lillietest

릴리포스 검정

구문

h = lillietest(x)

h = lillietest(x,Name,Value)

[h,p] = lillietest(___)

[h,p,kstat,critval] = lillietest(___)

설명

h = lillietest(x)는 릴리포스 검정을 사용하여 '정규분포군에서 벡터 x의 데이터가 추출되지 않는다'는 대립가설에 대해 '이러한 분포에서 데이터가 추출된다'는 귀무가설에 대한 검정 결과를 반환합니다. 검정이 5% 유의수준에서 귀무가설을 기각한 경우 결과 h는 1이고, 그렇지 않은 경우 0입니다.

h = lillietest(x,Name,Value)는 하나 이상의 이름-값 쌍의 인수로 지정된 추가 옵션을 사용하여 검정 결과를 반환합니다. 예를 들어, 다른 분포군에 대해 데이터를 검정하거나, 유의수준을 변경하거나, 몬테카를로 근사를 사용하여 p-값을 계산할 수 있습니다.

[h,p] = lillietest(___)는 위에 열거된 구문의 입력 인수 중 하나를 사용하여 p-값 p도 반환합니다.

[h,p,kstat,critval] = lillietest(___)는 검정 통계량 kstat과 검정에 대한 임계값 critval도 반환합니다.

예제

정규분포 여부 검정하기

표본 데이터를 불러옵니다. '여러 자동차 제조업체의 갤런당 마일(MPG) 자동차 주행거리가 정규분포를 따른다'는 귀무가설을 검정합니다.

load carbig
[h,p,k,c] = lillietest(MPG)

Warning: P is less than the smallest tabulated value, returning 0.001.

h = 1

p = 1.0000e-03

k = 0.0789

c = 0.0451

검정 통계량 k는 임계값 c보다 크며, 따라서 lillietest는 결과 h = 1을 반환하여 디폴트 5% 유의수준에서 귀무가설이 기각됨을 나타냅니다. 경고는 반환된 $$p$$-값이 미리 계산된 값으로 구성된 테이블의 가장 작은 값보다 작음을 나타냅니다. 더 정확한 $$p$$-값을 찾으려면 MCTol을 사용하여 몬테카를로 근사를 실행하십시오. 몬테카를로 근사를 사용하여 p-값 구하기 항목을 참조하십시오.

다양한 유의수준에서 가설 검정하기

표본 데이터를 불러옵니다. 학생들의 시험 성적 데이터의 첫 번째 열을 포함하는 벡터를 만듭니다.

load examgrades
x = grades(:,1);

'표본 데이터가 1% 유의수준에서 정규분포에서 추출된다'는 귀무가설을 검정합니다.

[h,p] = lillietest(x,'Alpha',0.01)

h = 0

p = 0.0348

반환된 값 h = 0은 lillietest가 1% 유의수준에서 귀무가설을 기각하지 않음을 나타냅니다.

지수 분포 여부 검정하기

표본 데이터를 불러옵니다. '여러 자동차 제조업체의 갤런당 마일(MPG) 자동차 주행거리가 지수 분포를 따른다'는 귀무가설을 검정합니다.

load carbig
h = lillietest(MPG,'Distribution','exponential')

h = 1

반환된 값 h = 1은 lillietest가 디폴트 5% 유의수준에서 귀무가설을 기각함을 나타냅니다.

베이불 분포 여부 검정하기

두 개의 표본 데이터 세트를 생성합니다(하나는 베이불 분포에서, 다른 하나는 로그정규분포에서 생성). 각 데이터 세트가 베이불 분포에서 추출되는지 여부를 평가하기 위해 릴리포스 검정을 수행합니다. 베이불 확률 플롯(wblplot)을 이용한 시각적인 비교를 통해 검정 결과를 확인합니다.

베이불 분포에서 표본을 생성합니다.

rng('default')
data1 = wblrnd(0.5,2,[500,1]);

lillietest를 사용하여 릴리포스 검정을 수행합니다. 베이불 분포에 대한 데이터를 검정하기 위해 데이터의 로그가 극값 분포를 가지고 있는지 여부를 검정합니다.

h1 = lillietest(log(data1),'Distribution','extreme value')

h1 = 0

반환된 값 h1 = 0은 lillietest가 디폴트 5% 유의수준에서 귀무가설을 기각하지 않음을 나타냅니다. 베이불 확률 플롯을 사용하여 검정 결과를 확인합니다.

wblplot(data1)

이 플롯은 데이터가 베이불 분포를 따름을 나타냅니다.

