는 상태 벡터이고 y는 측정값으로 구성된 벡터입니다.

상태-피드백 이득 선택

상태 피드백이 $$u=-Kx$$인 경우 폐루프 동특성은 다음과 같이 지정됩니다.

$$\dot{x}=(A-BK)x$$

폐루프 극점은 A-BK의 고유값입니다. place 함수를 사용하여, 이들 극점을 복소 평면의 원하는 위치에 할당하는 이득 행렬 K를 계산할 수 있습니다. 이때 (A,B)가 제어 가능하다는 전제가 있습니다.

예를 들어 상태 행렬 A 및 B와 폐루프 극점의 원하는 위치를 포함하는 벡터 p에 대해

K = place(A,B,p);

는 적절한 이득 행렬 K를 계산합니다.

상태 추정기 설계

전체 상태 x가 측정된 경우가 아니면 상태-피드백 법칙 $$u=-Kx$$를 구현할 수 없습니다. 단, 법칙 $$u=-K\xi$$가 비슷한 극점 할당과 폐루프 속성을 유지하게끔 하는 상태 추정 $$\xi$$를 생성할 수 있습니다. 다음과 같은 형식의 상태 추정기(또는 관측기)를 설계하여 이를 달성할 수 있습니다.

$$\dot{\xi }=A\xi +Bu+L(y-C\xi -Du)$$

추정기 극점은 A-LC의 고유값으로, 이는 (C, A)가 관측 가능하다는 전제하에 추정기 이득 행렬 L을 올바르게 선택함으로써 임의로 할당할 수 있습니다. 일반적으로, 추정기 동특성은 제어기 동특성(A-BK의 고유값)보다 빨라야 합니다.

place 함수를 사용하여 L 행렬을 계산합니다.

L = place(A',C',q).'

여기서 A와 C는 상태 행렬과 출력 행렬이고, q는 관측기에 대해 원하는 폐루프 극점을 포함하는 벡터입니다.

$$u=-Kx$$에서 x를 그 추정값 $$\xi$$로 바꾸면 동적 출력-피드백 보상기가 생성됩니다.

$$\begin{array}{l}\dot{\xi }=[A-LC-(B-LD)K]\xi +Ly\\ u=-K\xi \end{array}$$

결과로 생성되는 폐루프 동특성은 다음과 같습니다.

$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A-LC\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ e\end{array}\right],e=x-\xi$$

따라서 실제로 A-BK와 A-LC의 고유값을 독립적으로 배치함으로써 모든 폐루프 극점을 할당합니다.

예제

다음과 같은 연속시간 상태공간 모델이 있다고 가정하겠습니다.

sys_pp = ss(A,B,C,D) 

출력은 7개이고 입력은 4개입니다. 다음을 설계했다고 가정하겠습니다.

• 플랜트의 입력 1, 2, 4를 제어 입력으로 사용하여 상태-피드백 제어기 이득 K를 설계

• 플랜트의 출력 4, 7, 1을 센서로 사용하여 이득 L을 갖는 상태 추정기를 설계

• 플랜트 3을 알려진 추가 입력으로 사용

이제 다음 코드를 사용하여 제어기와 추정기를 연결하고 동적 보상기를 형성할 수 있습니다.

controls = [1,2,4];
sensors = [4,7,1];
known = [3];
regulator = reg(sys_pp,K,L,sensors,known,controls)

극점 배치 툴

함수를 사용하여 다음을 수행할 수 있습니다.

• 원하는 폐루프 극점 위치를 달성하는 이득 행렬 K와 L 계산.

• 이들 이득을 사용하여 상태 추정기와 동적 보상기 형성.

다음 표에 극점 배치 함수가 요약되어 있습니다.

함수	설명
estim	추정기 이득이 주어졌을 때 상태 추정기 형성
place	극점 배치 설계
reg	상태-피드백 및 추정기 이득이 주어졌을 때 출력-피드백 형성

주의

현실적이지 않은 극점 위치를 선택할 경우 극점 배치의 조건이 나빠질 수 있습니다. 구체적으로, 다음과 같은 경우를 피해야 합니다.

• 동일한 위치에 여러 극점 배치.

• 약하게 제어 가능하거나 관측 가능한 극점 이동. 이를 위해서는 일반적으로 높은 이득이 필요하며, 이로 인해 전체 폐루프 고유 구조가 섭동에 매우 민감해집니다.

참고 항목

estim | place | reg