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legendreP

르장드르 다항식

구문

legendreP(n,x)

설명

legendreP(n,x)는 x에서의 n차 르장드르 다항식을 반환합니다.

예제

숫자형 입력값 및 기호 입력값에 대한 르장드르 다항식 구하기

5.6에서 차수가 3인 르장드르 다항식을 구합니다.

legendreP(3,5.6)

ans =
  430.6400

x에서 차수가 2인 르장드르 다항식을 구합니다.

syms x
legendreP(2,x)

ans =
(3*x^2)/2 - 1/2

차수 n에 대해 숫자형 값을 지정하지 않으면 legendreP는 다항식의 양함수 형식을 구하지 못하고 함수 호출을 반환합니다.

syms n
legendreP(n,x)

ans =
legendreP(n, x)

벡터 입력값 및 행렬 입력값을 갖는 르장드르 다항식 구하기

n = [1 2]를 설정하여 차수가 1과 2인 르장드르 다항식을 구합니다.

syms x
legendreP([1 2],x)

ans =
[ x, (3*x^2)/2 - 1/2]

legendreP는 n에 대해 요소별로 작동하여 요소를 2개 가진 벡터를 반환합니다.

여러 개의 입력값이 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 지정된 경우 입력값은 크기가 동일해야 합니다. 입력 인수 n과 x가 행렬인 르장드르 다항식을 구합니다.

n = [2 3; 1 2];
xM = [x^2 11/7; -3.2 -x];
legendreP(n,xM)

ans =
[ (3*x^4)/2 - 1/2,        2519/343]
[           -16/5, (3*x^2)/2 - 1/2]

legendreP는 n과 x에 대해 요소별로 작동하여 n 및 x와 크기가 같은 행렬을 반환합니다.

르장드르 다항식을 미분하고 극한 구하기

limit를 사용하여 x가 -∞에 다가갈 때 차수가 3인 르장드르 다항식의 극한을 구합니다.

syms x
expr = legendreP(4,x);
limit(expr,x,-Inf)

ans =
Inf

diff를 사용하여 차수가 5인 르장드르 다항식의 3계 도함수를 구합니다.

syms n
expr = legendreP(5,x);
diff(expr,x,3)

ans =
(945*x^2)/2 - 105/2

르장드르 다항식의 테일러 급수 전개 구하기

taylor를 사용하여 x = 0에서 차수가 2인 르장드르 다항식의 테일러 급수 전개를 구합니다.

syms x
expr = legendreP(2,x);
taylor(expr,x)

ans =
(3*x^2)/2 - 1/2

르장드르 다항식 플로팅하기

차수가 1부터 4까지인 르장드르 다항식을 플로팅합니다.

syms x y
fplot(legendreP(1:4, x))
axis([-1.5 1.5 -1 1])
grid on

ylabel('P_n(x)')
title('Legendre polynomials of degrees 1 through 4')
legend('1','2','3','4','Location','best')

르장드르 다항식의 근 구하기

vpasolve를 사용하여 차수가 7인 르장드르 다항식의 근을 구합니다.

syms x
roots = vpasolve(legendreP(7,x) == 0)

roots =
 -0.94910791234275852452618968404785
 -0.74153118559939443986386477328079
 -0.40584515137739716690660641207696
                                   0
  0.40584515137739716690660641207696
  0.74153118559939443986386477328079
  0.94910791234275852452618968404785

입력 인수

n — 다항식의 차수

음수가 아닌 숫자 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열 | 기호 숫자 | 기호 벡터 | 기호 행렬 | 기호 함수 | 기호 다차원 배열

다항식의 차수로, 음이 아닌 숫자, 벡터, 행렬, 다차원 배열 또는 기호 숫자, 기호 벡터, 기호 행렬, 기호 함수 또는 기호 다차원 배열로 지정됩니다. 비 스칼라 입력값의 모든 요소는 음이 아닌 정수 또는 기호여야 합니다.

x — 입력값

숫자 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열 | 기호 숫자 | 기호 벡터 | 기호 행렬 | 기호 함수 | 기호 다차원 배열

입력값으로, 숫자, 벡터, 행렬, 다차원 배열 또는 기호 숫자, 기호 벡터, 기호 행렬, 기호 함수 또는 기호 다차원 배열로 지정됩니다.

세부 정보

르장드르 다항식

• 르장드르 다항식은 다음과 같이 정의됩니다.

  $$P\left(n,x\right)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}{\left(x^2-1\right)}^n.$$

• 르장드르 다항식은 다음 재귀 수식을 충족합니다.

  $$\begin{array}{l}P\left(n,x\right)=\frac{2n-1}{n}xP\left(n-1,x\right)-\frac{n-1}{n}P\left(n-2,x\right),\\ \text{where}\\ P\left(0,x\right)=1\\ P\left(1,x\right)=x.\end{array}$$

• 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 가중치 함수 w(x) = 1에 대해 직교합니다. 여기서는 다음이 성립합니다.

  $${\displaystyle \underset{x=-1}{\overset{x=1}{\int }}P(n,x)P(m,x)dx}=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n\ne m\\ \frac{1}{n+1/2}& \text{if }n=m.\end{array}$$

• 게겐바우어 다항식 G(n,a,x)와의 관계는 다음과 같습니다.

  $$P\left(n,x\right)=G\left(n,\frac{1}{2},x\right).$$

• 야코비 다항식 P(n,a,b,x)와의 관계는 다음과 같습니다.

  $$P\left(n,x\right)=P\left(n,0,0,x\right).$$

버전 내역

R2014b에 개발됨

참고 항목

chebyshevT | chebyshevU | gegenbauerC | hermiteH | hypergeom | jacobiP | laguerreL