로그정규분포에서 표본을 생성합니다.

data2 =lognrnd(5,2,[500,1]);

릴리포스 검정을 수행합니다.

h2 = lillietest(log(data2),'Distribution','extreme value')

h2 = 1

반환된 값 h2 = 1은 lillietest가 디폴트 5% 유의수준에서 귀무가설을 기각함을 나타냅니다. 베이불 확률 플롯을 사용하여 검정 결과를 확인합니다.

wblplot(data2)

이 플롯은 데이터가 베이불 분포를 따르지 않음을 나타냅니다.

몬테카를로 근사를 사용하여 p-값 구하기

표본 데이터를 불러옵니다. '여러 자동차 제조업체의 갤런당 마일(MPG) 자동차 주행거리가 정규분포를 따른다'는 귀무가설을 검정합니다. 최대 몬테카를로 표준 오차가 1e-4인 몬테카를로 근사를 사용하여 $$p$$-값을 구합니다.

load carbig
[h,p] = lillietest(MPG,'MCTol',1e-4)

h = 1

p = 8.3333e-06

반환된 값 h = 1은 lillietest가 5% 유의수준에서 데이터가 정규분포에서 추출된다는 귀무가설을 기각함을 나타냅니다.

입력 인수

x — 표본 데이터

벡터

표본 데이터로, 벡터로 지정됩니다.

데이터형: single | double

이름-값 인수

선택적 인수 쌍을 Name1=Value1,...,NameN=ValueN으로 지정합니다. 여기서 Name은 인수 이름이고 Value는 대응값입니다. 이름-값 인수는 다른 인수 뒤에 와야 하지만, 인수 쌍의 순서는 상관없습니다.

R2021a 이전 릴리스에서는 쉼표를 사용하여 각 이름과 값을 구분하고 Name을 따옴표로 묶으십시오.

예: 'Distribution','exponential','Alpha',0.01은 '모집단 분포가 1% 유의수준에서 지수 분포군에 속한다'는 귀무가설을 검정합니다.

Alpha — 유의수준

0.05 (디폴트 값) | (0,1) 범위의 스칼라 값

가설검정의 유의수준으로, 'Alpha'와 함께 (0,1) 범위의 스칼라 값이 쉼표로 구분되어 지정됩니다.

• MCTol이 사용되지 않는 경우 Alpha는 범위 [0.001,0.50] 내에 있어야 합니다.

• MCTol이 사용되는 경우 Alpha는 범위 (0,1) 내에 있어야 합니다.

예: 'Alpha',0.01

데이터형: single | double

Distribution — 분포군

'normal' (디폴트 값) | 'exponential' | 'extreme value'

가설검정을 위한 분포군으로, 'Distr'과 함께 다음 중 하나가 쉼표로 구분되어 지정됩니다.

'normal'	정규분포
'exponential'	지수 분포
'extreme value'	극값 분포

• 로그정규분포에 대해 x를 검정하려면 log(x)가 정규분포를 갖는지 여부를 검정하십시오.

• 베이불 분포에 대해 x를 검정하려면 log(x)가 극값 분포를 갖는지 여부를 검정하십시오.

예: 'Distribution','exponential'

MCTol — 최대 몬테카를로 표준 오차

(0,1) 범위의 스칼라 값

검정의 p-값인 p에 대한 최대 몬테카를로 표준 오차로, 'MCTol'과 함께 (0,1) 범위의 스칼라 값이 쉼표로 구분되어 지정됩니다.

예: 'MCTol',0.001

데이터형: single | double

출력 인수

h — 가설검정 결과

1 | 0

가설검정 결과로, 1 또는 0으로 반환됩니다.

• h = 1이면 Alpha 유의수준에서 귀무가설이 기각됨을 나타냅니다.

• h = 0이면 Alpha 유의수준에서 귀무가설이 기각되지 않음을 나타냅니다.

p — p-값

(0,1) 범위의 스칼라 값

검정의 p-값으로, (0,1) 범위의 스칼라 값으로 반환됩니다. p는 귀무가설 하의 관측값과 같거나 그보다 더 극단적인 검정 통계량이 관측될 확률입니다. p의 값이 작을 경우 귀무가설의 타당성에 의문이 제기됩니다.

