norm

기호 벡터 또는 기호 행렬의 노름

구문

n = norm(v)

n = norm(v,p)

n = norm(A)

n = norm(A,P)

n = norm(X,"fro")

설명

n = norm(v)는 기호 벡터 v의 2-노름을 반환합니다.

n = norm(v,p)는 기호 벡터 v의 p-노름을 반환합니다.

n = norm(A)는 기호 행렬 A의 2-노름을 반환합니다. 기호 변수는 기본적으로 복소수로 간주되므로, 노름에는 conj 및 abs에 대한 계산되지 않은 호출이 포함될 수 있습니다.

n = norm(A,P)는 기호 행렬 A의 P-노름을 반환합니다.

n = norm(X,"fro")는 기호 다차원 배열 X의 프로베니우스 노름을 반환합니다.

예제

행렬의 2-노름 계산하기

3×3 마방진 A의 역행렬에 대한 2-노름을 계산합니다.

A = inv(sym(magic(3)))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{53}{360}& -\frac{13}{90}& \frac{23}{360}\\ -\frac{11}{180}& \frac{1}{45}& \frac{19}{180}\\ -\frac{7}{360}& \frac{17}{90}& -\frac{37}{360}\end{array}\right)$$

norm2 = norm(A)

norm2 = 
$$\frac{\sqrt{3}}{6}$$

vpa를 사용하여 결과에 대한 20자리 정확도의 근삿값을 계산합니다.

norm2_vpa = vpa(norm2,20)

norm2_vpa = $$0.28867513459481288225$$

노름에서 가정의 효과

[x y]의 노름을 계산하고 결과를 단순화합니다. 기호 스칼라 변수는 기본적으로 복소수로 간주되므로 abs를 호출했을 때 단순화를 수행하지 않습니다.

syms x y
n = simplify(norm([x y]))

n = $$\sqrt{{\left|x\right|}^2+{\left|y\right|}^2}$$

x와 y가 실수라고 가정하고 계산을 반복합니다. 이제 결과가 단순화됩니다.

assume([x y],"real")
n = simplify(norm([x y]))

n = $$\sqrt{x^2+y^2}$$

추후 계산을 위해 x에 대한 가정을 제거합니다. 자세한 내용은 Use Assumptions on Symbolic Variables 항목을 참조하십시오.

assume(x,"clear")

행렬에 대한 다양한 노름 유형 계산하기

3×3 마방진 A의 역행렬에 대한 1-노름, 프로베니우스 노름, 무한대 노름을 계산합니다.

A = inv(sym(magic(3)))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{53}{360}& -\frac{13}{90}& \frac{23}{360}\\ -\frac{11}{180}& \frac{1}{45}& \frac{19}{180}\\ -\frac{7}{360}& \frac{17}{90}& -\frac{37}{360}\end{array}\right)$$

norm1 = norm(A,1)

norm1 = 
$$\frac{16}{45}$$

normf = norm(A,"fro")

normf = 
$$\frac{\sqrt{391}}{60}$$

normi = norm(A,Inf)

normi = 
$$\frac{16}{45}$$

vpa를 사용하여 이러한 결과에 대한 20자리 정확도의 근삿값을 계산합니다.

norm1_vpa = vpa(norm1,20)

norm1_vpa = $$0.35555555555555555556$$

normf_vpa = vpa(normf,20)

normf_vpa = $$0.32956199888808647519$$

normi_vpa = vpa(normi,20)

normi_vpa = $$0.35555555555555555556$$

벡터에 대한 다양한 노름 유형 계산하기

열 벡터 V = [Vx; Vy; Vz]의 1-노름, 2-노름, 3-노름을 계산합니다.

syms Vx Vy Vz
V = [Vx; Vy; Vz];
norm1 = norm(V,1)

norm1 = $$\left|\mathrm{Vx}\right|+\left|\mathrm{Vy}\right|+\left|\mathrm{Vz}\right|$$

norm2 = norm(V)

norm2 = $$\sqrt{{\left|\mathrm{Vx}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^2}$$

norm3 = norm(V,3)

norm3 = $${\left({\left|\mathrm{Vx}\right|}^3+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^3+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^3\right)}^{1/3}$$

V의 무한대 노름, 음수 무한대 노름, 프로베니우스 노름을 계산합니다.

normi = norm(V,Inf)

normi = $$\max \left(\left|\mathrm{Vx}\right|,\left|\mathrm{Vy}\right|,\left|\mathrm{Vz}\right|\right)$$

normni = norm(V,-Inf)

normni = $$\min \left(\left|\mathrm{Vx}\right|,\left|\mathrm{Vy}\right|,\left|\mathrm{Vz}\right|\right)$$

normf = norm(V,"fro")

normf = $$\sqrt{{\left|\mathrm{Vx}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^2}$$

입력 인수

v — 입력 벡터

기호 스칼라 변수로 구성된 벡터 | 기호 행렬 변수 | 기호 함수 | 기호 행렬 함수

입력 벡터로, 기호 스칼라 변수로 구성된 벡터, 또는 벡터를 나타내는 기호 행렬 변수, 기호 함수 또는 기호 행렬 함수로 지정됩니다.

p — 입력값

2 (디폴트 값) | 1 | 양의 정수 스칼라 | Inf | -Inf | "fro"

• norm(v,p)는 1<=p<Inf의 경우 sum(abs(v).^p)^(1/p)로 계산됩니다.

