se3

SE(3) 동차 변환

R2023b 이후

설명

se3 객체는 SE(3) 변환을 오른손 카테시안 좌표계의 평행 이동과 회전으로 구성된 3차원 동차 변환 행렬로 나타냅니다.

자세한 내용은 3차원 동차 변환 행렬 섹션을 참조하십시오.

이 객체는 숫자형 행렬처럼 작용하므로 곱셈과 나눗셈을 사용해 자세를 구성할 수 있습니다.

생성

구문

transformation = se3

transformation = se3(rotation)

transformation = se3(rotation,translation)

transformation = se3(transformation)

transformation = se3(euler,"eul")

transformation = se3(euler,"eul",sequence)

transformation = se3(quat,"quat")

transformation = se3(axang,"axang")

transformation = se3(angle,axis)

transformation = se3(___,translation)

transformation = se3(translation,"trvec")

transformation = se3(pose,"xyzquat")

설명

회전 행렬, 평행 이동 벡터, 변환 행렬

transformation = se3은 평행 이동 없이 항등 회전을 나타내는 SE(3) 변환을 만듭니다.

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(rotation)은 평행 이동 없이 정규 직교 회전 rotation으로 정의되는 순수 회전을 나타내는 SE(3) 변환을 만듭니다. 회전 행렬은 transformation 행렬의 좌상단에 있는 요소들에 의해 표현됩니다.

$$rotation=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{11}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& 0\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& 0\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(rotation,translation)은 정규 직교 회전 rotation 및 평행 이동 translation으로 정의되는 회전을 나타내는 SE(3) 변환을 만듭니다. 이 함수는 회전 행렬을 먼저 적용한 다음, 평행 이동 벡터를 적용하여 변환을 생성합니다.

$$rotation=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{11}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$, $$translation=\left[\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right]$$

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_1\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_2\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_1\\ 0& 1& 0& t_2\\ 0& 0& 1& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& 0\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& 0\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(transformation)은 동차 변환 transformation으로 정의되는 평행 이동과 회전을 나타내는 SE(3) 변환을 만듭니다.

기타 3차원 회전 표현

transformation = se3(euler,"eul")은 오일러 각 euler로 정의되는 회전으로부터 SE(3) 변환을 만듭니다.

transformation = se3(euler,"eul",sequence)는 오일러 각 회전의 시퀀스 sequence를 지정합니다. 예를 들어 시퀀스 "ZYX"는 z축을 회전시킨 다음 y축과 x축을 회전시킵니다.

transformation = se3(quat,"quat")는 숫자형 쿼터니언 quat로 정의되는 회전으로부터 SE(3) 변환을 만듭니다.

transformation = se3(axang,"axang")는 축-각도 회전 axang로 정의되는 회전으로부터 SE(3) 변환을 만듭니다.

transformation = se3(angle,axis)는 회전 축 axis 중심의 회전 angles로부터 SE(3) 변환을 만듭니다.

transformation = se3(___,translation)은 평행 이동 벡터 translation으로부터 기타 유형의 회전 입력 인수와 함께 SE(3) 변환을 만듭니다.

기타 평행 이동 표현과 변환 표현

transformation = se3(translation,"trvec")는 평행 이동 벡터 translation으로부터 SE(3) 변환을 만듭니다.

transformation = se3(pose,"xyzquat")는 간소한 표현의 3차원 자세 pose로부터 SE(3) 변환을 만듭니다.

참고

입력값에 2개 이상의 회전, 평행 이동 또는 변환이 포함되는 경우 출력값 transformation은 se3 객체 요소를 N개 가진 배열이며 각각은 N개의 입력 회전, 평행 이동, 변환에 대응됩니다.

입력 인수

rotation — 정규 직교 회전

3×3 행렬 | 3×3×N 행렬 | so3 객체 | so3 객체 요소를 N개 가진 배열

정규 직교 회전으로, 3×3 행렬, 3×3×N 배열, 스칼라 객체 또는 so3 객체 요소를 N개 가진 배열로 지정됩니다. 여기서 N은 총 회전 개수입니다.

rotation에 2개 이상의 회전이 포함되고 생성 시점에 translation도 지정한다면, translation의 평행 이동 개수는 1이거나 rotation의 회전 개수와 같아야 합니다. 그 결과로 생성된 변환 객체의 개수는 translation의 값 또는 rotation 인수 중 더 큰 값입니다.

예: eye(3)

데이터형: single | double

translation — 평행 이동

요소를 3개 가진 행 벡터 | N×3 행렬

평행 이동으로, 요소를 3개 가진 행 벡터 또는 N×3 배열로 지정됩니다. 여기서 N은 총 평행 이동 개수이며, 각 평행 이동의 형식은 [x y z]입니다.

translation에 2개 이상의 평행 이동이 포함되는 경우 rotation의 회전 개수는 1이거나 translation의 평행 이동 개수와 같아야 합니다. 그 결과로 생성된 변환 객체의 개수는 translation의 값 또는 rotation 인수 중 더 큰 값입니다.