• MCTol이 사용되지 않는 경우, p는 임계값 테이블에 맞춰 역보간을 사용하여 계산되며, [0.001,0.50] 범위의 스칼라 값으로 반환됩니다. lillietest는 테이블 범위 내에서 p를 찾을 수 없으면 경고하고, 가장 작은 테이블 값이나 가장 큰 테이블 값을 반환합니다.

• MCTol이 사용되는 경우, lillietest는 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하여 더 정확한 p-값을 계산하고, p는 (0,1) 범위의 스칼라 값으로 반환됩니다.

kstat — 검정 통계량

음이 아닌 스칼라 값

검정 통계량으로, 음이 아닌 스칼라 값으로 반환됩니다.

critval — 임계값

음이 아닌 스칼라 값

가설검정에 대한 임계값으로, 음이 아닌 스칼라 값으로 반환됩니다.

세부 정보

릴리포스 검정

릴리포스 검정은 양측 적합도 검정으로, 귀무 분포의 모수를 알 수 없고 그 모수를 추정해야 하는 경우에 적합합니다. 이는 귀무 분포를 완전히 지정해야 하는 1-표본 콜모고로프-스미르노프 검정과 대조적입니다.

릴리포스 검정 통계량은 다음과 같습니다.

$$D^{*}=\underset{x}{\max }\left|\widehat{F}\left(x\right)-G\left(x\right)\right|,$$

여기서 $$\widehat{F}\left(x\right)$$는 표본 데이터의 경험적 cdf이고 $$G\left(x\right)$$는 표본 모수와 같은 추정 모수를 갖는 가정된 분포의 cdf입니다.

lillietest는 데이터 벡터에 변환을 적용하고 다음과 같이 적절한 릴리포스 검정을 실행하여 데이터 벡터 x가 로그정규분포와 베이불 분포 중 무엇을 갖는지 여부를 검정하는 데 사용할 수 있습니다.

• 로그정규분포에 대해 x를 검정하려면 log(x)가 정규분포를 갖는지 여부를 검정하십시오.

• 베이불 분포에 대해 x를 검정하려면 log(x)가 극값 분포를 갖는지 여부를 검정하십시오.

귀무가설이 위치-척도 분포군이 아닌 경우에는 릴리포스 검정을 사용할 수 없습니다.

몬테카를로 표준 오차

몬테카를로 표준 오차는 p-값 시뮬레이션으로 인한 오차입니다.

몬테카를로 표준 오차는 다음과 같이 계산됩니다.

$$SE=\sqrt{\frac{\left(\widehat{p}\right)\left(1-\widehat{p}\right)}{\text{mcreps}}},$$

여기서 $$\widehat{p}$$은 가설검정의 추정된 p-값이고 mcreps는 수행된 몬테카를로 반복 실험 횟수입니다.

몬테카를로 반복 실험 횟수인 mcreps는 $$\widehat{p}$$에 대한 몬테카를로 표준 오차가 MCTol에 지정된 값보다 작아지는 값으로 결정됩니다.

알고리즘

가설검정을 위한 임계값을 계산하기 위해 lillietest는 표본 크기가 1000개 미만이고 유의수준이 0.001~0.50인 경우 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 미리 계산된 임계값 테이블에 맞춰 보간합니다. lillietest가 사용하는 테이블은 릴리포스가 원래 도입했던 테이블보다 더 크고 정확합니다. 더 정확한 p-값을 원하거나 원하는 유의수준이 0.001보다 작거나 0.50보다 큰 경우, MCTol 입력 인수를 사용해 몬테카를로 시뮬레이션을 실행하여 p-값을 더 정확하게 계산할 수 있습니다.

계산된 검정 통계량 값이 임계값보다 크면 lillietest는 유의수준 Alpha에서 귀무가설을 기각합니다.

lillietest는 x에 있는 NaN 값을 누락값으로 처리하여 무시합니다.

참고 문헌

[1] Conover, W. J. Practical Nonparametric Statistics. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1980.

[2] Lilliefors, H. W. “On the Kolmogorov-Smirnov test for the exponential distribution with mean unknown.” Journal of the American Statistical Association. Vol. 64, 1969, pp. 387–389.

[3] Lilliefors, H. W. “On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown.” Journal of the American Statistical Association. Vol. 62, 1967, pp. 399–402.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

jbtest | kstest | kstest2 | cdfplot | adtest