chebyshevU

제2종 체비쇼프 다항식

구문

chebyshevU(n,x)

설명

chebyshevU(n,x)는 점 x에서의 n차 제2종 체비쇼프 다항식을 나타냅니다.

예제

처음 5개의 제2종 체비쇼프 다항식

변수 x에 대해 처음 5개의 제2종 체비쇼프 다항식을 구합니다.

syms x
chebyshevU([0, 1, 2, 3, 4], x)

ans =
[ 1, 2*x, 4*x^2 - 1, 8*x^3 - 4*x, 16*x^4 - 12*x^2 + 1]

숫자형 인수 및 기호 인수에 대한 체비쇼프 다항식

chebyshevU는 해당 인수에 따라 부동소수점 결과를 반환할 수도 있고 정확한 기호 결과를 반환할 수도 있습니다.

이들 점에서 5차 제2종 체비쇼프 다항식의 값을 구합니다. 이러한 숫자는 기호 객체가 아니므로 chebyshevU는 부동소수점 결과를 반환합니다.

chebyshevU(5, [1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5])

ans =
    0.8560    0.9465    0.0000   -1.2675   -1.0982

기호 객체로 변환한 동일한 숫자에 대해 5차 제2종 체비쇼프 다항식의 값을 구합니다. 기호 숫자의 경우 chebyshevU는 정확한 기호 결과를 반환합니다.

chebyshevU(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5]))

ans =
[ 208/243, 33/32, 230/243, 0, -308/243, -3432/3125]

부동소수점 숫자를 사용하여 체비쇼프 다항식 계산하기

chebyshevU의 직접 호출을 통한 체비쇼프 다항식의 부동소수점 계산은 수치적으로 안정적입니다. 그러나 먼저 기호 변수를 사용하여 다항식을 계산한 이 표현식에 가변 정밀도 값을 대입하면 수치적으로 불안정해질 수 있습니다.

1/3과 vpa(1/3)에서 500차 제2종 체비쇼프 다항식의 값을 구합니다. 부동소수점 계산은 수치적으로 안정적입니다.

chebyshevU(500, 1/3)
chebyshevU(500, vpa(1/3))

ans =
    0.8680
 
ans =
0.86797529488884242798157148968078

이번에는 기호 다항식 U500 = chebyshevU(500, x)를 구한 다음 결과에 x = vpa(1/3)을 대입합니다. 이 접근 방식은 수치적으로 불안정합니다.

syms x
U500 = chebyshevU(500, x);
subs(U500, x, vpa(1/3))

ans =
63080680195950160912110845952.0

vpa를 사용하여 다항식 계수의 근삿값을 계산한 다음 결과에 x = sym(1/3)을 대입합니다. 이 접근 방식도 수치적으로 불안정합니다.

subs(vpa(U500), x, sym(1/3))

ans =
-1878009301399851172833781612544.0

제2종 체비쇼프 다항식 플로팅하기

처음 5개의 제2종 체비쇼프 다항식을 플로팅합니다.

syms x y
fplot(chebyshevU(0:4, x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('U_n(x)')
legend('U_0(x)', 'U_1(x)', 'U_2(x)', 'U_3(x)', 'U_4(x)', 'Location', 'Best')
title('Chebyshev polynomials of the second kind')

입력 인수

n — 다항식의 차수

음이 아닌 정수 | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수 | 벡터 | 행렬

다항식의 차수로, 음이 아닌 정수, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 함수, 또는 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식 또는 기호 함수로 구성된 벡터나 행렬로 지정됩니다.

x — 계산 지점

숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수 | 벡터 | 행렬

계산 지점으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 함수, 또는 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 표현식 또는 기호 함수로 구성된 벡터나 행렬로 지정됩니다.

세부 정보

제2종 체비쇼프 다항식

• 제2종 체비쇼프 다항식은 다음과 같이 정의됩니다.

  $$U\left(n,x\right)=\frac{\sin \left(\left(n+1\right)a\cos \left(x\right)\right)}{\sin \left(a\cos \left(x\right)\right)}$$

  이들 다항식은 다음 재귀 수식을 충족합니다.

  $$U\left(0,x\right)=1,U\left(1,x\right)=2x,U\left(n,x\right)=2xU\left(n-1,x\right)-U\left(n-2,x\right)$$

• 제2종 체비쇼프 다항식은 구간 -1 ≤ x ≤ 1에서 가중치 함수 $$w\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$$에 대해 직교합니다.

  $${\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}U(n,x)U(m,x)\sqrt{1-x^2}dx}=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n\ne m\\ \frac{\pi }{2}& \text{if }n=m.\end{array}$$

• 제2종 체비쇼프 다항식은 다음과 같은 야코비 다항식의 특수한 사례이자

  $$U\left(n,x\right)=\frac{2^{2n}n!\left(n+1\right)!}{\left(2n+1\right)!}P\left(n,\frac{1}{2},\frac{1}{2},x\right)$$

  다음과 같은 Gegenbauer 다항식의 특수한 사례입니다.

  $$U\left(n,x\right)=G\left(n,1,x\right)$$

팁

• chebyshevU는 기호 객체가 아닌 숫자형 인수에 대해 부동소수점 결과를 반환합니다.

• chebyshevU는 비 스칼라 입력값에 대해 요소별로 적용됩니다.

• 적어도 하나의 입력 인수는 스칼라여야 합니다. 그렇지 않으면 두 인수가 동일한 크기의 벡터 또는 행렬이어야 합니다. 하나의 입력 인수가 스칼라이고 다른 인수는 벡터 또는 행렬인 경우 chebyshevU는 스칼라를 다른 인수와 동일한 크기의 벡터 또는 행렬로 확장하는데 이때 모든 요소는 해당 스칼라의 값을 갖습니다.

참고 문헌

[1] Hochstrasser, U. W. “Orthogonal Polynomials.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

[2] Cohl, Howard S., and Connor MacKenzie. “Generalizations and Specializations of Generating Functions for Jacobi, Gegenbauer, Chebyshev and Legendre Polynomials with Definite Integrals.” Journal of Classical Analysis, no. 1 (2013): 17–33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

버전 내역

R2014b에 개발됨

참고 항목

chebyshevT | gegenbauerC | hermiteH | jacobiP | laguerreL | legendreP