예: [1 4 3]

데이터형: single | double

transformation — 동차 변환

4×4 행렬 | 4×4×N 배열 | se3 객체 | se3 객체 요소를 N개 가진 배열

동차 변환으로, 3×3 행렬, 4×4 행렬, 4×4-N 배열, 스칼라 se3 객체 또는 se3 객체 요소를 N개 가진 배열로 지정됩니다. 여기서 N은 지정된 총 변환 개수입니다.

transformation이 배열인 경우 그 결과로 생성된 se3 객체의 개수는 N과 같습니다.

예: eye(4)

데이터형: single | double

quaternion — 쿼터니언

quaternion 객체 | quaternion 객체 요소를 N개 가진 배열

쿼터니언으로, 스칼라 quaternion 객체 또는 quaternion 객체 요소를 N개 가진 배열로 지정됩니다. 여기서 N은 지정된 쿼터니언의 총 개수입니다.

quaternion이 요소를 N개 가진 배열인 경우 그 결과로 생성된 se3 객체의 개수는 N과 같습니다.

예: quaternion(1,0.2,0.4,0.2)

euler — 오일러 각

N×3 행렬

오일러 각으로, N×3 행렬(단위: 라디안)로 지정됩니다. 각 행은 sequence 인수로 정의된 축-회전 시퀀스를 갖는 하나의 오일러 각 세트를 표현합니다. 디폴트 축-회전 시퀀스는 ZYX입니다.

euler가 N×3 행렬인 경우 그 결과로 생성된 se3 객체의 개수는 N과 같습니다.

예: [pi/2 pi pi/4]

데이터형: single | double

sequence — 축 회전 시퀀스

"ZYX" (디폴트 값) | "ZYZ" | "ZXY" | "ZXZ" | "YXY" | "YZX" | "YXZ" | "YZY" | "XYX" | "XYZ" | "XZX" | "XZY"

오일러 각의 축 회전 시퀀스로, 다음과 같은 string형 스칼라 중 하나로 지정됩니다.

• "ZYX"(디폴트 값)

• "ZYZ"

• "ZXY"

• "ZXZ"

• "YXY"

• "YZX"

• "YXZ"

• "YZY"

• "XYX"

• "XYZ"

• "XZX"

• "XZY"

이들은 각각 x축, y축, z축을 중심으로 하는 ϕ, ψ, θ 회전에 대한 정규 직교 회전 행렬입니다.

$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$, $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$, $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

이 시퀀스에서 회전 행렬을 생성할 때 각 문자는 대응하는 축을 나타냅니다. 예를 들어 시퀀스가 "XYZ"인 경우 se3 객체는 x축 중심의 한 회전과 y축 중심의 한 회전을 곱한 다음, 해당 곱셈을 z축 중심의 한 회전과 곱하여 회전 행렬 R을 생성합니다.

$$R=R_x(\varphi )·R_y(\psi )·R_z(\theta )$$

예: se3([pi/2 pi/3 pi/4],"eul","ZYZ")는 z축을 중심으로 pi/4라디안만큼 점을 회전시킨 다음 y축을 중심으로 pi/3라디안만큼 점을 회전시킨 후 z축을 중심으로 pi/2라디안만큼 점을 회전시킵니다. 이는 se3(pi/2,"rotz") * se3(pi/3,"roty") * se3(pi/4,"rotz")와 동일합니다.

데이터형: string | char

quat — 숫자형 쿼터니언

N×4 행렬

숫자형 쿼터니언으로, N×4 행렬로 지정됩니다. 여기서 N은 지정된 쿼터니언의 개수입니다. 각 행은 하나의 쿼터니언을 나타내며, 형식은 [qw qx qy qz]입니다. 여기서 qw는 스칼라 숫자입니다.

quat가 N×4 행렬인 경우 그 결과로 생성된 se3 객체의 개수는 N과 같습니다.

참고

se3 객체는 입력 쿼터니언을 정규화한 다음 쿼터니언을 회전 행렬로 변환합니다.

예: [0.7071 0.7071 0 0]

데이터형: single | double

axang — 축-각도 회전

N×4 행렬

축-각도 회전으로, N×4 행렬로 지정되며 [x y z theta] 형식을 가집니다. 여기서 N은 축-각도 회전의 총 개수입니다. x, y, z는 각각 x축, y축, z축의 벡터 성분입니다. 벡터는 각도 theta로 회전할 축(단위: 라디안)을 정의합니다.

axang가 N×4 행렬인 경우 그 결과로 생성된 se3 객체의 개수는 N과 같습니다.

