gegenbauerC

R2026b

게겐바우어(Gegenbauer) 다항식

구문

gegenbauerC(n,a,x)

설명

gegenbauerC(n,a,x)는 점 x에서 파라미터 a를 갖는 n차 게겐바우어 (초구면) 다항식을 나타냅니다.

예제

처음 4개의 게겐바우어 다항식

파라미터 a와 변수 x에 대해 처음 4개의 게겐바우어(Gegenbauer) 다항식을 구합니다.

syms a x
gegenbauerC([0, 1, 2, 3], a, x)

ans =
[ 1, 2*a*x, (2*a^2 + 2*a)*x^2 - a,...
((4*a^3)/3 + 4*a^2 + (8*a)/3)*x^3 + (- 2*a^2 - 2*a)*x]

숫자형 인수 및 기호 인수에 대한 게겐바우어 다항식

gegenbauerC는 해당 인수에 따라 부동소수점 결과를 반환할 수도 있고 정확한 기호 결과를 반환할 수도 있습니다.

아래 나열된 점에서 파라미터 a = 1/3에 대해 5차 게겐바우어 다항식의 값을 구합니다. 이러한 숫자는 기호 객체가 아니므로 gegenbauerC는 부동소수점 결과를 반환합니다.

gegenbauerC(5, 1/3, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])

ans =
    0.1520    0.1911    0.1914    0.0672   -0.1483   -0.2188

기호 객체로 변환한 동일한 숫자에 대해 5차 게겐바우어 다항식의 값을 구합니다. 기호 숫자의 경우 gegenbauerC는 정확한 기호 결과를 반환합니다.

gegenbauerC(5, 1/3, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))

ans =
[ 26929/177147, 4459/23328, 33908/177147, 49/729, -26264/177147, -7/32]

부동소수점 숫자를 사용하여 체비쇼프 다항식 계산하기

gegenbauerC의 직접 호출을 통한 게겐바우어(Gegenbauer) 다항식의 부동소수점 계산은 수치적으로 안정적입니다. 그러나 먼저 기호 변수를 사용하여 다항식을 계산한 이 표현식에 가변 정밀도 값을 대입하면 수치적으로 불안정해질 수 있습니다.

1/3과 vpa(1/3)에서 파라미터 4에 대해 500차 게겐바우어 다항식의 값을 구합니다. 부동소수점 계산은 수치적으로 안정적입니다.

gegenbauerC(500, 4, 1/3)
gegenbauerC(500, 4, vpa(1/3))

ans =
  -1.9161e+05
 
ans =
-191609.10250897532784888518393655

이번에는 기호 다항식 C500 = gegenbauerC(500, 4, x)를 구한 다음 결과에 x = vpa(1/3)을 대입합니다. 이 접근 방식은 수치적으로 불안정합니다.

syms x
C500 = gegenbauerC(500, 4, x);
subs(C500, x, vpa(1/3))

ans =
-8.0178726380235741521208852037291e+35

vpa를 사용하여 다항식 계수의 근삿값을 계산한 다음 결과에 x = sym(1/3)을 대입합니다. 이 접근 방식도 수치적으로 불안정합니다.

subs(vpa(C500), x, sym(1/3))

ans =
-8.1125412405858470246887213923167e+36

게겐바우어 다항식 플로팅하기

파라미터 a = 3에 대해 처음 5개의 게겐바우어 다항식을 플로팅합니다.

syms x y
fplot(gegenbauerC(0:4,3,x))
axis([-1 1 -10 10])
grid on

ylabel('G_n^3(x)')
title('Gegenbauer polynomials')
legend('G_0^3(x)', 'G_1^3(x)', 'G_2^3(x)', 'G_3^3(x)', 'G_4^3(x)',...
                                               'Location', 'Best')

입력 인수

n — 다항식의 차수

음이 아닌 정수 | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수 | 벡터 | 행렬

다항식의 차수로, 음이 아닌 정수, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 함수, 또는 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식 또는 기호 함수로 구성된 벡터나 행렬로 지정됩니다.

a — 파라미터

숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수 | 벡터 | 행렬

파라미터로, 음이 아닌 정수, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 함수, 또는 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식 또는 기호 함수로 구성된 벡터나 행렬로 지정됩니다.

x — 계산 지점

숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수 | 벡터 | 행렬

계산 지점으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 함수, 또는 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식 또는 기호 함수로 구성된 벡터나 행렬로 지정됩니다.

세부 정보

게겐바우어(Gegenbauer) 다항식

• 게겐바우어 다항식은 다음 재귀 수식에 의해 정의됩니다.

  $$G\left(0,a,x\right)=1,G\left(1,a,x\right)=2ax,G\left(n,a,x\right)=\frac{2x\left(n+a-1\right)}{n}G\left(n-1,a,x\right)-\frac{n+2a-2}{n}G\left(n-2,a,x\right)$$

• a > -1/2인 모든 실수에 대해, 게겐바우어 다항식은 구간 -1 ≤ x ≤ 1에서 가중치 함수 $$w\left(x\right)={\left(1-x^2\right)}^{a-\frac{1}{2}}$$에 대해 직교합니다.

  $${\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}G(n,a,x)G(m,a,x){\left(1-x^2\right)}^{a-1/2}dx}=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n\ne m\\ \frac{\pi 2^{1-2a}\Gamma \left(n+2a\right)}{n!\left(n+a\right){\left(\Gamma \left(a\right)\right)}^2}& \text{if }n=m.\end{array}$$

• 제1종 및 제2종 체비쇼프 다항식은 게겐바우어 다항식의 특수한 사례입니다.

  $$T\left(n,x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\underset{a\to 0}{\lim }\frac{n+a}{a}G\left(n,a,x\right)& \text{if }n\ne 0\\ \underset{a\to 0}{\lim }G\left(0,a,x\right)=1& \text{if }n=0\end{array}$$

  $$U\left(n,x\right)=G\left(n,1,x\right)$$

• 르장드르 다항식도 게겐바우어 다항식의 특수한 사례입니다.

  $$P\left(n,x\right)=G\left(n,\frac{1}{2},x\right)$$

팁

• gegenbauerC는 기호 객체가 아닌 숫자형 인수에 대해 부동소수점 결과를 반환합니다.

• gegenbauerC는 비 스칼라 입력값에 대해 요소별로 적용됩니다.

• 모든 비 스칼라 인수는 크기가 같아야 합니다. 하나 또는 두 개의 입력 인수가 비 스칼라이면 gegenbauerC는 스칼라를 비 스칼라 인수와 동일한 크기의 벡터 또는 행렬로 확장하는데, 이때 모든 요소는 대응하는 스칼라의 값을 갖습니다.

참고 문헌

[1] Hochstrasser, U. W. “Orthogonal Polynomials.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

[2] Cohl, Howard S., and Connor MacKenzie. “Generalizations and Specializations of Generating Functions for Jacobi, Gegenbauer, Chebyshev and Legendre Polynomials with Definite Integrals.” Journal of Classical Analysis, no. 1 (2013): 17–33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

버전 내역

R2014b에 개발됨

참고 항목

chebyshevT | chebyshevU | hermiteH | jacobiP | laguerreL | legendreP