• norm(v)는 V의 2-노름을 계산합니다.

• norm(v,Inf)는 max(abs(V))로 계산됩니다.

• norm(v,-Inf)는 min(abs(V))로 계산됩니다.

A — 입력 행렬

기호 스칼라 변수로 구성된 행렬 | 기호 행렬 변수 | 기호 함수 | 기호 행렬 함수

입력 행렬로, 기호 스칼라 변수로 구성된 행렬, 또는 행렬을 나타내는 기호 행렬 변수, 기호 함수 또는 기호 행렬 함수로 지정됩니다.

P — 입력값

2 (디폴트 값) | 1 | Inf | "fro"

1, 2, Inf 또는 "fro" 값 중 하나일 수 있습니다.

• norm(A,1)은 A의 1-노름을 반환합니다.

• norm(A,2) 또는 norm(A)는 A의 2-노름을 반환합니다.

• norm(A,Inf)는 A의 무한대 노름을 반환합니다.

• norm(A,"fro")는 A의 프로베니우스 노름을 반환합니다.

X — 입력 배열

기호 스칼라 변수로 구성된 다차원 배열

입력 배열로, 기호 스칼라 변수로 구성된 다차원 배열로 지정됩니다.

세부 정보

행렬의 1-노름

m×n 행렬 A의 1-노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert A\Vert }_1=\underset{j}{\max }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\left|A_{ij}\right|}\right),\text{ where }j=1\dots n$$

행렬의 2-노름

m×n 행렬 A의 2-노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert A\Vert }_2=\sqrt{{\text{max eigenvalue of A}}^{H}A}$$

2-노름은 행렬의 스펙트럼 노름이라고도합니다.

행렬의 무한대 노름

m×n 행렬 A의 무한대 노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert A\Vert }_{\infty }=\max \left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{1j}\right|,}{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{2j}\right|,}\dots ,{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{mj}\right|}\right)$$

행렬 및 다차원 배열의 프로베니우스 노름

m×n 행렬 A의 프로베니우스 노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert A\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|A_{ij}\right|}^2}\right)}}$$

l×m×n 다차원 배열 X의 프로베니우스 노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^l\left({\displaystyle \sum _{j=1}^m\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left|X_{ijk}\right|}^2}\right)}\right)}}$$

벡터의 P-노름

1×n 또는 n×1 벡터 V의 P-노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert V\Vert }_P={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|V_i\right|}^P}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$P$}\right.}$$

여기서 n은 1보다 큰 정수여야 합니다.

벡터의 프로베니우스 노름

1×n 또는 n×1 벡터 V의 프로베니우스 노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert V\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|V_i\right|}^2}}$$

벡터의 프로베니우스 노름은 벡터의 2-노름과 일치합니다.

벡터의 무한대 노름 및 음수 무한대 노름

1×n 또는 n×1 벡터 V의 무한대 노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert V\Vert }_{\infty }=\max \left(\left|V_i\right|\right),\text{ where }i=1\dots n$$

1×n 또는 n×1 벡터 V의 음수 무한대 노름은 다음과 같이 정의됩니다.

$${\Vert V\Vert }_{-\infty }=\min \left(\left|V_i\right|\right),\text{ where }i=1\dots n$$

팁

• 기호 객체가 아닌 숫자형 행렬에 대해 norm을 호출하면 MATLAB^® norm 함수가 호출됩니다.

버전 내역

R2012b에 개발됨

R2022a: 기호 배열의 프로베니우스 노름 계산하기

norm 함수는 기호 다차원 배열을 입력 인수로 받을 수 있습니다. 구문 norm(X,"fro")를 사용하여 기호 배열 X의 프로베니우스 노름을 반환합니다.

R2022a: 기호 행렬 함수의 노름 계산하기

norm 함수는 symfunmatrix 유형의 입력 인수를 받습니다.

R2021a: 기호 행렬 변수의 노름 계산하기

norm 함수는 symmatrix 유형의 입력 인수를 받습니다.

참고 항목

cond | equationsToMatrix | inv | linsolve | rank