예: [.2 .15 .25 pi/4]는 x축에서 0.2, y축을 따라 0.15, z축을 따라 0.25로 정의된 축을 pi/4라디안만큼 회전합니다.

데이터형: single | double

angle — 단일 축-각도 회전

N×M 행렬

단일 축-각도 회전으로, N×M 행렬로 지정됩니다. 행렬의 각 요소는 axis 인수를 사용하여 지정된 축을 중심으로 하는 각도(단위: 라디안)이며, se3 객체는 각 각도에 대해 se3 객체를 만듭니다.

angle이 N×M 행렬인 경우 그 결과로 생성된 se3 객체의 개수는 N과 같습니다.

회전 각도는 지정된 축을 따라 원점 방향을 바라볼 때 반시계 방향의 양수입니다.

데이터형: single | double

axis — 회전할 축

"rotx" | "roty" | "rotz"

회전할 축으로, 다음 옵션 중 하나로 지정됩니다.

• "rotx" — x축을 중심으로 회전합니다.

  $$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$

• "roty" — y축을 중심으로 회전합니다.

  $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$

• "rotz" — z축을 중심으로 회전합니다.

  $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

지정된 축을 중심으로 회전할 크기를 지정하려면 angle 인수를 사용하십시오.

예: Rx = se3(phi,"rotx");

예: Ry = se3(psi,"roty");

예: Rz = se3(theta,"rotz");

데이터형: string | char

pose — 간소한 표현의 3차원 자세

N×7 행렬

간소한 표현의 3차원 자세로, N×7 행렬로 지정됩니다. 여기서 N은 간소한 표현의 자세의 총 개수입니다. 각 행이 자세이며, xyz 위치와 쿼터니언으로 구성된 [x y z qw qx qy qz] 형식입니다. x, y, z는 각각 x축, y축, z축의 위치입니다. qw, qx, qy, qz는 함께 쿼터니언 회전입니다.

pose가 N×7 행렬인 경우 그 결과로 생성된 se3 객체의 개수는 N과 같습니다.

데이터형: single | double

객체 함수

수학 연산

mtimes, *	변환 또는 회전의 곱셈
mrdivide, /	변환 또는 회전의 오른쪽 나눗셈
rdivide, ./	변환 또는 회전의 요소별 오른쪽 나눗셈
times, .*	변환 또는 회전의 요소별 곱셈

유틸리티

interp	변환 사이의 보간
dist	두 변환 간의 거리 계산
normalize	변환 또는 회전 행렬의 정규화
transform	점에 강체 변환 적용

숫자형 변환

axang	변환 또는 회전을 축-각도 회전으로 변환
eul	변환 또는 회전을 오일러 각으로 변환
rotm	회전 행렬 추출
quat	변환 또는 회전을 숫자형 쿼터니언으로 변환
trvec	평행 이동 벡터 추출
tform	동차 변환 추출
xyzquat	변환 또는 회전을 간소한 3차원 자세 표현으로 변환

객체 변환

so3	SO(3) 회전
quaternion	쿼터니언 배열 생성

예제

오일러 각과 평행 이동을 사용하여 SE(3) 변환 만들기

"XYZ" 회전 시퀀스의 [pi/2 0 pi/7]의 오일러 각 회전과 [6 4 1]의 xyz 평행 이동을 정의합니다.

angles = [pi/2 0 pi/7];
trvec = [6 4 1];

오일러 각과 평행 이동을 사용하여 SE(3) 변환을 만듭니다.

TF = se3(angles,"eul","XYZ",trvec)

TF = se3
    0.9010   -0.4339         0    6.0000
    0.0000    0.0000   -1.0000    4.0000
    0.4339    0.9010    0.0000    1.0000
         0         0         0    1.0000

알고리즘

3차원 동차 변환 행렬

3차원 동차 변환 행렬은 SO(3) 회전과 xyz 평행 이동으로 구성됩니다.

SO(3) 회전에 대한 자세한 내용을 보려면 so3 객체의 3차원 정규 직교 회전 행렬 섹션을 참조하십시오.

평행 이동은 x축, y축, z축을 따라 이루어지며 요소를 3개 가진 열 벡터로 표현됩니다.

$$t=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

SO(3) 회전 행렬 R을 평행 이동 벡터 t에 적용하여 동차 평행 이동 행렬 T를 만듭니다. 회전 행렬(3×3 부분행렬)은 변환 행렬의 왼쪽 상단에 위치하고, 평행 이동 벡터(요소를 3개 가진 벡터)는 마지막 열에 위치합니다.

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_3& t\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]$$

확장 기능

C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

버전 내역

R2023b에 개발됨

참고 항목

객체

• se2 | so2 | so3 | quaternion